4 二維與三維運動

4-1　物理學探討什麼 4-2　位置與位移 4-3　平均速度與瞬時速度 4-4　平均加速度與瞬時加速度 4-5　拋體運動 4-6　分析拋體運動 4-7　等速圓周運動 4-8　一維的相對運動 4-9　二維的相對運動

4-1 物理學探討什麼 本章中我們將繼續探討關於運動分析方面的物理。不過，現在要考慮的運動可以是二維或三維的。 要研究二維及三維的運動，我們先由位置及位移的概念開始。

4-2 位置與位移 通常我們會用位置向量（position vector）r 來標示粒子（或像粒子的物體）的位置。位置向量是一個從參考點（通常為座標系的原點）延伸至粒子的向量。 以第 3 章的單位向量符號表示法，r 便可以被寫為

圖4-1 一個粒子的位置向量 r，是 r 的向量分量的向量和。

4-2 位置與位移 (續) 假若在某一時間間隔內，粒子的位置向量從 r1 改變至 r2，則粒子在那段時間間隔內的位移Δr 為 用 4-1 式中的單位向量符號表示， 其中 (x1, y1, z1) 為位置向量 r1 的座標；(x2, y2, z2) 為位置 向量 r2 的座標。以Δx 代表 (x2–x1)、Δy 代表 (y2–y1)、 Δz 代表 (z2–z1)，並將它們代入位移中重寫成：

4-3 平均速度與瞬時速度 假若一個粒子在時間間隔Δt 內移動了Δr，則它的平均速度（average velocity）vavg 為 或以符號寫成 利用 4-4 式，我們可將 4-8 式寫為向量分量的和

4-3 平均速度與瞬時速度 (續) 當我們講到粒子的速度（velocity）時，通常指的是粒子在某一時刻的瞬時速度（instantaneous velocity）v。v 是當Δt 趨近於 0 時 vavg 的極限值。以微積分的語言，v 可寫成導數

4-3 平均速度與瞬時速度 (續) 圖 4-4 畫出一個被限制在 xy 平面上的粒子之運動路徑。當粒子沿著曲線向右運動時，它的位置向量隨著粒子掃向右邊。在時間間隔 Δt 內，粒子的位置向量從 r1 改變到 r2，粒子的位移便是 Δr。 要得到粒子在時刻 t1 的瞬時速度（此時粒子的位置在 r1），我們縮短在 t1 附近的時間間隔 t，並使其趨近於 0。

4-3 平均速度與瞬時速度 (續) 當Δt →0 極限時，我們有 vavg→v；同時，最重要的是 vavg 在切線的方向上，所以 v 也在同樣的方向上： 在三維空間的運動也是同樣的結果：v 總是與粒子的路 徑相切。

圖4-4 在時間 t1 時，粒子在位置 1，其位置向量是 r1；在 時間 t2 時，粒子在位置 2 ，其位置向量是 r2。在時 於位置 1 時路徑的切線。

圖4-5 粒子的速度 v 跟 v 的純量分量。

4-4 平均加速度與瞬時加速度 在時間Δt 間隔內，若粒子的速度從 v1 改變到 v2。那麼，粒子在時間Δt 內的平均加速度（average acceleration）aavg 為

4-4 平均加速度與瞬時加速度 (續) 對於某一時刻，我們縮短Δt 並使它趨近於 0。那麼，在此極限下，aavg 趨近於在那一時刻的瞬時加速度〔instantaneous acceleration；或簡稱加速度（acceleration）〕 a；也就是 將 4-16 式以單位向量表示 可以將它改寫成

4-4 平均加速度與瞬時加速度 (續) 4-17式中，a 的純量分量為 對 v 的純量分量做微分可以得到 a 的純量分量。

4-5 拋體運動 一粒子在鉛直面上運動，它的初速是 v0；不過，加速度一直都是向下的自由落體加速度 g。這樣的粒子就叫作拋體（projectile；意指投射或投擲），而它的這種運動就稱為拋體運動（projectile motion）。

4-5 拋體運動 (續) 拋體運動，乍看之下似乎很複雜，但卻可以用以下的特性（由實驗得知）簡化： 利用這個特性，我們能將二維運動的問題分成兩個獨立且較簡單的一維運動問題。其中之一為水平運動（加速度為 0），另外一個是鉛直運動（有向下的等加速度）。

4-5 拋體運動 (續) 兩個高爾夫球 圖 4-10 為兩張高爾夫球的連續快照，其中一球只是被簡單地釋放並落下，另一顆球則是用彈簧將它水平射出落下。在相同的時間內它們落下的鉛直距離一樣，因此它們在鉛直方向上的運動是相同的。 雖然第二顆球在落下時有水平運動，但這個事實並沒有影響到它的鉛直運動；也就是說，水平和鉛直運動互相獨立。

圖4-10 一球由靜止被釋放；同一時 刻，另一顆球則是水平地往 右方射出。它們在鉛直方向 上的運動是相同的（圖片來 源：Richard Megna/Fundamental Photographs）。

4-5 拋體運動 (續) 一個令人深思的實驗 圖 4-11 是一個生動有趣的實驗示範。它包括以一顆小球當作拋體的吹管 G，目標為懸於磁鐵 M 下方的鐵罐，並使吹管對準鐵罐。我們特意安排實驗，使小球離開吹管的那一瞬間，磁鐵的磁力恰好消失並釋放鐵罐。 假若 g（自由落體加速度的大小）為 0，小球將會沿著圖 4-11 中的直線前進；而磁鐵釋放鐵罐後，鐵罐仍會漂浮在原地。因此，小球一定能擊中鐵罐。

