第二章 经典线性回归模型： 双变量线性回归模型 回归分析概述 双变量线性回归模型的参数估计 双变量线性回归模型的假设检验 双变量线性回归模型的预测 实例

§2.1 回归分析概述 一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数（PRF） 三、随机扰动项 四、样本回归函数（SRF）

一、变量间的关系及回归分析的基本概念 1. 变量间的关系 （1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。 （2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。

2. 回归分析的基本概念 回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。 其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。 被解释变量（Explained Variable）或应变量（Dependent Variable）。 解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。

回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括： （1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程； （2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。

二、总体回归函数 回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。

例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。

由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同； 但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。

因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）：E(Y|X=Xi)。

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 每月可支配收入X（元） 每 月 消 费 支 出 Y （元）

在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线（population regression curve）。 相应的函数： 称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。

函数形式：可以是线性或非线性的。 含义：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。 例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时: 为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regression coefficients）。

三、随机扰动项 总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。 称为观察值围绕它的期望值的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误差项（stochastic error）。

例2.1中，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和：（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分；（2）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。

称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。

随机误差项主要包括下列因素： 在解释变量中被忽略的因素的影响； 变量观测值的观测误差的影响； 模型关系的设定误差的影响； 其他随机因素的影响。 产生并设计随机误差项的主要原因： 理论的含糊性； 数据的欠缺； 节省原则。

四、样本回归函数（SRF） 问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数PRF？ 回答：能

该样本的散点图（scatter diagram)： 画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线（sample regression lines）。

记样本回归线的函数形式为： 称为样本回归函数（sample regression function，SRF）。

注意：这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代 则

同样地，样本回归函数也有如下的随机形式： 样本回归函数的随机形式/样本回归模型： 同样地，样本回归函数也有如下的随机形式： 由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sample regression model）。

▼回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。 即，根据 估计

注意：这里PRF可能永远无法知道。

§2.2 双变量线性回归模型的参数估计 一、双变量线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 三、最小二乘估计量的性质 §2.2 双变量线性回归模型的参数估计 一、双变量线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计

回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。 估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。 为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。 实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。

假设1. 解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 一、线性回归模型的基本假设---P99-100-105 假设1. 解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 假设2. 随机误差项具有零均值、同方差和无自相关： E(i)=0 i=1,2, …,n Var (i)=2 i=1,2, …,n Cov(i, j)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n

异方差 X Y

序列自相关 X Y 负相关 正相关 X

假设3. 随机误差项与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, …,n 假设4. 服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 i~N(0, 2 ) i=1,2, …,n

注意： 如果假设1、2满足，则假设3也满足; 如果假设4满足，则假设2也满足。 以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。

给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值. 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值. 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和 最小。

最小二乘法的思路 为了精确地描述Y与X之间的关系，必须使用这两个变量的每一对观察值（n组观察值），才不至于以点概面（做到全面）。 最好指的是找一条直线使得所有这些点到该直线的纵向距离的和（平方和）最小。

最小二乘法的思路 y x 纵向距离 横向距离 距离 A为实际点，B为拟合直线上与之对应的点

最小二乘法的思路 纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大拟合不好，差异小拟合好，所以称为残差、拟合误差或剩余。 将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方和，“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。拟合直线在总体上最接近实际观测点。 于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直线问题转换为求误差平方和最小的问题。

数学形式 Y X * △ Y7 Y9 Min

最小二乘法的数学原理 纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异大拟合不好，差异小拟合好，所以又称为拟合误差或残差。 将所有纵向距离平方后相加，即得误差平方和，“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。 于是可以运用求极值的原理，将求最好拟合直线问题转换为求误差平方和最小。

得到的参数估计量可以写成： 称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到 的，故称为普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。

例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。

计量经济学与电脑 必须指出，模型的建立和实际使用，离开了电脑几乎是不可能的。 目前，已有很多计量经济学软件包，可以完成计量经济学模型的参数估计、模型检验、预测等基本运算。 几种常见计量软件SAS,SPSS,ET,ESP,GAUSS,MATLAB,MICROTSP,STATA, MINITAB,SYSTAT,SHAZAM,EViews,DATA-FIT。 本课程采用国家教委推荐的EViews进行案例教学。 要求同学们掌握EViews，比较熟练地使用它，并掌握EViews与其它Windows软件共享信息。

学习计量软件的要求 鼯鼠五能，不如乌贼一技！

因此，由该样本估计的回归方程为：

四、最小二乘估计量的性质 当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。 一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性： （1）线性，即它是否是另一随机变量的线性函数；

这三个准则也称作估计量的小样本性质。 （2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值； （3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。 这三个准则也称作估计量的小样本性质。 拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator, BLUE）。

