Chapter 7 信賴區間

學習目標 當 σ 已知，求出平均數的信賴區間。 決定求出平均數信賴區間需要的最小樣本數。 當 σ 未知，求出平均數的信賴區間。 求出比例的信賴區間。 決定求出比例信賴區間需要的最小樣本數。 求出變異數以及標準差的信賴區間。

7-1　σ 已知的平均數信賴區間

點估計 (point estimate) 是估計參數的某一個特定數字。母體平均數 μ 的最佳點估計是樣本平均數 。

良好估計式的三項性質 1. 估計式應該是不偏的估計式 (unbiased estimator)。也就是說，從某一種樣本數的樣本算出來的估計式，它的期望值或是平均數會等於它希望估計的參數。 2. 估計式應該是一致的。對一種一致的估計式(consistent estimator) 而言，當樣本數遞增的時候，估計式會趨近它希望估計的參數。 3. 估計式應該是一種相對有效的估計式 (relatively efficient estimator)。也就是說，針對所有可以用來估計參數的統計量，相對有效的估計式有著最小的變異數。

信賴區間 參數的區間估計 (interval estimate) 是一種用來估計參數的區間或是數字的範圍。這一項估計或許會、或許不會包含它希望估計的參數。 參數區間估計的信心水準 (confidence level) 是區間估計會包含參數的機率，假設挑選大量的樣本，而且估計同一個參數的過程不斷重複。 信賴區間 (confidence interval) 是用樣本數據和某特定信心水準所決定的區間估計。

當σ 已知，針對某特定α之平均數的信賴區間的公式 如果是 90% 信賴區間，zα/2=1.65；如果是 95% 信賴區間，zα/2=1.96；最後，如果是 99% 信賴區間，zα/2=2.58。

誤差界限 (margin of error)，也被叫做「估計的最大容忍誤差」，是參數點估計與參數之間的可容忍的最大誤差。

當 σ 已知，求出平均數信賴區間的假設 樣本是一種隨機樣本。 如果 n < 30，則母體必須是常態的或是接近常態的，要不然就是 n ≥ 30。

例題7-1　賣出一部Aveo所需的天數

例題7-1 賣出一部Aveo所需的天數 (解答)

例題7-2　顧客數 例題7-2　顧客數(解答)

圖7-2　樣本平均數的95%區間

圖7-3　針對每一個樣本平均數的95%信賴區間

圖7-4　針對每一個樣本平均數的95%信賴區間

例題7-3　聯合信用社的資產

例題7-3　聯合信用社的資產(解答)

例題7-3　聯合信用社的資產(解答)

樣本數 　　樣本數的決定和統計估計的關係非常密切。你經常會問：「為了得到一種準確的估計，應該準備多大的樣本（樣本數要多少）？」答案不簡單，因為它和三件事有關：誤差界限、母體標準差和信心水準。比如說，你希望有多靠近真正的平均數（2 個單位、5 個單位），以及你希望有多少信心（90%、95%、99% 等等）？針對這一章的目的，你必須假設變數的母體標準差已知，或者是它可以從以前的研究估計出來。 　　從誤差界限 推導樣本數公式，用上述公式解 n： 因此，

針對母體平均數之區間估計所需要的最小樣本數公式 其中 E 是誤差界限。如果有必要，把答案無條件進位到整數。也就是說，不要有任何小數，使用下一個整數。

例題7-4　河川深度 例題7-4　河川深度(解答)

觀念應用7-1　使用信賴區間作決策 　　假設你為 Kleenex 的製造者 Kimberly Clark Corporation 工作。你現在的工作是決定在汽車置物箱需要放多少張 leenex。完成以下的工作。 1. 你如何決定在汽車置物箱需要放多少張 Kleenex 的合理數量？ 2. 通常人們什麼時候會需要 Kleenex？ 3. 你使用哪一種數據收集技術？ 4. 假設你發現，樣本內的 85 人在感冒期間平均大概在汽車置物箱放了 57 張Kleenex，母體標準差是 15 張。使用一種信賴區間協助你決定要在汽車置物箱放多少張 Kleenex。 5. 解釋你如何決定在汽車置物箱內需要放多少張 Kleenex。

