第3章 图像变换 3.1 傅里叶变换 3.2 离散余弦变换 3.3 小波变换及其应用

第3章 图像变换 时域分析法 信号处理方法： 频域分析法 特点：算术运算次数大大减少，可采用二维数字滤波技术 进行所需的各种图像处理

第3章 图像变换 频率通常是指某个一维物理量随时间变化快慢程度的度量。 例如 交流电频率为50～60Hz（交流电压） 中波某电台1026kHz（无线电波）

第3章 图像变换 图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴， 图像本身所在的域称为空间域（Space Domain）。 图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空间频率（Spatial Frequency）。

第3章 图像变换 每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换 傅里叶变换 余弦变换 正弦变换 图像变换 哈达玛变换 沃尔什变换 图像变换 哈达玛变换 沃尔什变换 K-L变换 小波变换

3.1 傅里叶变换 3.1.1 一维傅里叶变换 3.1.2 二维离散傅里叶变换 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 3.1 傅里叶变换 3.1.1 一维傅里叶变换 3.1.2 二维离散傅里叶变换 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 3.1.4 快速傅里叶变换 3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用

3.1 傅里叶变换 傅里叶变换 利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通），然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。 低通滤波：在频率域中抑制高频信号 高通滤波：在频率域中抑制低频信号

3.1.1 一维傅里叶变换 一维（连续）傅里叶变换 傅里叶变换是一种数学变换（正交变换），可以把一维信号（或函数）分解成不同幅度的具有不同频率的正弦和余弦信号（或函数）。 输入信号 => 傅里叶（正）变换 => 频率域信号 函数 函数 频率域信号 => 傅里叶反变换 => 输出信号 函数 函数

3.1.1 一维傅里叶变换 一维（连续）傅里叶变换

3.1.1 一维傅里叶变换 一维（连续）傅里叶变换

3.1.1 一维傅里叶变换 一维（连续）傅里叶变换

3.1.1 一维傅里叶变换 一维（连续）傅里叶变换 A X

3.1.1 一维傅里叶变换 一维离散傅里叶变换

3.1.2 二维离散傅里叶变换 二维连续函数 的傅里叶变换

3.1.2 二维离散傅里叶变换 二维连续函数 f(x,y) 的傅里叶变换

3.1.2 二维离散傅里叶变换 变换在一个周期内进行。M，N表示图像f(x,y)在x，y方向上具有大小不同的阵列。离散信号频谱、相谱、幅谱分别表示为：

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 基本性质： 1.可分离性

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 2．平移性 ： 图像中心化 时

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 3．周期性

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 4．共轭对称性 则 N/2 -N/2 一个周期

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 5．旋转不变性 例：

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 6．分配性和比例性

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 7．平均值

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 8．离散卷积定理 为防止卷积后发生交叠误差，需对离散的二维函数的定义域加以扩展

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 8．离散卷积定理 才避免交叠误差 当卷积周期

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 8．离散卷积定理

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 9．离散相关定理

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 9．离散相关定理

3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 傅里叶变换的问题 1）复数计算而非实数，费时。如采用其它合适的完备正交函数来代替傅里叶变换所用的正、余弦函数构成完备的正交函数系，可避免这种复数运算。 2）收敛慢，在图像编码应用中尤为突出。

3.1.4 快速傅里叶变换 在研究离散傅里叶计算的基础上，节省它的计算量，达到快速计算的目的

3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用 傅里叶变换在图像处理中是一个最基本的数学工具。利用这个工具，可以对图像的频谱进行各种各样的处理，如滤波、降噪、增强等 a) 有栅格影响的原始图像 b)傅里叶变换频谱图像

3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用 用傅里叶变换去除正弦波噪声示例

3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用 a) lena图 b) lena图的频谱

3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用 c) 增强纵轴上某一谱段的强度 d) 傅里叶反变换的结果

3.2 离散余弦变换 3.2.1 离散余弦变换原理 3.2.2 离散余弦变换在图像处理中的应用

3.2.1 离散余弦变换原理

3.2.1 离散余弦变换原理

3.2.1 离散余弦变换原理

3.2.1 离散余弦变换原理

3.2.1 离散余弦变换原理 性质： 1．余弦变换是实数、正交。 2．离散余弦变换可由傅里叶变换的实部求得 3．对高度相关数据，DCT有非常好的能量紧凑性 4．对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT是K-L变换 的最好近似

3.2.2 离散余弦变换在图像处理中的应用 在图像的变换编码中有着非常成功的应用 离散余弦变换是傅里叶变换的实数部分，比傅里叶变换有更强的信息集中能力。对于大多数自然图像，离散余弦变换能将大多数的信息放到较少的系数上去，提高编码的效率

3.3 小波变换及其应用 3.3.1 多分辨率分析的背景知识 3.3.2 多分辨率展开 3.3.3 一维小波变换 3.3.3 一维小波变换 3.3.4 快速小波变换算法 3.3.5 二维离散小波变换 3.3.6 小波分析在图像处理中的应用