（4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值； 当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本或渐近性质： （4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值； （5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值； （6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。

OLS参数估计量的有效性指的是：在一切线性、无偏估计量中，OLS参数估计量的方差最小。 所有参数估计量 线性参数估计量 无偏参数估计量 最小二乘 参数估计量

高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。

五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计

2. 随机误差项的方差2的估计 2又称为总体方差。

由于随机项i不可观测，只能从i的估计——残差ei出发，对总体方差进行估计。 可以证明， 2的最小二乘估计量为 它是关于2的无偏估计量。

一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间 §2.3 双变量线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间

如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。

对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差的平方和,可以证明：

记 总体平方和（Total Sum of Squares） 回归平方和（Explained Sum of Squares） 残差平方和（Residual Sum of Squares ） TSS=ESS+RSS

Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回归线(ESS)，另一部分则来自随机势力(RSS)。 在给定样本中，TSS不变， 如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重越大，因此 拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差TSS

2、判定系数R2统计量 称 R2 为（样本）判定系数/可决系数（coefficient of determination)。 判定系数的取值范围：[0，1] R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高。

在例2.1.1的收入－消费支出例中， 注：判定系数是一个非负的统计量。它也是随着抽样的不同而不同。为此，对判定系数的统计可靠性也应进行检验，这将在以后进行。

R2的其他表示方法

拟合优度（或称判定系数、决定系数） 判定系数只是说明列入模型的所有解释变量对应变量的联合的影响程度，不说明模型中单个解释变量的影响程度。 对时间序列数据，判定系数达到0.9以上是很平常的；但是，对截面数据而言，能够有0.5就不错了。

判定系数达到多少为宜？ 没有一个统一的明确界限值； 若建模的目的是预测应变量值，一般需考虑有较高的判定系数。 若建模的目的是结构分析，就不能只追求高的判定系数，而是要得到总体回归系数的可信任的估计量。判定系数高并不一定每个回归系数都可信任；

二、变量的显著性检验 回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一个显著性的影响因素。 变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的假设检验。 计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。

1、假设检验 所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。

假设检验采用的逻辑推理方法是反证法 先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的

2、变量的显著性检验

检验步骤： H0： 1=0， H1：10 （2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值 （1）对总体参数提出假设 H0： 1=0， H1：10 （2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值 （3）给定显著性水平，查t分布表得临界值t /2(n-2)

若 |t|> t /2(n-2)，则拒绝H0 ，接受H1 ； 若 |t| t /2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ； (4) 比较，判断 若 |t|> t /2(n-2)，则拒绝H0 ，接受H1 ； 若 |t| t /2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ； 对于双变量线性回归方程中的0，可构造如下t统计量进行显著性检验：

在上述收入—消费支出例中，首先计算2的估计值

|t1|>2.306，说明家庭可支配收入在0.05的显著性水平下显著，即是消费支出的主要解释变量；

三、参数的置信区间 假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的假设值的范围（如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近”。

要判断样本参数的估计值在多大程度上可以“近似”地替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数的区间估计。

如果存在这样一个区间，称之为置信区间（confidence interval）； 1-称为置信系数（置信度）（confidence coefficient）， 称为显著性水平（level of significance）；置信区间的端点称为置信限（confidence limit）或临界值（critical values）。

对区间估计的形象比喻 P(1 <  < 2 )=大概的准确程度（ 1-） 我们经常说某甲的成绩“大概80分左右”，可以看成一个区间估计。（某甲的成绩为被估计的参数） P(1 <  < 2 )=大概的准确程度（ 1-） 如：P(75 <  <85 )=95%=1-5% “大概80分左右” 犯第一类错误的概率（也叫显著水平 ） 下限 上限 置信水平1－ 

图示如下 /2 1-

双变量线性模型中，i (i=1，2）的置信区间: 在变量的显著性检验中已经知道： 意味着，如果给定置信度（1-），从分布表中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(-t/2, t/2)的概率是(1- )。表示为： 即

于是得到:(1-)的置信度下, i的置信区间是 在上述收入-消费支出例中，如果给定 =0.01，查表得： 由于 于是，1、0的置信区间分别为： （0.6345,0.9195) （-433.32,226.98）

由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。 要缩小置信区间，需要 （1）增大样本容量n。因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；

（2）提高模型的拟合优度。因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。 由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。

§2.4 双变量线性回归分析的应用：预测问题 一、Ŷ0是条件均值E(Y|X=X0)或个值Y0的一个无偏估计 §2.4 双变量线性回归分析的应用：预测问题 一、Ŷ0是条件均值E(Y|X=X0)或个值Y0的一个无偏估计 二、总体条件均值与个值预测值的置信区间--------（选学内容）