7-2　σ未知的平均數信賴區間

t 分配的特徵 t 分配與常態分配共同分享某些性質，但是還是有一些部分是不一樣的。t 分配和標準常態分配類似之處如下： 1. 鐘形的。 2. 對平均數對稱的。 3. 平均數、中位數以及眾數都是 0，而且位在分配的中央位置。 4. 曲線永遠不會接觸到 x 軸。 t 分配和標準常態分配不同之處如下： 1. 變異數超過 1。 2. t 分配實際上是一群根據自由度（和樣本數有密切關係）區分彼此的曲線。 3. 當樣本數遞增，t 分配會逼近標準常態分配。見圖 7-6。

圖7-6　t 曲線家族

當σ未知的時候，平均數某特定信賴區間的公式 自由度是 n − 1。

例題7-5 例題7-5　(解答)

例題7-5　(解答)

當 σ 未知的時候，求出平均數信賴區間的假設 樣本是一種隨機樣本。 如果 n < 30，母體就必須是常態分配的，要不然就要 n ≥ 30。

例題7-6　新生兒的發育 例題7-6　新生兒的發育(解答)

例題7-6　新生兒的發育(解答)

例題7-7　蠟燭引起的火災 例題7-7　蠟燭引起的火災(解答)

例題7-7　蠟燭引起的火災(解答)

圖7-8　什麼時候用 z 分配，什麼時候用 t 分配

觀念應用7-2　決定運動飲料 　　假設你得到一份球隊教練的新工作。你的第一份工作是選擇球隊在練習和比賽時飲用的運動飲料。你手邊有一本 Sports Report 雜誌，所以你可以用統計背景幫助你做出最好的決策。以下表格列出最流行的運動飲料以及一些相關的重要資訊。回答以下關於表格的問題。

觀念應用7-2 決定運動飲料 1. 你認為這是小樣本嗎？ 觀念應用7-2　決定運動飲料 1. 你認為這是小樣本嗎？ 2. 計算每一瓶的平均價格，而且求出關於平均數的 90% 信賴區間。是不是每一種飲料的價格都落入這一個信賴區間內？如果不是，哪一種品牌沒有落入區間內？ 3. 是否有哪一個價格可以被認為是離群值？ 4. 自由度是多少？ 5. 如果價格是你決策的主要因素，你會考慮每一瓶的價格還是每喝一次的成本？ 6. 你會建議上述哪一種飲料？並說明理由。

7-3　比例的信賴區間與樣本數

比例概念的符號 p = 母體比例 pˆ = 樣本比例 針對樣本比例， 且 或 　　　　　　且　　　　　 　或 其中 X= 樣本內有多少個擁有我們感興趣的特徵，n = 樣本數。

例題7-8　開車上班 例題7-8　開車上班(解答)

信賴區間 比例信賴區間的公式 其中 npˆ 和 nqˆ 必須大於等於 5。

求出母體比例信賴區間的假設 樣本是一組隨機樣本 2. 必須滿足二項實驗的條件（詳見第五章）。

例題7-9　支付大學費用 例題7-9　支付大學費用(解答)

例題7-9　支付大學費用(解答)

例題7-10　花園雜草 例題7-10　花園雜草(解答)

例題7-10　花園雜草(解答)

比例的樣本數 母體比例區間估計所需最小樣本數的公式 如果必要，無條件進位到最近的整數。

例題7-11　家庭電腦 例題7-11　家庭電腦(解答)

例題7-12　家庭電腦 例題7-12　家庭電腦(解答)

