第三章 内压薄壁容器的应力分析 教学重点： 薄膜理论及其应用 教学难点： 对容器的基本感性认识

容器的厚度与其最大截面圆的内径之比小于0.1的容器称为薄壁容器。 （超出这一范围的称为厚壁容器） 第一节 回转壳体的应力分析—薄膜应力理论 薄壁容器 容器的厚度与其最大截面圆的内径之比小于0.1的容器称为薄壁容器。 （超出这一范围的称为厚壁容器） 应力分析是强度设计中首先要解决的问题

一、薄膜容器及其应力特点 内压薄壁容器的结构与受力： 内压薄壁容器的变形： 内压薄壁容器的内力： 结论 在任何一个压力容器中，总存在着两类不同性质的应力 无力矩 理论求解 有力矩 理论求解 薄膜应力 边缘应力 图3-1内压薄膜容器

①环向应力或周向应力，用 表示，单位MPa，方向为垂直于纵向截面； 图3-2内压薄膜圆筒壁内的两向应力 ①环向应力或周向应力，用 表示，单位MPa，方向为垂直于纵向截面； ②轴向应力或经向应力，用 表示，单位MPa，方向为垂直于横向截面； ③由于厚度δ 很小，认为 、 都是沿壁厚均匀分布的，并把它们称为薄膜应力。

二、基本概念与基本假设 1、回转壳体中的基本的几何概念 平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间 面。中间面与壳体内外表面等距离，它代表了壳体的几何特性。 中间面 由平面直线或平面曲线绕其同平面内的回转轴回转一周所形成的曲面。 回转曲面 回转壳体 由回转曲面作中间面形成的壳体。

轴对称问题 化工用压力容器通常都属于轴对称问题 几何形状 所受外力 均对称于回转轴 约束条件 本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体

形成回转壳体中间面的那条直线或平面曲线。 母线 形成回转壳体中间面的那条直线或平面曲线。 如图所示的回转壳体即由平面曲线AB绕OA轴旋转一周形成，平面曲线AB为该回转体的母线。 注意：母线形状不同或与回转轴的相对位置不同时，所形成的回转壳体形状不同。 图3-3 回转壳体的几何特性

通过回转轴的平面与中间面的交线，如AB’、AB’’。 经线 通过回转轴的平面与中间面的交线，如AB’、AB’’。 经线与母线形状完全相同 法线 过中间面上的点M且垂直于中间面的直线n称为中间面在该点的法线。 （法线的延长线必与回转轴相交）

以法线NK为母线绕回转轴OA回转一周所形成的园锥法截面与中间面的交线CND圆 纬线 以法线NK为母线绕回转轴OA回转一周所形成的园锥法截面与中间面的交线CND圆 K 平行圆：垂直于回转轴的平面与中间面的交线称平行圆。显然，平行圆即纬线。 图3-3　 回转壳体的几何特性

中间面上任一点M 处经线的曲率半径为该点的“第一曲率半径” 第一曲率半径R1 第二曲率半径R2 通过经线上一点M 的法线作垂直于经线的平面与中间面相割形成的曲线MEF，此曲线在M 点处的曲率半径称为该点的第二曲率半径R2 ，第二曲率半径的中心落在回转轴上，其长度等于法线段MK2 。

曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 转角为 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !

例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 ,

曲率K 的计算公式 设曲线弧 则由 二阶可导, 又 故曲率计算公式为

曲率圆与曲率半径 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使 把以 D 为中心, 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 , 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心.

2、无力矩理论基本假设 壳体各层纤维变形前后均互不挤压 假定材料具有连续性、均匀性和各向同性，即壳体是完全弹性的 壳体受力后，壳体中各点的位移远小于壁厚 ，利用变形前尺寸代替变形后尺寸 小位移假设 壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后仍保持为直线段，并且垂直于变形后的中间面。 直法线假设 壳体各层纤维变形前后均互不挤压 不挤压假设

三、经向应力计算公式——区域平衡方程式 1、截面法 思考：为什么不能用横截面？ ——经向应力，MPa p ——工作压力，MPa R2 ——第二曲率半径，mm ——壁厚，mm 1、截面法 用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径D 处有垂直于经线的法向圆锥面截开，取下部作脱离体，建立静力平衡方程式。 思考：为什么不能用横截面？

2、回转壳体的经向应力分析 ⒈Z轴上的合力为Pz ⒉作用在截面上应力的合力在Z轴上的投影为Nz ⒊在Z 方向的平衡方程 图3-5 回转壳体上的径向应力分析 ⒉作用在截面上应力的合力在Z轴上的投影为Nz ⒊在Z 方向的平衡方程

四、环向应力计算公式——微体平衡方程式 1、截取微元体 壳体的内外表面 截面1 两个相邻的，通过壳体轴线的 经线平面 截面2 ——经向应力,MPa ——环向应力，MPa p ——工作压力.MPa R1 ——第一曲率半径，mm R2 ——第二曲率半径,mm ——壁厚，mm 1、截取微元体 壳体的内外表面 截面1 两个相邻的，通过壳体轴线的 经线平面 截面2 两个相邻的，与壳体正交的园锥法截面 截面3 图3-6 确定环向应力微元体的取法

