第五模块　微分方程 第三节　二阶常系数线性微分方程 一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程

一、二阶线性微分方程解的结构 二阶微分方程的如下形式 y + p(x)y + q(x)y = f (x) f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程， 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. 　　　　　　　　　　　 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程， 简称二阶线性非齐次方程. 简称二阶线性齐次方程. 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量的已知连续函数. 这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含 y 或 y 或 y， 且每项均为 y 或 y 或 y 的一次项， 例如 y + xy + y = x2 就是二阶线性非齐次方程. 而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二阶线性方程.

　　定理 1　如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解， 则函数 y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解， 其中 C1， C2 是任意常数. 　　证　因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解， 所以有 与

于是有 y + p(x)y + q(x)y = 0 所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解.

　　定义　设函数 y1(x) 和 y2(x) 是定义在某区间 I 上的两个函数， 如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2， 使 k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0 　　　　　　　　　则称函数 y1(x) 与 y2(x) 在区间 上是线性相关的，否则称为线性无关. 在区间 I 上恒成立. 我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数， 考察两个函数是否线性相关， 事实上，当 y1(x) 与 y2(x) 线性相关时，有 k1 y1 + k2 y2 = 0， 其中 k1, k2 不全为 0， 不失一般性，

即 y1 与 y2 之比为常数. 反之，若y1 与 y2 之比为常数， 所以 y1 与 y2 线性相关. 则 y1 = l y2，即 y1 - l y2 = 0. 因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关； 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例如函数 y1 = ex，y2 = e -x， 如果不是常数，则它们线性无关. 　　　　　　　　　　　　　　　　所以，它们是线性无关的.

　　定理 2　如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则 y = C1 y1 + C2 y2 是该方程的通解， 其中 C1, C2为任意常数. 　　证　因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解， 所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解. 又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数， 所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示. 故C1 与C2不能合并为一个任意常数， 因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.

　　定理 3　如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个特解， 则 y = Y + y*， 是线性非齐次方程的通解. 　　证　因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 和线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解， 所以有 y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)， Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .

又因为 y = Y + y*， y = Y + y*， 所以 y + p(x)y + q(x)y = (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y*  + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).

这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 即 y = Y + y* 是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解. 故 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 　　(1) 求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. 　　(2) 求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*.

定理 4　设二阶线性非齐次方程为 y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)， ① y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)， ② 和 y + p(x)y + q(x)y = f2 (x) ③ 的特解， 则 是方程 ① 的特解.

证　因为 y1* 与 y2* 分别是② 与 ③ 的特解， 所以有 y1* + p(x)y1* + q(x)y1* = f 1(x)， 与 y2* + p(x)y2* + q(x)y2* = f 2(x) . 于是有 = [y1* + p(x)y1* + q(x)y1*] + [y2* + p(x)y2* + q(x)y2*] = f 1(x) + f 2(x) ， 即 y1* + y2* 满足方程 ①，

二、二阶常系数线性微分方程的解法 如果二阶线性微分方程为 y + py + qy = f(x) ， 则称该方程为二阶常系数线性微分方程. 其中 p、 q 均为常数，

1.二阶常系数线性齐次方程的解法 设二阶常系数线性齐次方程为 y + py + qy = 0 . ④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数. 　将 y = rerx, y = r2erx 及 y = erx 代入上式， 得 erx (r2 + pr + q) = 0 . 由于erx  0，因此，只要 r 满足方程 r2 + pr + q = 0， ⑤ 　　　　　　　　　　　　　　　　　y = erx 就是④式的解. 即 r 是上述一元二次方程的根时， 　　　　　　　　　　　　　　　　　 特征方程根称为特征根. 方程⑤称为方程④的特征方程.

1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即 r1  r2. 都是 ④的解， 那么，这时函数 所以 y1 与 y2 线性无关， 因而它的通解为 即 2 特征方程具有两个相等的实根， 这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解 y1 = erx. 还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2， 将 y2 及其一阶、二阶导数 y2 = (uerx) = erx(u(x) + ru(x))， 为此，设 y2 = u(x)y1， 其中 u(x)为待定函数. y2 = erx (u(x) + 2ru(x) + r2u(x))， 代入方程 y+ py + qy = 0 中，得

注意到 是特征方程的重根， 所以有 r2 + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 erx  0， 因此只要 u(x) 满足 则 y2 = uerx就是 ④式的解， 为简便起见，取方程 u(x) = 0 的一个解 u = x， 于是得到方程 ④且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 　因此，④式的通解为

　　3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a – ib . 这时有两个线性无关的特解 y1 = e(a + ib )x 与 y2 = e(a - ib )x. 为了便于在实数范围内讨论问题， 这是两个复数解， 我们再找两个线性无关的实数解. 由欧拉公式 (这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得

于是有 由定理 1 知，以上两个函数 eax cosbx 与 eax sinbx　均为 ④ 式的解， 　因此，这时方程的通解为 且它们线性无关.

上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是： (1) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根； 　 (3) 根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.

例 1　求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解. 　　解　该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 　 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所以方程的通解为

　　例 2　求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解. 它有重根 r = 2. 　　解　该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0， 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x， 所以通解为 求得 将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2， 因此，所求特解为 y = (1 + 2x)e2x.

例 3　求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解. 　　解　该方程的特征方程为 2r2 + 2r + 3 = 0，它有共轭复根 对应的两个线性无关的解为 所以方程的通解为

例 4　求方程 y + 4y = 0 的通解. 　　解　该方程的特征方程为 r2 + 4 = 0，它有共轭复根 r1,2 =  2i. 即a = 0，b = 2. 　对应的两个线性无关的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解为