第三章复习及习题课

１　初等变换的定义 换法变换 倍法变换 消法变换 2019/4/24

　　三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换． 初等变换 逆变换 2019/4/24

２　矩阵的等价 反身性 对称性 传递性 2019/4/24

３　初等矩阵 　　由单位矩阵　经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵． 三种初等变换对应着三种初等矩阵． 2019/4/24

　　（１）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵　　　． 2019/4/24

　　（２）倍法变换：以数　（非零）乘某行（ 列），得初等矩阵　　　． 2019/4/24

　　（３）消法变换：以数　乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵　　　　． 2019/4/24

４ 行阶梯形矩阵 经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 ４　行阶梯形矩阵 　　经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 例如 2019/4/24

５ 行最简形矩阵 经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 ５　行最简形矩阵 　　经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如 2019/4/24

６ 矩阵的标准形 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如 ６　矩阵的标准形 　　对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如 2019/4/24

所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单的 矩阵． 个等价类，标准形　是这个等价类中形状最简单的 矩阵． 2019/4/24

７　矩阵的秩 定义 定义 2019/4/24

８　矩阵秩的性质及定理 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． 2019/4/24

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９　线性方程组有解判别定理 定理 定理 2019/4/24

10 线性方程组的解法 齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解． 非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 10　线性方程组的解法 　　齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解． 　　非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解． 2019/4/24

11　初等矩阵与初等变换的关系 定理 定理 推论 2019/4/24

典　型　例　题 一、求矩阵的秩 二、求解线性方程组 三、求逆矩阵的初等变换法 四、解矩阵方程的初等变换法 2019/4/24

一、求矩阵的秩 求矩阵的秩有下列基本方法 （１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 　　（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩． 2019/4/24

列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩 　　（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或 列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩 阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩． 　　第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大，第二种方法则较为简单实用． 2019/4/24

例１　求下列矩阵的秩 解　对　 施行初等行变换化为阶梯形矩阵 2019/4/24

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以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形． 　　注意　在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形． 2019/4/24

二、求解线性方程组 当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解． 当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 　　当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解． 　　当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则． 2019/4/24

例２　求非齐次线性方程组的通解． 解　对方程组的增广矩阵 　进行初等行变换，使 其成为行最简单形． 2019/4/24

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　　由此可知　　　　　　　，而方程组(1)中未知 量的个数是　　，故有一个自由未知量. 2019/4/24

例３ 　当　取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解． 解法一　系数矩阵　的行列式为 2019/4/24

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从而得到方 程组的通解 2019/4/24

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解法二　用初等行变换把系数矩阵　化为阶梯形 2019/4/24

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三、求逆矩阵的初等变换法 2019/4/24

例４　求下述矩阵的逆矩阵． 解 2019/4/24

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用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换． 　　注意　用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换． 2019/4/24

四、解矩阵方程的初等变换法 或者 2019/4/24

例５ 解 2019/4/24

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1．若 元齐次线性方程组有解，且其系数矩阵的 秩为 ，则当 时，方程组有唯一解； 当 时，方程组有无穷多解． 第三章　　测试题 一、填空题(每小题4分，共24分)． 1．若　元齐次线性方程组有解，且其系数矩阵的 秩为 ，则当　　 时，方程组有唯一解； 当　　 时，方程组有无穷多解． 2．齐次线性方程组 只有零解，则　应满足的条件是　　　　． 2019/4/24

4．线性方程组 有解的充要条件是 2019/4/24

　　　　　(第1题每小题8分，共16分；第2题每 小题9分，共18分；第3题12分)． 二、计算题 2019/4/24

2．求解下列线性方程组 2019/4/24

有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时， 求其通解． 2019/4/24

三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵 (每小题7分，共14分)． 四、证明题(每小题8分，共16分) 2019/4/24

测试题答案 2019/4/24

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