圖4-11 射出的小球總能擊中掉 下來的鐵罐。小球和鐵 罐兩者均從無自由落體 加速度時的位置落下 h 的距離。

4-6 分析拋體運動 水平方向的運動 由於在水平方向沒有加速度，拋體的整個運動過程中，速度的水平分量保持不變並與初始值 v0x 相同。 在任何時刻 t，拋體與其初始位置 x0 的水平位移 x– x0 可由 2-15 式並令 a=0 求得。我們可以寫出 因為 v0x= v0 cosθ0，上式寫為

4-6 分析拋體運動 (續) 鉛直方向的運動 鉛直方向的運動即為 2-9 節中所討論過的自由落體運動，最重要的特點是加速度是個常數。因此表 2-1 的方程式可以應用，只要將 a 以 –g 代替，並轉換成 y 座標的記號。例如 2-15 式就變成

4-6 分析拋體運動 (續) 路徑方程式 將 4-21 式和 4-22 式中的時間變數 t 消去，便可求得拋體的運動路徑（軌跡；trajectory）方程式。將 4-21 式的 t 解出，並將它代入 4-22 式中。整理後得 由於 g、θ0及 v0 均為常數，4-25 式有 y=ax+bx2 的函數形式，其中的 a 及 b 均為常數。這是一個拋物線方程式，因此該路徑呈拋物線形。

4-6 分析拋體運動 (續) 水平射程 拋體的水平射程（horizontal range）R 是該物體與它初始位置（拋射時位置）在同一高度時的水平距離。要求出 R，我們令 4-21 式中的 x – x0=R 及 4-22 式中的 y – y0=0，可得 利用恆等式 sin 2θ0=2 sinθ0 cosθ0，可得

4-6 分析拋體運動 (續) 當 sin 2θ0=1 時，4-26 式中的 R 有最大值，此時對應的角度是 2θ0=90°，也就是θ0=45°。

4-6 分析拋體運動 (續) 空氣的效應 我們曾經假設空氣不會影響拋體的運動。在很多情形下，由於空氣會（反向）阻擋物體的運動，這使得我們計算出的結果與拋體的實際運動有很大的不同。 例如圖 4-13 繪出一個被擊出的球之兩種運動路徑。這個球的初速是 44.7 m/s 並與水平成 60°。路徑 I（由打擊手實際擊出的高飛球）是考慮一般球賽周遭的空氣條件時，所算出的運動路徑；路徑 II（物理教授的高飛球）是球在真空中的運動路徑。

圖4-13 路徑 I 是考慮空氣的阻擋效應所算出的運動路徑。球在真 空中的運動路徑 II 是以本章的方法計算出的。參考表 4-1 中的資料。（取材自“ The Trajectory of a Fly Ball, ” by Peter J. Brancazio, The Physics Teacher, January 1985.）

表4-1

練習1 大聯盟最快速球的紀錄是由2003年費城人隊的Billy Wagner 所投出的101mi/hr, 如果一般投手以此速度大小, 水平地投球, 當球飛行60.5呎的水平距離抵達本壘時, 球下墜了多少垂直高度?

練習2 請問石頭掉下海灘費時多久?觸地時之速率與角度為何?

4-7 等速圓周運動 假若一粒子以固定的（均勻的）速率在一圓周或圓弧上運動，我們稱此粒子正在做等速圓周運動（uniform circular motion）。 等速圓周運動時的加速度又被稱為向心加速度（centripetal acceleration）。加速度 a 的大小為 上式中，r 為圓的半徑，v 是粒子的速率。

4-7 等速圓周運動 (續) 雖然粒子正在做加速，但卻是維持等速率運動。因此，粒子繞行圓周一圈（距離 2πr）所需時間便是 T 稱為迴轉週期（period of revolution），或簡稱為週 期（period）它通常是指粒子繞行一個封閉路徑一次所 需的時問。

圖4-18 等速圓周運動時的速度向量和加速度向量。

4-8 一維的相對運動 一粒子的速度與觀察者或測量者所使用的參考座標系（reference frame）有關。 假設 Alex（位於圖 4-20 內參考座標系 A 的原點）將車停於公路旁，觀察 P 車（視為「粒子」）的速度。Barbara（位於參考座標系 B 的原點）以等速率沿著公路行駛並同樣觀察 P 車。由圖 4-20可以看出 這方程式的意義是「A 測量到的 P 的位置座標 xPA，等於 B 測量到的 P 的位置座標 xPB 加上 A 測量到的 B 的位置座標 xBA」。

4-8 一維的相對運動 (續) 此方程式的意思為「A 測量到的 P 的速度 vPA，等於 B 測量到的 P 的速度 vPB 加上 A 測量到的 B 的速度 vBA」。

4-8 一維的相對運動 (續) 要將 Barbara 和 Alex 測量到的 P 之加速度關聯起來，我們可以對 4-41 式取時間導數，得 因為 vBA 是常數，最後一項是 0，所以

圖4-20 Alex（座標系 A）及 Barbara（座標系 B）以不同的速度， 沿著兩座標系共同的 x 軸運動，並觀察 P 車。圖中畫出某 一時刻的情形。 xBA 是 B 在座標系 A 的座標，xPB 是 P 在 座標系 B的座標，xPA= xPB+ xBA 則是 P 在座標系 A 的座標。

4-9 二維的相對運動 再次考慮，有兩名分別在參考座標系 A 和 B 原點上的觀察者，他們觀察一粒子 P 的運動。同時，對 A 而言，B 以一固定速度 vBA 運動（假設兩參考系上對應的軸依然平行）。

4-9 二維的相對運動 (續) 因為 aBA 是常數，它的時間微分為 0。因此，可得

圖4-21 相對於座標系 A，座標系 B 有一固定的二維速度 vBA， 且 B 的位置向量是 rBA。粒子 P 的位置向量，對 A 而言 是 rPA，對 B 而言是 rPB。