觀念應用7-3 感染流感 為了回答問題，使用以下描述感染流感人數的報告表格（用性別和種族分類）。 觀念應用7-3　感染流感 　　為了回答問題，使用以下描述感染流感人數的報告表格（用性別和種族分類）。 49 州和華盛頓特區參與這一份研究。使用加權平均數。樣本數是 19,774。有 12,774 位女性和 7,000 位男性。

觀念應用7-3 感染流感 1. 解釋 95% CI 所代表的意義。 2. 男性感染流感的報告數字有多大的誤差？ 3. 樣本數是多少？ 觀念應用7-3　感染流感 1. 解釋 95% CI 所代表的意義。 2. 男性感染流感的報告數字有多大的誤差？ 3. 樣本數是多少？ 4. 樣本數如何影響信賴區間的寬度？ 5. 如果使用同樣的數據，90% 的 CI 會比較長還是比較短？ 6. 感染流感女性的比例數字 51.5% 和對應 95% CI 的關係如何？

7-4　變異數和標準差的信賴區間

圖7-9　卡方曲線家族

圖7-10　d.f. = n – 1的卡方分配

例題7-13 例題7-13　(解答)

例題7-13　(解答)

變異數的信賴區間公式 標準差的信賴區間公式

求出變異數或是標準差的信賴區間需要的假設 樣本是隨機樣本。 母體必須是常態分配的。

例題7-14　尼古丁含量 例題7-14　尼古丁含量(解答)

例題7-14　尼古丁含量(解答)

例題7-15　有名字的颶風 例題7-15　有名字的颶風(解答)

例題7-15　有名字的颶風(解答)

觀念應用7-4 標準差的信賴區間 以下數據顯示歷屆總統死亡時的歲數。 1. 數據代表母體還是樣本？ 觀念應用7-4　標準差的信賴區間 以下數據顯示歷屆總統死亡時的歲數。 1. 數據代表母體還是樣本？ 2. 隨機挑選 12 個數字，並且求出它們的變異數和標準差。 3. 求出標準差的 95% 信賴區間。 4. 求出所有數字的標準差。 5. 第 3 題得到的信賴區間包含上一題的標準差嗎？ 6. 如果沒有，請說明理由。 7. 在第 3 題建構標準差 95% 信賴區間的時候，必須考慮哪一些假設？

結語 估計是統計推論重要的一環。透過從母體隨機抽樣，加上選擇與計算某一個統計量達成母體參數的最佳估計式。一個好的估計式必須是不偏、一致而且是相對有效的。 的最佳估計是 。(7-1) 參數的估計有兩種型態：點估計和區間估計。點估計是某一個特定的數值。比如說，如果某一位研究員想要估計某一種魚的平均身長，挑選一組樣本並且加以丈量。計算這一組樣本的平均數，比如說結果是 3.2 公分。從這一項樣本平均數出發，研究員就用 3.2 公分估計母體平均數。點估計的問題是無法決定估計的準確性。因為這個原因，統計學家比較喜歡區間估計。透過計算樣本數值的某一個區間，統計學家可以有 95% 或是 99% 的信心（或者是其他百分比）認為他們的估計包含真正的參數。研究員可以決定信心水準。信心水準愈高，估計的區間會愈寬。比如說，某一種魚真實平均身長的 95% 信賴區間可能是 而 99% 的信賴區間則可能是

結語 決定估計平均數所需的樣本數和計算信賴區間關係密切。決定最小樣本數需要這一項資訊。 1. 必須說明信心水準。 2. 必須知道母體標準差或是有能力估計母體標準差。 3. 必須說明誤差界限。(7-1) 如果母體標準差未知，會使用 t 值。當樣本數低於 30，母體一定要是常態的（或是接近常態的）。(7-2) 利用常態分配也可以計算母體比例的信賴區間和所需的樣本數。(7-3) 最後，變異數和標準差的信賴區間可以用卡方分配計算。(7-4)