第八章 矩阵论

8.1 矩阵的概念 先看两个案例： 案例1 某公司生产四种型号的彩电：A,B,C,D,第一季度的销量（单位：台）分别如下表所示： 产品 月份 8.1 矩阵的概念 先看两个案例： 案例1 某公司生产四种型号的彩电：A,B,C,D,第一季度的销量（单位：台）分别如下表所示： 产品 月份 销量 A B C D 一月 300 250 220 180 二月 320 230 200 三月 310 280 210

为了研究方便，在数学中常把表中的说明去掉，将上表简化为如下的矩形数表： 此表在数学上称为矩阵。

案例2 线性方程组 的系数按方程组中的相对位置排出矩形表：

定义 1 由 个数 ，排成的m行n列的数表 叫做m行n列矩阵（或 矩阵）；其中 叫做 矩阵的元素； 分别叫做 的行标和列标。 矩阵的表示： 用大写字母 或 也可记作 或

几种特殊矩阵 (1) n阶方阵（m=n时）： (2) 行矩阵（m=1时）： 主对角线 （3）列矩阵（n=1时）： （4）零矩阵： 或

（6）单位矩阵：主对角线上元素全为1的对角矩阵， （5）对角方阵（除主对角线外，其余元素均为0的方阵）： 如 （6）单位矩阵：主对角线上元素全为1的对角矩阵， 记为 （或 ）。即 例如

（7）上三角矩阵： 下三角矩阵： 说明：矩阵的相等： （即：矩阵的相等恰意味着元素对应相等）

8.2 矩阵的运算 8.2.1 矩阵的加法 定义1 设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n， 8.2 矩阵的运算 8.2.1 矩阵的加法 定义1 设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n， 则矩阵A与B的和记为A+B，定义为 如

注意：两个矩阵只有当它们的行数、列数分别相同时，才可进行加减。 矩阵加法满足以下规律： （1）交换律：A+B=B+A （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C) （其中A,B,C都是 矩阵）

（1）分配律： k(A+B)=kA+kB，(k+h)A=kA+hA （2）结合律：k(hA)=(kh)A 8.2.2 数与矩阵的乘法 定义2 数k与矩阵 的乘积规定为 如 则 数与矩阵的乘法满足以下规律： （1）分配律： k(A+B)=kA+kB，(k+h)A=kA+hA （2）结合律：k(hA)=(kh)A （其中，A，B都是 矩阵，k，h为任意常数）

特别地， 时， 称为矩阵A的负矩阵，记为 。 显然有 从而可定义矩阵的减法， 规定A与B的差为： （其中A与B都是 矩阵）

例1 求满足方程： 的矩阵 解：

8.2.3 矩阵与矩阵的乘法 案例：某厂生产两种产品，第一季度的销售额如表（1）所示（单位：千元），表（2）为产品质量全为一等品或全为二等品时的利润表。 产品 A B 等级 一等品 二等品 月份 产品 一月 5 7 A 20% 10% 二月 6 10 B 30% 15% 三月 8 12 表（1） 表（2）

因此，该厂产品若全为一等品或全为二等品时利润如下所示。 等级 一等品 二等品 月份 一月 二月 三月

上述三个数表，用矩阵表示为 可记C=AB 。其中 而 （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）

定义3 设 令 则称 为A与B的乘积，记 作C=AB 。即

结论：矩阵A与B的乘积AB有意义的充要条件是：左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数s 。 例3 已知 求AB 。 解：

例4 已知A=（3 4 5），B= ， 求AB，BA . 解：由矩阵乘法的定义可知， 由此例可以看出，一般情况下， 。即矩阵的乘法不满足交换律.

例5 已知 求AB . 解：由矩阵乘法的定义可知， 此例说明两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵， 因此，通常的约分律在矩阵部分不成立。 矩阵的乘法满足以下规律： （1）分配律： A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA （2）结合律： (AB)C=A(BC)， k(AB)=(kA)B=A(kB) （其中A, B, C为矩阵, k为任意的数）

8.2.4 矩阵的转置 定义4 将矩阵A的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为A的转置矩阵，记作 。 如 矩阵 的转置矩阵为 转置矩阵具有下列性质： （1） （2） （3） （4）

例6： 设 求 ( A B ) T。 解：

8.3 矩阵的初等变换 8.3.1 矩阵的初等变换及相关概念 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换 定义 1 8.3 矩阵的初等变换 8.3.1 矩阵的初等变换及相关概念 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换 定义 1 (1) 互换两行 ( 记作 ri  rj ); (2) 以数   0 乘以某一行 ( 记作  × ri ); (3) 将第 j 行各元素乘以数后加到第 i 行的对应元素上去 (记作 ri +  rj ) 相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c。

