第2课时 导数的运算法则
cos x －sin x 基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝ ； (2)若f(x)＝xa(a∈Q*)，则f′(x)＝ ； (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝ ； (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝ ________； axa－1 cos x －sin x
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝ ； (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ ； (7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝ ； (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝ . axln a ex
观察下图你能作出判断吗？ h（x） = f（x） + g(x) 求导 求导 + ？ = 本节课我们就主要解决这一问题
1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.（重点） 2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导 问题. （难点） 3.运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导. （难点）
探究点1 导数的运算法则: 法则1: 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导数的和（差），即 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:
由法则2: 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:
例1 求函数y=x3-2x+3的导数. 解:y=(x3-2x+3)=(x3)-(2x)+(3)=3x2-2 所以,所求函数的导数是y=3x2-2
【变式训练】 求下列函数的导数: 答案:
【总结提升】 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附 近变化的快慢.由上述计算可知 .它 表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯 净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明,水 的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用 增加的速度也越快.
探究点2 复合函数的求导法则 一般地,对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x),如果通过变 探究点2 复合函数的求导法则 一般地,对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x),如果通过变 量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y＝ f(u)和u＝g(x)的___________,记作y＝f(g(x)). 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u),u＝g(x)的导 数间的关系为yx′＝yu′·ux′,即y对x的导数等于 ____________与_____________的乘积. 复合函数 y对u的导数 u对x的导数
例3 求下列函数的导数：
【总结提升】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤: 1. 分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量; 2 【总结提升】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤: 1.分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量; 2.求每一层基本初等函数的导数; 3.每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
B 1.若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数， 且f(x)，g(x)满足f (x)=g (x)，则f(x)与g(x) 满足（ ） A.f(x)＝g(x) B.f(x)－g(x)为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数 B
2.函数 y=sinx(cosx＋1)的导数为______________. y=cos2x+cosx 3.曲线y=x3＋x2＋l在点P(－1，1)处的切线方程 为 . y=x＋2
4.求下列函数的导数: 答案:
6．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与直线y=x＋1相切，求b，c的值． 解：令f（x）= x2＋bx＋c，则f´（x）=2x+b 又因为点（1,2）在抛物线上 所以
7.如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程. 当 x0=1 时, y0=-8;当 x0=-1 时, y0=-12. 所以 切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
8.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即 t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解 得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
1.求导法则 注意:
2.复合函数的导数
3.函数求导的基本步骤： （1）分析函数的结构和特征； （2）选择恰当的求导法则和导数公式； （3）整理得到结果.
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟.