三種基本類型的問題 當我們說某件事情的機率是0.50、0.78，或0.24時，是什麼意思？ 機率的數值該如何決定？在現實生活中如何測量？ 當我們說某件事情的機率是0.50、0.78，或0.24時，是什麼意思？   機率的數值該如何決定？在現實生活中如何測量？   機率所必須遵從的數學規則是什麼？

6.1 樣本空間與事件

解答： 十個可能出現的結果分別是 (0，0)、(0，1)、(0，2)、(0，3)、(1，0)、(1，1)、(1，2)、(2，0)、(2，1)、與 (3，0)。

樣本空間 有限的(finite)樣本空間 無限的(infinite)樣本空間 事件：指的是一個樣本空間之中的任意一部分

解答： A 是兩位業務員總共賣出兩部卡車的事件； B 是第二個業務員沒有成交的事件； C 是第二個業務員賣出兩部卡車以上的事件。

特殊事件 事件互斥 --- 兩事件中，其中有一件發生的話， 另外一件必然沒有發生。 事件互斥 --- 兩事件中，其中有一件發生的話， 另外一件必然沒有發生。 聯集 --- 包含了 X 與 Y 之內所有的元素， X∪Y 交集 --- 包含了 X 與 Y 共有的元素，X∩Y X 的餘集 --- X 以外所有其餘元素的集合， X'

解答： 第二個業務員賣出零部、兩部，或三部卡車的事件 第一個業務員沒有賣出、第二個業務員賣出兩部車的事件。   第二個業務員賣出至少一部以上的卡車的事件。  

解答： 一、熊先生是史丹福大學的研究生。 二、熊先生不是史丹福大學的研究生。 三、熊先生是史丹福大學的研究生， 或是他想要去蒙特瑞灣參加遊艇比賽。 四、熊先生是史丹福大學的研究生， 而且他想要去蒙特瑞灣參加遊艇比賽。 一為左上圖, 二為右上圖, 三為左下圖, 四為右下圖。,

解答： 區域4：失業率與利率均上升、而股價沒有上漲。 區域1與3：股價與利率都上揚。 區域3、5、6，與8合起來： 失業率不會上升。 亦即把X除外。

6.2 機率的公設 基本三項公設： 機率是正實數或是零，P(A)≧0。 每個樣本空間的機率都是 1，P(S)＝1。 6.2 機率的公設 基本三項公設： 機率是正實數或是零，P(A)≧0。   每個樣本空間的機率都是 1，P(S)＝1。 若事件 A 與事件 B 是互斥的，則 A 或是 B 發生的機率，等於各自發生的機率和。P(A∪B)＝ P(A)┼P(B)  

解答： (1) P(A') = 1－0.24＝0.76。   (2) A 與 B 是互斥事件，採用公設三， P(A∪B)＝P(A )＋P(B)＝0.24＋0.35＝0.59。   (3) A 與 B 是互斥事件，所以 P(A∩B)＝0。

解答： 范氏圖 事件 C‘∩D’ 即是兩個圓圈以外的區域，也就是區域 4，所以 P(C‘∩D’)＝0.25。 把C和D的聯集扣掉。  

6.3 機率與勝算 勝算：發生機率與不發生機率的比值。 發生機率 = p，勝算 = a 比 b ，則

解答：

解答： 卡車不會超載的機率是 11/12，所以勝算是11比1。 公平的賭局應該44美金比4美金， 美金40元賭美金4元的賭局是不公平的。

勝算以及主觀機率 如果某事件的勝算是 a 比b 的話，則真實發生機率為

解答： 以 a＝7、b＝1 代入上面的公式，得到 p = 0.875, 7/8 。

解答： 利率上揚、維持不變，以及上揚或持平的機率分別是： 2/ 3、 1/ 6，與 8/ 11。 但是 2/ 3 + 1/ 6 = 5/ 6 ，不等於 8/ 11，所以 對該專欄作家的說法應該存疑。

