(1)比例基本性质

相似三角形复习

. A P B 点B把线段AC分成两部分,如果 那么称线段AC被点B 黄金分割, 点P为线段AB 的 黄金分割点, AP与AB的比值约为0.618,这个比值称为 黄金比. PB AP AB = 思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?

积极探究： 黄金分割点的尺规作图：

0.618 0.618 ☆顶角为36°的等腰三角形称为 黄金三角形 ☆点D是线段AC的黄金分割点. 1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出 尝试 1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出 底BC与腰AB的长度,计算: ; 2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度, 再计算: . (精确到0.001) 0.618 0.618 ☆顶角为36°的等腰三角形称为 黄金三角形 C A B ☆点D是线段AC的黄金分割点. D D ☆再作∠C的平分线,交BD于E, △CDE也是黄金三角形…… E

温故而知新 1、条件探索型 例1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足一个什么条件时△ ACP∽△ABC． 解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B）时，△ ACP∽△ABC A P B C 1 2 ⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时， △ ACP∽△ABC 答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC时,△ ACP∽△ABC.

☞ 回顾与反思 判定两个三角形相似的方法: 1. 两角对应相等的两个三角形相似. 2. 三边对应成比例的两个三角形相似. 3. 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 4. 斜边直角边对应成比例的两个三角形相似. 5. 平行于三角形一边的直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似. A B C D E

温故而知新 ΔABC与 的周长比是多少? 面积比是多少？ ▲周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 看一看： 4×4正方形网格 （相似） 请问： ΔABC与 的相似比是多少？ ΔABC与 的周长比是多少? 面积比是多少？ A B C A’ C’ B’ √2 √2 2 ▲对应角相等，对应边成比例 ▲对应角平分线、对应中线、对应高线之比都等于相似比。 ▲周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

☞ 回顾与反思 你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系及其理由吗? 相似三角形周长的比等于相似比.理由是: A′ B′ C′ A B C 如图,在△ ABC与△ A′B′C′中, ∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k. (相似三角形对应边成比例,对应边的比叫做相似比). 即,相似三角形周长的比等于相似比.

问题情境 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？ 思考 B C A 30m 18m D E

2、结论探索型 例2.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来. C A B D E G F １ 2 解：有相似三角形，它们是：△ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA（ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）

一.填空、选择题: 2:5 5 2cm 1、如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED和△ ABC 的相似比为＿＿＿. 2、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm. 5 3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______. 2cm

1:3 D 4 4. 如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。 5. 如图，D是△ABC一边BC 上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ ）. A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CD·BC D. AB2=BD·BC 6. D、E分别为△ABC 的AB、AC上 的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A， 把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_______组。 1:3 D A D E 4 B C

二、证明题： 1. D为△ABC中AB边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD·AB. 2. △ABC中,∠ BAC是直角，过斜 边中点M而垂直于斜边BC的直线 交CA的延长线于E，交AB于D， 连AM. 求证：① △ MAD ∽ △ MEA ② AM2=MD · ME A B C D E A B C D M

例3、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。 4 6 14 A D C B

P 6 x 14―x 4 ∴x=5.6 解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x ∴x=5.6

14―x p P ∴x=2或x=12 6 4 x （2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4 ∴x=2或x=12 ∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似

分析：由于∆PBQ与∆ABC有公共角∠B；所以若∆PBQ与∆ABC相似，则有两种可能一种情况为 ,即PQ∥AC;另一种情况为 巩固提高： 在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？ B C A Q P 8 16 2cm/秒 4cm/秒 分析：由于∆PBQ与∆ABC有公共角∠B；所以若∆PBQ与∆ABC相似，则有两种可能一种情况为 ,即PQ∥AC;另一种情况为

思考题 1. 在△ABC中, ∠ACB= 90。过AB上任意一点D作DE⊥BC F A B C 1. 在△ABC中, ∠ACB= 90。过AB上任意一点D作DE⊥BC 于E，DF⊥AC于F, 若BC=3, AC= 4, 设DE= x, 矩形面 积为y. (1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围; (2)求DE多长时,矩形DECF的面积最大?最大面积是多少? ， 相似三角形应用的复习

对应角 A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 F1 对应边 AB与A1B1，BC与B1C1……

☞ 回顾与反思 你还记得相似多边形周长的比与相似比的关系及其理由吗? 相似多边形周长的比等于相似比.理由是: B C D E F A B1 如图∵六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1,且相似比是k. 即,相似多边形周长的比等于相似比.

1. 如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED 和△ ABC 的相似比为＿＿＿. 解: ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴DB:AD=3:2 ∴(DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 ∴AD:AB=2:5 即△ADE与△ABC的相似比为2:5

2.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm. 解: 设三角形甲为△ABC ，三角 形乙为 △DEF，且△DEF的最大 边为DE，最短边为EF ∵ △DEF∽△ABC ∴ DE:EF=6:3 即 10:EF=6:3 ∴ EF=5cm

3. 等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在 腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______. ∴ 即 ∴ DC=2cm

4. 如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。 解: ∵ △ADE∽△ACB 且 ∴

6. D、E分别为△ABC 的AB、AC上的点，DE∥BC， ∠DCB= ∠ A，把每两个相似的三角形称为一组， 那么图中共有相似三角形_______组。 解: ∵ DE∥BC ∴∠ADE= ∠B, ∠EDC=∠DCB=∠A ① ∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC ② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD ③ ∵ △ADE ∽ △ABC △ADE ∽ △CBD ∴ △ABC ∽ △CBD ④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC

1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC. 求证：AC2=AD·AB A B C D 分析:要证明AC2=AD·AB，需 要先将乘积式改写为比例 式 ，再证明AC、 AD、AB所在的两个三角形相 似。 证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC ∠A = ∠ A ∴ △ABC ∽△ACD ∴ ∴ AC2=AD·AB

2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM. 求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME 分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。 E A D B C M ∴∠B=∠E ∴∠MAD= ∠E 又 ∵ ∠DMA= ∠AME ∴△MAD∽ △MEA 证明：①∵∠BAC=90° M为斜边BC中点 ∴AM=BM=BC/2 ∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90° ∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE ② ∵ △MAD∽ △MEA ∴ 即AM2=MD·ME

1．位似图形的概念 　下列两幅图有什么共同特点？ 　　如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.

练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′； （2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO

练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′. （4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′

练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （6）曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′

练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （7）扇形ABC与扇形A′B′C′， （B、A 、B′在一条直线上，C、A 、C′在一条直线上） （8）△ABC与△ADE（①DE∥BC； ②∠AED＝∠B）

2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.

适当提高，应用新知 位似图形的性质 一般地，位似图形有以下性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

作位似图形 例： 如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大3倍.

直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律 想一想： 1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？ 2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的位似图形？ 以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质： 若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）.

练一练 　　1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半.

练一练

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