§1 关于实数集完备性的基本定理 在第一章与第二章中, 我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理并给出了柯西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石. 返回

一、区间套定理与柯西收敛定理 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性

一、区间套定理与柯西收敛定理 定义1 定义1 中的条件1 实际上等价于条件

定理7.1(区间套定理) 或者 证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 有上界 b1.所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在.

设 从而由定义1 的条件2 可得 因为 {an} 递增, {bn} 递减, 所以 这样就证明了 的存在性. 下面来证明唯一性. 设 1 也满足

推论 设 {[an ,bn]} 是一个区间套, 则任给 > 0, 存在 N, 当 n  N 时, 证 由区间套定理的证明可得: 由极限的保号性, 对于任意正数  , 存在 N,

即 注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记. 注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结 论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然

但是定理1中的 是不存在的, 这是因为 的 证明过程, 哪一步通不过?

作为区间套定理的应用, 下面来证明柯西收敛准 则,即证明数列 {an} 收敛的充要条件是: 对任意的 存在 N,  > 0, 证 (必要性)

由定理1的 推论，

二、聚点定理与有限覆盖定理 定义2 设 S 为数轴上的非空点集,  为直线上的 一个定点(当然可以属于 S, 也可以不属于S). 若对 即

若设 S 是 [0, 1]中的无理数全体, 则 S 的聚点集合 为了便于应用,下面介绍两个与定义 2 等价的定义. 定义2 定义2″若存在各项互异的收敛数列 下面简单叙述一下这三个定义的等价性.

定义2  定义2 由定义直接得到. 定义2  定义2 因为 那么

互异,并且 定义2定义2 由极限的定义可知这是显然的. 定理7.2 (聚点定理) 实数轴上的任意有界无限点 集必有聚点.

要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii). 我们再次使用区间套定理来证明聚点定理, 请务必 要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii). 证 因为S为有界点集, 所以存在正数 M, 使 现将 [a1, b1] 等分为两个子区间 [a1, c1], [c1,b1], 中至少有一 个区间含有 S 的无限多个点. 记该区间为[a2, b2].

再将[a2, b2]等分为两个子区间. 同样至少有一个子 区间含有 S 的无限多个点, 将这个区间记为[a3, b3].

无限重复这个过程, 就可得到一列闭区间 (iii) 每个闭区间[an, bn] 均含S 的无限多个点.

所以由所建立的性质(iii) 这就证明了 是 S 的一个聚点. 定理7.2 有一个非常重要的推论(致密性定理).该 定理在整个数学分析中,显得十分活跃.

推论(致密性定理) 有界数列必有收敛子列. 证 设{xn}为有界数列, 若{xn} 中有无限项相等, 取 这些相等的项可成一个子列. 该子列显然是收敛 的. 若数列{xn} 不含有无限多个相等的项, 则{xn}作为 点集是有界的. 由聚点原理, 可设 是{xn} 的一个 聚点, 那么再由定义 2 ,可知{ xn } 中有一个子列 收敛于  .

作为致密性定理的应用, 我们来看下面两个例题. 例1 证 又因 由极限的不等式性质, 可得

例2 用致密性定理证明柯西收敛准则. 证

.下面证明 {an} 以 A为极限. 因为 { an } 是柯西列, 所以对于任意正数

定义3 设 S 为数轴上的一个点集,H为一些开区间 则称 H 是 S 的一个开覆盖. 若 H是 S 的一个开覆盖, 并且H 中的元素(开区间) 仅有有限个, 则称 H 是 S 的一个有限开覆盖. 一个开覆盖.

出有限个开区间,构成闭区间 [a, b] 的一个子覆盖. 定理7.3 (海涅－博雷尔有限覆盖定理) 设 H是闭区间 [a, b] 的一个开覆盖, 则从 H 中可选 出有限个开区间,构成闭区间 [a, b] 的一个子覆盖. 证 证明该定理有多种 海涅( Heine,H.E. 1821-1881,德国 ) 博雷尔( Borel,E.1871-1956, 法国 ) 方法. 这里还是运用区 间套定理来证明, 仍然 要注意区间套的取法.

若定理不成立, 也就是说 [a, b]不能被 H 中任何 中任意有限个开区间所覆盖, 设该区间为 [a1 , b1]. 显然有 再将 [a1, b1] 等分成两个子区间, 其中至少有一个 不能被 H 中有限个开区间所覆盖. 设该区间为

[a2 ,b2]. 同样有 将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间 满足下列三个性质: (iii) 对每一个闭区间 [an, bn], 都不能被 H 中有限个

开区间所覆盖. 这就是说, [aN , bN] 被 H 中的一个开区间所覆盖, 矛盾.

注 定理7.3中的闭区间不可以改为开区间. 区间 (0, 1). 很明显, H 中的任何有限个开区间均不 能覆盖 (0, 1).

三、实数完备性定理的等价性 我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它 们是: 确界定理 单调有界定理 区间套定理 确界定理 单调有界定理 区间套定理 聚点定理 有限覆盖定理 柯西收敛准则 下面证明这六个定理是等价的.

6 确界定理 柯西收敛准则 1 5 单调有界定理 聚点定理 2 4 3 区间套定理 有限覆盖定理

在上图的等价性关系中, 仅 和 尚未证明.这里 4 6 给出 的证明, 请大家自己阅读教材. 4 6 例3 用有限覆盖定理证明聚点定理. 证 设 S 是无限有界点集, 则存在 M > 0, 使得

设开区间集 很明显, H 覆盖了闭区间 [ – M, M]. 根据有限覆盖 定理, 存在 H 中的有限子覆盖 由H 的构造, 所以 矛盾.