6.4 其他規則 規則一：

解答： 這三種可能性是彼此互斥的，所以 機率為 0.17＋0.22＋0.08＝0.47。

解答： 這五種評價是彼此互斥的，所以 機率為 0.34＋0.32＋0.11＝0.77。

規則二

解答： (1) (2，0)、(1，1)、 (0，2) 0.08＋0.06＋0.04＝0.18。 (1) (2，0)、(1，1)、 (0，2) 0.08＋0.06＋0.04＝0.18。   (2) (0，0)、(1，0)、(2，0)、 (3，0) 0.44＋0.10＋0.08＋0.05=0.67 全部被第一個業務員賣出的機率。   (3) (0，2)、(1，2) 、(0，3) 0.04＋0.02＋0.09＝0.15。

解答：

一般加法規則 不論事件 A 與事件 B 是否互斥

P(R)＝0.27，P(T)＝0.20，而且 P(R∩T)= 0.15。 應用一般加法規則，得到 解答： R 表示下雨，T 表示出現雷陣雨，則 P(R)＝0.27，P(T)＝0.20，而且 P(R∩T)= 0.15。 應用一般加法規則，得到

解答： 代入一般加法規則， 0.92＋0.53－0.48＝0.97。 如果誤用公設三得到 0.92＋0.53＝1.45 (錯誤)

6.5 條件機率

或

條件機率

解答：    或，直接從表中的第二列數據計算：    

L ：學業成績表現不佳， O ：來自單親家庭，則 P(O)＝0.36， P(O∩L) = 0.27，因此， 解答： L ：學業成績表現不佳， O ：來自單親家庭，則 P(O)＝0.36， P(O∩L) = 0.27，因此，

H：亨利喜歡這部電影，J： 珍妮喜歡這部電影 0.6，則 P(J')＝0.40，而 P(H∩J') = 0.28，因此， 解答： H：亨利喜歡這部電影，J： 珍妮喜歡這部電影 0.6，則 P(J')＝0.40，而 P(H∩J') = 0.28，因此，

事件獨立 獨立： 不論事件 J 發生與否，事件H 的發生機率都不會改變；此時我們說事件 H 獨立於事件 J。 相依：當兩個事件不是獨立的，則稱為相依的

6.6 乘法規則 一般乘法規則

解答： A ：第一個被選中的人沒有大專以上學歷， B ：第二個被選中的人沒有大專以上學歷，則 P(A)＝15/24， P(B∣A)＝14/23， 根據一般乘法規則，    

解答： 應用一般乘法規則，得到 (0.45) (0.60)＝0.27。

A 與 B 是是獨立事件

(2) P(D')＝1－0.80＝0.20，而且 (0.75) (0.20)＝0.15，所以 C 與 D，以及 C與 D' 都為獨立。 解答： (1) (0.40) (0.90)＝0.36，所以 A、B 為獨立事件。   (2) P(D')＝1－0.80＝0.20，而且 (0.75) (0.20)＝0.15，所以 C 與 D，以及 C與 D' 都為獨立。   (3) P(E')＝1－0.30＝0.70，P(F')＝1－0.35＝0.65，而 (0.70) (0.65)＝0.455，不等於 0.40，所以 E'與 F'，以及 E 與 F，都不是獨立事件。  

解答： 假設受訪者均為獨立， 機率 = (0.70) (0.70) (0.70) (0.30)＝0.1029。  

解答：

6.7 貝氏定理 貝氏定理：以 P(A∣B) 描述 P(B∣A) 的公式

解答： A ： 車輛無法通過檢測， B ： 廢氣污染物超過排放 標準。 P(A)＝0.3750，(0.2475+0.1275) 代入 P(B∣A) 的公式，

貝氏定理(一般式)

B1、B2、 B3 ：從第一、二、三條生產線製造出來的 三條分支的機率分別為 0.0020、0.0018，與 0.0024。 解答： A： 發現密封不良的罐頭， B1、B2、 B3 ：從第一、二、三條生產線製造出來的 三條分支的機率分別為 0.0020、0.0018，與 0.0024。 P(A)＝0.0020＋0.0018＋0.0024 ＝0.0062。