离散数学－代数结构 南京大学计算机科学与技术系 群论导引 离散数学－代数结构 南京大学计算机科学与技术系
内容提要 引言 半群 幺半群 群 群的性质 群的术语 群方程*
引言：对称变换 正方形的刚体运动是从四个顶点集到它本身的一一对应（变换），保持相邻点之间距离不变
引言：对称变换（续）
引言：对称变换（续）
引言：对称变换（续）
引言：对称变换（续） 两个对称变换的连续作用依然是对称变换
引言：对称变换（续） Cayley Table
引言：对称变换（续）
群 论 Je n’ai pas le temps. ——Evariste Galois
半 群
幺半群（Monoid）
幺半群（续）
群（Group） ……代数系统 ……幺半群 ……群
群 （续）
群（续）
群（续）
群（续）
群 （续）
群的性质 有限群的运算表中每行（列）均为群中所有元素的一种排列，不同行（列）也不可能出现同样的排列。
群的术语：元素的乘幂（次方） 定义 a0 = e （e是单位元素） an+1 = an ⃘ a (n是非负整数) a-k =(a-1)k (k为正整数) 性质 an ⃘am= an+m (an)m= anm
群的术语：元素的阶
群的术语：群的阶
有关群的术语（续）
有关群的术语（续） 证明：四阶群皆为Abel群 证明：四阶群中元素的阶为1、2或者4（不为3）. 假设有个元素a的阶为3，{e, a, a2, b}, ab=?（矛盾）
有关群的术语（续）
群 方 程*
群的方程定义*
群的方程定义*（续）
群的方程定义*（续）
作业 教材内容：[屈婉玲] 10.1节 课后习题： pp. 228—230 pp. 202—204 2, 4, 5, 11 16—19 pp. 202—204 2, 4, 5, 11 16—19
Niels Abel (1802-1829):天才与贫困 阿贝尔的第一个抱负不凡的冒险，是试图解决一般的五次方程。…失败给了他一个非常有益的打击；它把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否是可能的。他证明了不可解。那时他大约十九岁。 阿贝尔的《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文》呈交给巴黎科学院。这就是勒让德后来用贺拉斯的话描述为“永恒的纪念碑”的工作，埃尔米特说：“他给数学家们留下了够他们忙上五百年的东西。”它是现代数学的一项登峰造极的成就。(摘自贝尔：《数学精英》) 这篇论文的一个评阅人勒让德74岁，发现这篇论文很难辨认，而另一位评阅人，39岁的柯西正处于自我中心的顶峰，把论文带回家，不知放在何处，完全忘了。 4年后，当柯西终于将它翻出来时，阿贝尔已经不在人世。作为补偿，科学院让阿贝尔和雅可比一起获得1830年的数学大奖。