现代控制理论 山东大学控制科学与工程学院

第3章 小 结 1、系统的状态能控性 （1）若线性定常系统Σ(A，B)在有限时间间隔[t0，tf ]内存在无约束的分段连续输入信号u(t)，能使系统的任意初始状态x(t0)转移到状态x(tf ) = 0，则称系统是状态完全能控的。 反之，若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的控制作用，则称系统是可达的。 对线性定常系统，可控与可达是可逆的。

（2）线性定常系统能控性判据 ① rankQc= rank[ B AB … An1B]= n ② 当A为对角形且特征值互异时，输入矩阵B中无全为零行；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应的行不全为零。 ③ SISO系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。 ④ Σ(A，B)为能控标准形。

（3）线性定常离散系统能控性判据 rankUc= rank[ H GH … G n1H]= n （4）线性定常系统离散化后的能控性： 连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控；连续系统能控，离散化后的系统不一定能控，与采样周期T的选择有关。 （5）能控标准形 ① SISO Σ(A，B) ，其A和B有以下的标准格式

② 对能控系统Σ(A，B)化为能控标准形的变换矩阵P是唯一的，且 P1 = [0 … 0 1][B AB … An1B ]1

2、系统的输出能控性 （1） 若线性定常系统Σ(A，B，C，D)在有限时间间隔[t0，tf ]内存在无约束的分段连续输入信号u(t)，能使系统的任意初始输出y(t0)转移到y(tf )，则称系统是输出完全能控的。 （2）输出能控性判据为 rankQ = rank[ CB CAB … CA n1B]= m （3）状态能控性和输出能控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。

3、系统的状态能观测性 （1）若线性定常系统Σ(A，B，C)能根据有限时间间隔 [t0，tf ]内测量到的输出y(t)，唯一地确定初始状态x(t0)，则称系统是状态完全能观测的。 （2）线性定常系统能观测性判据 ①

② 当A为对角形且特征值互异时，输出矩阵C中无全为零列；当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，C中与约当块第一列对应的列不全为零，且C中相异特征值对应的列不全为零。 ③ SISO系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。 ④ Σ(A，B)为能观测标准形。

（3）线性定常离散系统能观测判据 （4）线性定常系统离散化后的能观测性： 连续系统不能观测，离散化后的系统一定不能观测；连续系统能观测，离散化后的系统不一定能观测，与采样周期T的选择有关。

（5）能观测标准形 ① SISO Σ(A，C) ，其A和C有以下的标准格式 C = [0 … 0 1] ② 对能控系统Σ(A，C)化为能观测标准形的变换矩阵T是唯一的，且 T = [ T1 AT1 … An1T1 ]

4、对偶原理 线性系统Σ1(A，B，C)与Σ2(AT，CT，BT)互为对偶系统。若系统Σ1能控（能观测），则Σ2能观测（能控）。 5、线性定常系统的结构分解 从能控性和能观测性出发，状态变量可分解为能控能观测xco，能控不能观测xcô，不能控能观测xĉo，不能控不能观测xĉô四类。以此对应，将状态空间分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的结构分解。研究结构分解更能揭示系统结构特性和传递特性。

6、最小实现 （1）已知传递函数阵G(s)，找一个系统Σ(A，B，C，D)满足关系 C(sI  A)1B+D = G(s) 则称Σ(A，B，C，D)为G(s)的一个实现。 （2）若传递函数阵G(s)的各个元素均为s的有理分式，且分子分母多项式的系数为实常数时，则G(s)一定是可实现的，且其可能的实现有无穷多个。 （3）在传递函数阵G(s)的所有可能实现中，状态空间维数最小的实现称为最小实现，也叫不可约实现。

（4）若传递函数阵G(s)是可实现的，则其最小实现有无穷多个，而且相互间彼此代数等价。 （5）传递函数阵G(s)的一个实现Σ(A，B，C，D)为最小实现的充要条件是不但能控而且能观测。

例3-25 若系统的状态空间表达式为 分别确定当系统状态可控及系统可观测时，a，b，c，d应满足的条件。 解： 可见，当a − b − c − d ≠ 0时系统可控；当c ≠ 0时系统可观测。

例3-25 设n阶系统的状态空间表达式 若CB = 0，CAB = 0，…，CAn−1B = 0，试证：系统不能同时满足可控性、可观测性的条件。 证明 系统可控性矩阵和可观测矩阵为

可见，QoQc不满秩。根据矩阵理论，Qo，Qc中至少有一个矩阵不满秩，即系统不能同时可控可观测。证毕。

例3-28 已知系统的传递函数为 （1）试确定a的取值，使系统成为不能控，或为不能观测； （2）在上述的a取值下，求使系统为状态能控的状态空间表达式； （3）在上述的a取值下，求使系统为状态能观测的状态空间表达式。 （4）求a = 1时，系统的一个最小实现。 解： （1）当a = +1，或+3，或+6时，传递函数有零极点对消，这时系统或是不完全能控，或不完全能观测。

（2）取能控标准形的实现。 （2）取能观测标准形的实现。

（4）方法有很多。 比如把（2）中的能控标准形系统进行能观测性结构分解，求出能控能观测子系统，即为一个最小实现； 把（3）中的能观测标准形系统进行能控性结构分解，求出能控能观测子系统，也可找出一个最小实现； 现在把传递函数中的零、极点消去，然后找出一个实现即为最小实现。

结 束