3.3.1 多分辨率分析的背景知识 图像金字塔 金字塔算法 一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降 低的图像集合 一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降 低的图像集合 金字塔的底部是待处理图像 的高分辨率表示，而顶部是 低分辨率近似。当向金字塔 的上层移动时，尺寸和分辨 率就降低。 一个金字塔图像结构

3.3.1 多分辨率分析的背景知识 图像金字塔 高斯和拉普拉斯金字塔编码 首先对图像用高斯脉冲响应作低通滤波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失

3.3.1 多分辨率分析的背景知识 图像金字塔 高斯和拉普拉斯金字塔编码 拉普拉斯金字塔编码策略

3.3.1 多分辨率分析的背景知识 子带编码和解码 双通道子带编码和重建

3.3.1 多分辨率分析的背景知识 子带编码和解码 子带图像编码的二维4频段滤波器组

3.3.1 多分辨率分析的背景知识 哈尔变换 哈尔基函数是众所周知的最古老也是最简单的正交小波。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：  T=HFH 其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N变换矩阵，T 是N×N变换的结果

3.3.1 多分辨率分析的背景知识 哈尔变换 哈尔基函数对图像的多分辨率分解

3.3.2 多分辨率展开 函数的伸缩和平移 给定一个基本函数 ,则 的伸缩和平移公式可记为：

3.3.2 多分辨率展开 函数的伸缩和平移 函数的伸缩和平移

3.3.2 多分辨率展开 序列展开 信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。 其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值 的展开系数， 是具有实数值的展开函数

3.3.2 多分辨率展开 尺度函数

3.3.2 多分辨率展开 小波函数 给定尺度函数，则小波函数 所在的空间跨越了相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。 尺度及小波函数空间的关系

3.3.3 一维小波变换 一维离散小波变换（DWT）

3.3.3 一维小波变换 一维离散小波变换（DWT） Morlet 小波

3.3.3 一维小波变换 一维离散小波变换（DWT） Mexihat小波

3.3.4 快速小波变换算法 离散小波变换算法

3.3.4 快速小波变换算法 离散小波逆变换

3.3.5 二维离散小波变换 对于M×N的离散函数f(x,y)的离散小波变换对为：

3.3.5 二维离散小波变换 二维离散小波变换的一次分解

3.3.5 二维离散小波变换 图像的二维离散小波变换

3.3.6 小波分析在图像处理中的应用 小波变换 傅里叶变换用在频谱分析和滤波方法的分析上。但傅里叶反映的是信号或函数的整体特征，而实际问题关心的是信号的局部范围中的特征。如，在音乐和语言信号中人们关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；对地震记录，关心什么位置出现反射波；在边缘检测中，关心的是信号突变部分的位置。引进的窗口傅里叶，用一个窗口去乘所研究的函数，然后进行傅里叶变换。但引入的这种变换窗口的尺寸和形状与频率无关而且是固定不变的。这与高频信号的分辨率应比低频信号高，因而与频率升高应当窗口减小这一要求不符，为此未能得到广泛的应用与发展

3.3.6 小波分析在图像处理中的应用 小波 2) 小波并不一定要求是正交的，其时宽频宽乘积很小，因而展开系数的能量较为集中。 3.3.6 小波分析在图像处理中的应用 小波 1) 从分辨率看，小波很好地解决了时间与频率分辨率的矛盾，它巧妙的利用了非均匀分布的分辨率，在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率，而在高频段则采用低的频率分辨率和高的时间分辨率。即子波分析的窗宽是可变的，在高频时用短窗口，而在低频时，则使用宽窗口。 2) 小波并不一定要求是正交的，其时宽频宽乘积很小，因而展开系数的能量较为集中。 子波变换的基本思想：是用一族函数去表示或逼进一信号或函数，这族函数称为子波函数集，它通过一基本子波函数的不同尺度的平移和伸缩组成，它的特点是时宽频宽乘积很小，且在时间和频率轴上都很集中。

3.3.6 小波分析在图像处理中的应用 小波的特点： a）能量集中 b）易于控制各子带噪声 c）与人类视觉系统相吻合的对数特征。 3.3.6 小波分析在图像处理中的应用 小波的特点： a）能量集中 b）易于控制各子带噪声 c）与人类视觉系统相吻合的对数特征。 d）突变信号检测中：由于分辨率随频率的不同而变化的 特点，能准确定位信号的上升沿和下降沿。

3.3.6 小波分析在图像处理中的应用 应用： 1）图像压缩：小波把信号分解成具有不同时间和分辨率 的信号 2）正交小波变换在图像拼接和镶嵌中的应用 把两个图像按不同尺度下的小波分量先拼接下来，然后再用程序重构整个图像，这样得到的图像可以很好地兼顾清晰度和光滑度两个方面的要求。

作业 3-1 离散傅里叶变换的性质及在图像处理中的应用？ 3-2 小波变换有哪些特点？ 3-3 求下列图像的二维离散傅里叶变换 (a)长方形图像

作业 (b)旋转45°后的长方形图像  y b   -b F E a x -a y 45° x

作业 3-4 请实际编程做出以下图像的二维离散余弦变换 8×8 64×64 4×8