矩阵的初等行变换和列变换统称为矩阵的初等变换，对一个矩阵实施任何一次初等变换后，所得矩阵与之前的矩阵一般都不相等，因此用符号“ ”连接它们. 如

定义2 若一个矩阵满足下列条件： (1) 若有元素全为零的行，则位于非零行下方； (2) 每行首位非零元素的列标随着行标的增大而严格增大. 定义2 若一个矩阵满足下列条件： (1) 若有元素全为零的行，则位于非零行下方； (2) 每行首位非零元素的列标随着行标的增大而严格增大. 则称该矩阵为行阶梯形矩阵，简称阶梯形矩阵. 如矩阵 都是阶梯形矩阵. 而 都不是阶梯形矩阵.

定义3若一个阶梯形矩阵满足下列条件： （1）每一行首位非零元素是数1 ． （2）每行首位非零元素所在的列除该元素外为全为0． 则称该矩阵为行标准形矩阵． 如矩阵 都是行标准形矩阵.

定理1 任何一个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，进而化为行标准形矩阵． 定理1 任何一个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，进而化为行标准形矩阵． 例1 用初等变换把下列矩阵化为阶梯形矩阵，进而化为行标准形矩阵． 解：

同时看到，矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的，但它的行标准形是唯一的。 定义4 如果对矩阵A经过若干次初等变换化为B，则称矩阵A和B是等价的，记为 .

8.3.2 初等矩阵 定义5 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 (1) ri  rj 第 i 行 第 j行

(2) k× ri 第 i 行

(3) ri + k rj 第 i 行 第 j 行 同样，由列初等变换的类型可得三类列初等矩阵。 这里不多介绍。

定理2 设A是一个 m × n 矩阵， （1）对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵； （2）对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵； 例如：

r1  r2 A

由定理可知，求一个矩阵的秩，只需将其化为阶梯形即可。 8.3.3 用初等变换求矩阵的秩 定义6 矩阵 的秩是和A等价的阶梯形矩阵的 非零行的数目r ,记为r(A)=r. 当 时，称矩阵A为行满秩矩阵； 当 时，称A为列满秩矩阵。 当 时，称A为满秩矩阵。 由矩阵秩的定义，有如下定理成立. 定理3 若矩阵A与矩阵B等价，则 由定理可知，求一个矩阵的秩，只需将其化为阶梯形即可。

例2 求下列矩阵的秩 解: (1)将矩阵A用初等行变换化为阶梯形 , 矩阵A的阶梯形有两行不是零行,所以.

解: (2)将矩阵B用初等行变换化为阶梯形 , 矩阵B的阶梯形有三行不是 零行,所以.

8.4 方阵的行列式 学习重点 余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念

8.4 方阵的行列式 8.4.1 行列式的概念 两侧的方括号去，各加以竖线的算式 定义1 将n阶方阵 8.4 方阵的行列式 8.4.1 行列式的概念 两侧的方括号去，各加以竖线的算式 定义1 将n阶方阵 ; 称为方阵A的n阶行列式，它是一个数.记为 或 . 行列式是一个n行n列的数表决定的一个数， 那么这个数是怎样确定的呢？

规定 ●一阶行列式 A是1阶方阵时，若 则规定 ●二阶行列式 A是2阶方阵时，若 对角线法则 即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积 如 ; 即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积 如

●三 阶行列式 对角线法则

如 对角线法则 但是对于四阶以上的行列式,这种对角线法则不再适用,需要更一般的方法来计算任意的n阶行列式. 下面先引进余子式和代数余子式的概念.

定义2 将n阶行列式中的元素 所在的行和列划去 并称 为元素 的代数余子式。 如 元素 的余子式 元素 的代数余子式

三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和 。 这并不是偶然现象.其实任 意一个n阶行列式可借助代数余子式，在三阶行列式的 基础上递归地展开.

是一个n(n>1)阶方阵，则方阵A的行列式是如下定义的一个数： ●定义3 其中 为元素 的代数余子式。 逐次按第一行展开

例1 设 ，求 解 由定义3知 所以 定义3是将行列式按第一行展开.实际上,行列式 可按任意一行或一列展开.

