总体特征数的估计

问题引入： 怎样用这些数据对重力加速度进行估计？ 某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据(单位：ｍ／s2)： 9.62　 9.5　 9.78　 9.94　 10.01　9.66 9.88 9.68　10.32 9.76 　9.45　 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 　9.93 　9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90 怎样用这些数据对重力加速度进行估计？

知识点1： 1.众数、中位数、平均数的概念 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数（median）． 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数的众数（mode）． 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数． 用这些特征数据对总体进行估计的优缺点是什么？

例：在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示： 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 (单位：米) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 4 1 分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数

　解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75． 　　上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70； 　这组数据的平均数是 　答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）. 用这些特征数据对总体进行估计的优缺点是什么？

平均数、中位数、众数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”，它们各自特点如下： 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系．对这些数据所包含的信息的反映最为充分，因而应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要作用，但计算较繁琐，并且易受极端数据的影响． 用众数作为一组数据的代表，可靠性较差，但众数不受极端数据的影响，并且求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”． 用中位数作为一组数据的代表，可靠性也较差，但中位数也不受极端数据的影响，也可选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”．

(其中ai(i＝1，2，…，n)为n个实验数据)作为重力加速度的近似值，它的依据是什么呢？ 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具备的性质，也正是这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息. 我们常用算术平均数 (其中ai(i＝1，2，…，n)为n个实验数据)作为重力加速度的近似值，它的依据是什么呢？

（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 例2： 某工厂人员及工资构成如下： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 周工资 2200 250 220 200 100 人数 1 6 5 10 23 1500 1100 2000 6900 （1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？

（加权平均数） 分析：众数为200，中位数为220，平均数为300。 因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。

例3：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个人的水平就没有什么差异吗?

发现什么？ 为此，我们还需要从另外一个角度去考察 这2组数据！ 频率 0.3 0.2 0.1 频率 环数 4 5 6 7 8 9 10 (甲) 0.4 0.3 0.2 0.1 环数 4 5 6 7 8 9 10 (乙)

　　直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中(如图示)．因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据．例如：在作统计图，表时提到过的极差． 甲的环数极差=10-4=6 乙的环数极差=9-5=4. 它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.

知识点2： 方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。 假设样本数据是 平均数是 1、方差（标准差的平方）公式为： 2、标准差公式为： 在刻画样本数据分散程度上，两者是一致的！

标准差 方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。 规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。

例4、已知有一个样本的数据为1，2，3，4，5，求平均数，方差，标准差。

例5： 甲乙两人同时生产内径为25. 40mm的一种零件 例5： 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) 甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48 从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?

解:用计算器计算可得:

性质归纳：

课堂小结： 一、众数、中位数、平均数的概念 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数（median）． 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数的众数（mode）． 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数．

二、方差、标准差 1.平均距离：

方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。 2、方差（标准差的平方）公式为： 3、标准差公式为： 方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。