八年级 上册 第十二章 全等三角形 角的平分线的性质 湖北省通城县隽水寄宿中学 刘大勇 龚燕珍
创设情境 提出问题 如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？ A 创设情境 提出问题 如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？ D A B C
合作探究 形成知识 问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的 平分线？ 用量角器度量，也可用折纸的方法． 合作探究 形成知识 问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的 平分线？ 用量角器度量，也可用折纸的方法． 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？
合作探究 形成知识 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？ A B D C E
合作探究 形成知识 证明： 在△ACD和△ACB中， AD=AB（已知）， DC=BC（已知）， CA=CA（公共边） 合作探究 形成知识 A D B C E 证明： 在△ACD和△ACB中， AD=AB（已知）， DC=BC（已知）， CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS）． ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
合作探究 形成知识 A １．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N． M C B O N 如何用尺规作角的平分线？ 合作探究 形成知识 如何用尺规作角的平分线？ A １．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N． M C ２．分别以M,N为圆心．大于 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C． B O N ３．画射线OC． 射线OC即为所求．
合作探究 形成知识 PD PE 角平分线有什么性质呢？ OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点． 第一次 合作探究 形成知识 角平分线有什么性质呢？ OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点． 1．操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表： A PD PE 第一次 第二次 第三次 P D E C O B 2．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________ PD=PE
合作探究 形成知识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 题设： 一个点在一个角的平分线上． 合作探究 形成知识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 题设： 一个点在一个角的平分线上． A O B P E D 结论：它到角的两边的距离相等． 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E． 求证：PD=PE． C
合作探究 形成知识 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∠PDO= ∠PEO（已证） P A O B C E D 合作探究 形成知识 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 1 2
· 合作探究 形成知识 ∴PD=PE． PD⊥OA，PE⊥OB 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言： A 合作探究 形成知识 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言： B O A C · D P E ∵OC是∠AOB的平分线， ∴PD=PE． PD⊥OA，PE⊥OB
合作探究 形成知识 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ 1．明确命题中的已知和求证． 合作探究 形成知识 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ 1．明确命题中的已知和求证． 2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和 求证． 3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 明过程．
合作探究 形成知识 角的平分线的性质的作用是什么？ 主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
巩固提高 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求 证：EB =FC． A 在此题的已知条件下， 你还能得到哪些结论？
小结反思 1．本节课学习了哪些主要内容？ 2．本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？ 3．角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？在应用这一性质时要注意哪些问题？
再 见