定理1 是一个n(n>1)阶方阵，则方阵A的 行列式可按它的任意一行或一列展开.： (按第 行展开） (按第 列展开） 其中 例2 证明对角行列式 . 证明：

上（下）三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积 逐次按第一列展开 同样，上三角形行列式 下三角形行列式 上（下）三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积

表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有 8.4.2 行列式的性质 性质1 行列式D与它的转置行列式 相等 其中 a11 a21 … an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann D=  表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … an1 an2 … ann 则 DT=

性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以 同一数k 等于用数k乘此行列式 性质2 互换行列式的两行 行列式变号 推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以 同一数k 等于用数k乘此行列式 该性质从等式的右到左，就意味着行列式一行（列） 的公因子可以提到行列式的外面。

推论1 如果行列式某一行（列）的元素全为0， 则此行列式的值为0 ． 推论2 如果行列式某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值为0 ． 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和 即

n阶行列式中任意一行的元素与另一行的相应 元素的代数余子式的乘积等于0. 性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去 行列式不变 即 n阶行列式中任意一行的元素与另一行的相应 元素的代数余子式的乘积等于0. 性质6 . 即：当 时,有

8.4.3 行列式的计算 定理2 设 为n阶方阵，k为实数，则有 行列式计算的基本思想就是对一个行列式,首先 8.4.3 行列式的计算 行列式计算的基本思想就是对一个行列式,首先 利用行列式的性质将其化简,再计算. 为说明行列式的具体计算过程,将采用与矩阵的初等变换一致的符号： （1 ）交换i j两行记作rirj 交换i j两列记作cicj （2）以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj (cikcj) 

3 1 2 1 5 4 3 例3 计算  3 1 2 1 5 4 3 c1c2 1 5 3 5 2 1 2 1 4 3 1 3 解 1 3 2 1 1 3 2 1 16 7 2 r2r3 r2r1 8 4 6 2 1 1 r45r1 2 1 1 8 6 4 16 2 7 1 2 3 1 1 2 3 1 10 8 r34r2 40 r48r2 10 8 15 10 5/2

例4 计算  3 1 3 1 6 1 3 c1c2c3c4 解 r2r1 1 3 1 c16 6 6 r3r1 2 r4r1 例4 计算  3 1 3 1 6 1 3 c1c2c3c4 解 r2r1 1 3 1 c16 6 6 r3r1 2 r4r1 2 2 6848 下页

此外，在行列式的计算中，常先将行列式的某一行（或列）中元素尽可能多的化为零，再将行列式按此行（或列）展开，化为低一阶的行列式，如此继续下去化为容易求出的行列时为止。 例5 计算行列式 解 D

8.5 矩阵的逆矩阵 8.5.1 逆矩阵的定义 定义1 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = I 8.5　矩阵的逆矩阵 8.5.1 逆矩阵的定义 定义1 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = I 则称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵。 显然A 为B 的逆矩阵，即 A 与B 互为逆矩阵。 例如： 有 所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。

说明：矩阵的逆矩阵的唯一性 若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A－1 表示 因为 设B、C均是A的逆矩阵，则 B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C 所以A的逆矩阵唯一。

推论 若A1，A2，…，Am均为n阶可逆矩阵，则 ( A1 A2 … Am)－1 = Am－1 … A2－1 A1－1 8.5.2 逆矩阵的性质 定理1 若A，B均为n阶可逆方阵，k是一个数，则 都可逆，且 证明： （3）因为 (AB)(B－1A－1) = A ( B B－1 ) A－1 = A A－1 = I , 且 所以由逆矩阵的定义知, 推论 若A1，A2，…，Am均为n阶可逆矩阵，则 ( A1 A2 … Am)－1 = Am－1 … A2－1 A1－1 ,

8.5.2 矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法 1. 矩阵可逆的条件 设 A = (aij)n×n , Aij 是 |A | 中元素 aij 的代数余子式 ( i, j = 1, 2, …, n ); 定义2: 称为 A 的伴随矩阵 矩阵 显然有

即： A A* = A* A = |A | I |A | 定理2 方阵 A 存在逆矩阵 且

2.求逆矩阵的方法： （1）伴随矩阵法：方阵 A满足 时， 例3 求矩阵 的逆矩阵 解： 故 A 可逆，又 例3 求矩阵 的逆矩阵 解： 故 A 可逆，又 A11＝5， A12＝－2，A21＝－2，A22＝1 则 所以

( A I ) ( I A－1 ) 初等行变换 （2）初等变换法 例2 求 A－1. 设 解： r2－2r1 r3－3r1

r1 － 2r3 r2 － 5r3 r1 + r2 r3 － r2 故

8.5.4 逆矩阵的应用-------解矩阵方程 对于n元线性方程组 AX = B |A|  0，A－1存在, 若 则 X＝A－1B 例3：解方程组 2 x1 + 2 x2 + x3 = 1 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1 3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3 解：方程组简记为 A X = B 其中 由于 | A | = 2  0, A可逆，故 X = A1 B

而 即 x1=  8, x2= 9, x3=  3.