说 明 对于双变量线性回归模型 给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得到被解释变量的预测值Ŷ0 ，可以此作为其条件均值E(Y|X=X0)或个别值Y0的一个近似估计。 严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因: （1）参数估计量不确定； （2）随机项的影响

二、总体条件均值与个值预测值的置信区间 1、总体均值预测值的置信区间 由于 于是 可以证明

因此 故

其中 于是，在1-的置信度下，总体均值E(Y|X0)的置信区间为

2、总体个值预测值的预测区间 由 Y0=0+1X0+ 知: 于是 式中 : 从而在1-的置信度下， Y0的置信区间为

在上述收入—消费支出例中，得到的样本回归函数为: 则在 X0=1000处， Ŷ0 = –103.172+0.777×1000=673.84 而

因此，总体均值E(Y|X=1000)的95%的置信区间为： 或 （533.05, 814.62） 同样地，对于Y在X=1000的个体值，其95%的置信区间为： 673.84 - 2.30661.05<Yx=1000 <673.84 + 2.30661.05 或 (372.03, 975.65)

总体回归函数的置信带（域）（confidence band）------教材P120 个体的置信带（域）

对于Y的总体均值E(Y|X)与个体值的预测区间（置信区间）: （1）样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低； （2）样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。

§2.5 实例：时间序列问题 一、中国居民人均消费模型 二、我国固定资产投资总额与GDP的关系

一、中国居民人均消费模型 例2.5.1 考察中国居民收入与消费支出的关系。 GDPP： 人均国内生产总值（1990年不变价） CONSP：人均居民消费（以居民消费价格指数（1990=100）缩减）。

该两组数据是1978—2000年的时间序列数据（time series data）； 前述收入—消费支出例中的数据是截面数据（cross-sectional data）。 1. 建立模型 拟建立如下双变量回归模型 采用Eviews软件进行回归分析的结果见下表

斜率项：0<0.3862<1，符合绝对收入假说 一般可写出如下回归分析结果： (13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23 DW-d=0.5503 2. 模型检验 R2=0.9927 T值：C：13.51， GDPP：53.47 临界值: t0.05/2(21)=2.08 斜率项：0<0.3862<1，符合绝对收入假说

3. 预测 2001年：GDPP=4033.1（元）（1990年不变价） = 1758.7（元） 相对误差: -1.32%。 3. 预测 2001年：GDPP=4033.1（元）（1990年不变价） 点估计：CONSP2001= 201.107 + 0.38624033.1 = 1758.7（元） 2001年实测的CONSP（1990年价）:1782.2元， 相对误差: -1.32%。

在95%的置信度下，E(CONSP2001)的预测区间为： 2001年人均居民消费的预测区间 人均GDP的样本均值与样本方差： E(GDPP) =1823.5 Var(GDPP) = 982.042=964410.4 在95%的置信度下，E(CONSP2001)的预测区间为： =1758.740.13 或： （1718.6,1798.8）

同样地，在95%的置信度下，CONSP2001的预测区间为： =1758.786.57 或 （1672.1, 1845.3）

例2.5.2 我国固定资产投资总额与GDP的关系 第一步：建立模型 第二步：收集数据 采用1980~1998年的数据，数据来源《中国统计年鉴(2000)》 说明：在理论经济学中I表示私人部门投资，在我国的统计体系中，固定资产投资总额既包括私人部门投资，也包括公共部门（政府）的投资。

第三步：参数估计(OLS)，得

第四步：模型检验 经济意义检验：b1的经济含义是固定资产投资乘数，肯定大于1，按我国的实际情况，不是很大，估计在4或5以下，通过检验。 统计检验：拟合优度检验、参数估计值显著性检验、模型显著性检验。 计量经济检验（异方差、序列资相关、随机解释变量、多重共线性） 模型预测检验

统计检验-拟合优度检验 样本判定系数 线性模型解释了因变量的99.29%，拟合程度很好。

统计检验-参数估计值显著性t检验 提出原假设： 备择假设： 构造统计量 计算得 检验：取 =5%，查表得 拒绝原假设，b1显著不为零

统计检验-方程显著性F检验 提出原假设： 备择假设： 构造统计量 计算得 检验：取 =5%，查表得 检验：取 =5%，查表得 拒绝原假设，b1显著不为零，线性关系显著。可以发现t2＝2362约等于2367＝F，那是因为计算有误差。否则应该相等的。

预测 点预测 1999年固定资产投资总额29854.7亿元 个值区间预测

凝神守一 朴而不露