微元体abcd 的受力 上下面： 内表面：p 环向截面： 微元体受力放大图 图3-7 微小单元体的应力及几何参数

2、回转壳体的经向环向应力分析 内压力p在微体abcd上所产生的外力的合力在法线n上的投影为Pn 图3-8 回转壳体的环向应力分析 内压力p在微体abcd上所产生的外力的合力在法线n上的投影为Pn 在bc与ad截面上经向应力 的合力在法线n上的投影为Nmn 在ab与cd截面上环向应力 的合力在法线n 上的投影为

根据法线n方向上力的平衡条件，得到 = 0 即 （式1） 微元体的夹角 和 很小，可取 式1各项均除以 整理得

无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩的作用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又称薄膜理论。 五、薄膜理论的适用条件 无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩的作用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又称薄膜理论。 回转壳体曲面在几何上是轴对称,壳体厚度无突变；曲率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能（主要是E和μ）应当是相同的 载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的 壳体边界的固定形式应该是自由支承的 壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力和弯矩 δ/Di≤0.1

第二节 薄膜理论的应用 区域平衡方程式 微体平衡方程式

一、受气体内压的圆筒形壳体 图3-9 受气体内压的圆筒形壳体

① 环向应力是经向应力的2倍，所以环向承受应力更大，环向上就要少削弱面积，故开设椭圆孔时，椭圆孔之短轴平行于筒体轴线，见图 讨论1：薄壁圆筒上开孔的有利形状 ① 环向应力是经向应力的2倍，所以环向承受应力更大，环向上就要少削弱面积，故开设椭圆孔时，椭圆孔之短轴平行于筒体轴线，见图 图3-10 薄壁圆筒上开孔 讨论2：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小

二、受气体内压的球形壳体 讨论：对相同的内压，球壳应力比同直径、 同厚度的圆筒壳的应力有何不同呢？ 结论：对相同的内压，球壳的环向应力要比同直径、 同厚度的圆筒壳的环向应力小一半，这是球壳显著的优点。

三、受气体内压的锥形壳体 圆锥形壳半锥角为 ，A点处半 径r，厚度为δ，则在A点处： 图3-13 锥壳的应力分析

锥形壳体环向应力是经向应力两倍，随半锥角a的增大而增大 α角要选择合适，不宜太大 图3-14 锥形封头的应力分布 在锥形壳体大端r=R时，应力最大，在锥顶处，应力为零。因此，一般在锥顶开孔。 锥底各点应力 锥顶

椭圆壳经线为一椭圆，a、b分别为椭圆的长短轴半径，其曲线方程 四、受气体内压的椭球壳 1、第一曲率半径R1

如图，自任意点A（x,y）作经线的垂线，交回转轴于O点，则OA即为R2 ，根据几何关系，可得 图3-11 椭球壳的应力分析

3、应力计算公式 把R1和R2的表达式代入微体平衡方程及区域平衡方程得： a,b——分别为椭球壳的长、短半径，mm ; x ——椭球壳上任意点距椭球壳中心轴的距离mm 其它符号意义与单位同前。

4、椭圆形封头的应力分布 由 和 的公式可知： 在x=0处 在x=a处 (1)在椭圆形封头的中心(x=0处),经向应力与环向应力相等。 由 和 的公式可知： 在x=0处 在x=a处 (1)在椭圆形封头的中心(x=0处),经向应力与环向应力相等。 (2)经向应力恒为正值，是拉应力。 (3)周向应力最大值在x=0处，最小值在x=a处。

标准椭圆形封头a/b=2 在x=0处 在x=a处 顶点应力最大，经向应力与环向应力是相等的拉应力。 顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。 图3-12 椭圆形封头的应力分布 顶点应力最大，经向应力与环向应力是相等的拉应力。 顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。 顶点处的环向应力和边缘处相等但符号相反。 应力值连续变化。

五、受气体内压的碟形壳体 1．碟形壳体的组成 ２．碟形壳体的应力分布 图3-15 碟形壳体的应力分析

【例3-1】有一外径为219的氧气瓶，最小壁厚为=6.5mm,材质为40Mn2A,工作压力为15MPa,试求氧气瓶筒壁内的应力。 解： １．氧气瓶筒身平均直径： mm ２．经向应力： MPa ３．环向应力： MPa

【例3-2】有圆筒形容器，两端为椭圆形封头，已知圆筒平均直径D=2020mm,壁厚δ=20mm,工作压力p=2MPa。 (1)试求筒身上的经向应力 和环向应力 (2)如果椭圆形封头的a/b分别为2， 和3，封头厚度为20mm，分别确定封头上最大经向应力与环向应力及最大应力所在的位置。 图3-16 例3-2附图（1）

解： １．求筒身应力 经向应力： 环向应力： 2．求封头上最大应力 a/b=2时，a=1010mm,b=505mm 在x=0处 在x=a处 最大应力有两处：一处在椭圆形封头的顶点，即x=0处；一处在椭圆形封头的底边，即x=a处。如图3-17a所示。

a/b= 时，a=1010mm,b=714mm 在x=0处 在x=a处 最大应力在x=0处，如图3-17b所示。

a/b= 3 时，a=1010mm,b=337mm 在x=0处 在x=a处 最大应力在x=a处，如图3-17c所示。

图3-17 例3-2附图（2）

第三节内压圆筒边缘应力 边缘应力的概念 局部性 自限性 边缘应力的特点 对边缘应力的处理

作 业 第二大题 第三大题B组 第五大题第3小题