8.6 线性方程组 8.6.1 线性方程组的有关概念 (8-1) 或记为 其中 系数矩阵 增广矩阵

8.6.2 线性方程组的解法 1. 克莱姆法则 该法则主要用于未知数的个数与方程的个数相等 的情形，是利用行列式求解方程组的一种方法。 如 8.6.2 线性方程组的解法 1. 克莱姆法则 该法则主要用于未知数的个数与方程的个数相等 的情形，是利用行列式求解方程组的一种方法。 如 ， ， 可用消元法解得

设含有n个未知量 ，由n个线性方程组成的线性方程组 定理1 （克莱姆法则） 设含有n个未知量 ，由n个线性方程组成的线性方程组 若它的系数行列式 ，那么方程组有唯一一组解： 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端 的常数项代替后所得到的n阶行列式，即

例1 用克莱姆法则求解方程组 ， 解：因为 ， ， 所以有

2、高斯消元法 中学所学消元法的实质是对线性方程组进行如下变换： (1) 互换两个方程的位置； (2) 用一个非零的数乘某个方程的两端； (3) 用一个数乘某个方程的两端加到另一个方程上去. 由于线性方程组是由其增广矩阵完全确定的，所以对线性方程组进行上述变换，相当于对其增广矩阵实施相应的行初等变换，这种解法叫高斯消元法.

定理2 (线性方程组有解的判定定理) 线性方程组 有解的充要条件是：方程组的系数矩阵 的秩与增广矩阵 的秩相等，即 且 (1) 当 （未知数的个数）时，方程组有唯一一组解； (2) 当 时，方程组有无穷多组解.只是自由未知量的个数为 个.

例1 解线性方程组 解：对方程组的增广矩阵实施行初等变换化为阶梯形矩阵 可以看出， 所以方程组有解，且有唯一解。

下面继续将矩阵化为行标准形矩阵: 故原方程组同解于 这就是原方程组的解。

一般若方程组有解，直接将其增广矩阵化为行标准形即可。 例2 解线性方程组 解：对方程组的增广矩阵实施行初等变换化为阶梯形矩阵 可以看出， 所以方程组无解。 一般若方程组有解，直接将其增广矩阵化为行标准形即可。

例3 解线性方程组 解：对方程组的增广矩阵实施行初等变换：

原方程组同解于 因为 所以方程组有无穷多组解. 取 为自由变量，则有 令 则方程组的一般解为：

解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换化为阶梯形 例４.试问: 取何值时,线性方程组 无解,有唯一解,有无穷多组解? 解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换化为阶梯形 (1) 当 且 ，即 且 时, 方程组无解; 时, (2) 当 且 ，即 且 方程组有唯一解;

(3) 当 且 ， 即 且 时， 方程组有无穷多组解. 恒有 说明：对于齐次线性方程组 则它一定有解，且 （1） 时，有惟一解---零解； （2） 时，有无穷多组解；

例5 解齐次线性方程组 解：对方程组的增广矩阵实施行初等变换： ， ，

原方程组同解于 因为 所以方程组有无穷多组解. 为自由变量，并令 取 则方程组的一般解为：

8.7 矩阵的特征值与特征向量 定义1 设A是n阶方阵，如果存在非空的n行1列矩阵X（n维列向量）使下式成立 8.7 矩阵的特征值与特征向量 定义1 设A是n阶方阵，如果存在非空的n行1列矩阵X（n维列向量）使下式成立 （1） 则称数 为方阵A的特征值，非零列向量X称为矩阵A的特征值对应的特征向量． 例1 设 ， 因为 由定义1知， 是矩阵 的特征值， 是属于 特征值 的特征向量．

若 X是A的特征向量，即 ．任取数 则 ．故 也是 A的特征向量． 因此，一个特征值对应无穷个特征向量． 先把方程（1）写成 移项，得 其中 叫做矩阵A的特征矩阵。 将（2）展开为n元线性方程组

它有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即 是关于 的 次多项式，称为矩阵A的 的特征多项式， 称为矩阵A的特征方程。 可以看出，A的特征值正是它的特征方程的解，而 特征向量是齐次线性方程组 的非零解向量．

由此，求矩阵A的特征值和特征向量的具体方法： （1）计算特征多项式 ； （2）解特征方程 ，求出特征值 ； （3）把每一个特征值带入方程组 ，求出方程组的非零解向量 ， 即是属于 的特征向量． 例2 求矩阵 的特征值与特征向量。 解: (1) 计算特征多项式：

（2）求特征值：令 可得 是二重根 ， （3）求特征向量：把特征值 带入方程组 得 ． 解该方程组，得到关于 的全部特征向量为

同样，把特征值 带入方程组 得到关于 的全部特征向量为 ．