新课标人教版课件系列 《高中数学》 必修5
3.3 《一元二次 不等式及其解法》
教学目标 掌握一元二次不等式的解法 教学重点： 一元二次不等式的解法
考察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 和 3x2+6x－1≤0. 这两个不等式有两个共同特点： （1）含有一个未知数x； （2）未知数的最高次数为2. 一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0) 其中a，b，c均为常数。 一元二次不等式一般表达式的左边，恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式， 即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合。 因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常密切的联系。
下面我们通过实例，研究一元二次不等式的解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。 例如解不等式： （1）x2－x－6>0；（2）x2－x－6<0. 我们来考察二次函数f(x)=x2－x－6 = 的图象和性质。
方程x2－x－6=0的判别式 于是可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得x1=－2，x2=3. 建立直角坐标系xOy，画出f(x)的图象，它是一条开口向上的抛物线，与x轴的交点是M(－2，0)，N(3，0)，
观察这个图象，可以看出，抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点的横坐标的集合 A={x| x<－2或x>3}是一元二 次不等式x2－x－6>0的解集。 抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零，因此这些点的横坐标的集合B={x| －2<x<3}是一元二次不等式x2－x－6<0的解集。
事实上，当x∈A时，若x<－2，则x+2<0，且x－3<0，由此可推知 当x∈B时，即－2<x<3时，x+2>0， x－3<0，因此(x+2)(x－3)<0，
不等式（1）和（2）还可以通过下述方法求解： （1）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)， 所以解x2－x－6>0，就是解(x+2)(x－3)>0, 相对于解不等式组 或 ， 解这两个不等式组得x>3或x<－2.
（2）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，所以解x2－x－6<0，就是解(x+2)(x－3)<0， 相对于解不等式组 或 ， 解这两个不等式组得－2<x<3. 比较上面的两种解法，可以明显地体会到，作出相应的二次函数的图象，并由图象直接写出解集的方法更简便一些。
例1．解不等式：（1）x2－2x+3>0； （2）x2－2x+3<0. 分析：考察方程x2－2x+3=0的判别式△=(－2)2－4×1×3<0,二次函数的图象位于x轴的上方（如图），这时对于任意的实数x，都有x2－2x+3>0。
解：对于任意实数x， x2－2x+3=(x－1)2+2>0， 因此不等式（1）的解集为实数集R， 不等式（2）无解，或说它的解集为空集.
通过以上两例，我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 (a>0)解集的形式作一般性的分析。 （1）当△>0时，二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根x1，x2，（设x1<x2）. 考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象，这时，函数的零点把x轴分成三个区间
(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)， 不等式ax2+bx+c>0的解集是(－∞，x1)∪ (x2，+∞)，不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1，x2). 简单的说是： 大于在两边，小于在中间。
（2）当△=0时，通过配方得， 由图可知，ax2+bx+c>0的解集是 的全体实数，即 ax2+bx+c<0的解集是空集，即不等式无解。
（3）当△<0时，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象在x轴上方，由此可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是实数集R，不等式ax2+bx+c<0的解集是空集。
例2．解不等式1－x－4x2>0. 解：原不等式化为4x2+x－1<0， 因为△=12－4×4×(－1)>0， 方程4x2+x－1=0的根是 所以不等式的解集是
例3．解不等式x2+4x+4>0. 解：因为△=42－4×1×4=0， 原不等式化为(x+2)2>0， 所以不等式的解集是{x∈R| x≠－2}.
例4．解不等式－2x2+4x－3>0. 解：原不等式化为2x2－4x+3<0， 因为2x2－4x+3=2(x－1)2+1>0， 所以原不等式的解集是
例5．求函数 的定义域。 解：由函数f(x)的解析式有意义得 即 解得 因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
再见