第六章 刚体力学 目 录 １. 刚体运动概述 ２. 刚体的定轴转动 ３. 刚体定轴转动定理和角动量定理 第六章 刚体力学 目 录 １. 刚体运动概述 ２. 刚体的定轴转动 ３. 刚体定轴转动定理和角动量定理 ４. 刚体定轴转动动能定理和机械能守恒 ５. 刚体的平面平行运动 ６. 陀螺的运动

㈠ 刚体运动概述 一、刚体模型 对于机械运动的研究，只局限于质点的情况是很不够的。 物体是有形状大小的，它可以作平动、转动，甚至更复杂的 运动。一般固体在外力的作用下，形变并不显著，故设想另 一个抽象模型 刚体。以刚体为研究对象，除了研究它的 平动外，还研究它的转动以及平动与转动的复合运动等。 ㈠ 刚体运动概述 一、刚体模型 1.刚体:在任何外力作用下, 形状大小均不发生改变的物体 （特殊的质点系）. 说明: (1) 在外力的作用下, 任意两点均不发生相对位移; (2) 内力无穷大的特殊质点系 内力做功为零； (3) 刚体是弹性系数很大的一类物体的抽象.

2.自由度：用以确定一个力学体系的几何 位形所需的独立坐 标的个数。 A B C 自由刚体的自由度数 n=6 非自由刚体的自由度数小于6 物体系运动自由度m，决定了其独立的微分方程组的数目 有m个,其中每个方程均为二阶微分方程.若运动被限制或被 约束,其自由度将减少.多一个约束条件,就减少一个自由度. 3.质心：刚体是由连续分布的质点所组成的质点组， 故其 质心为

二、刚体运动的几种形式 角位移，角速度和角加速度均相同 1. 刚体平动（n=3） 连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持平行。刚体上所有点的运动轨迹都相同,可当作质点来处理. 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的园周运动, 且在相同时间内转过相同的角度. 2. 刚体定轴转动（n=1） 特点： 角位移，角速度和角加速度均相同 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动.

3.平面平行运动（n=3） 刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离, 或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动. 将刚体的运动看作质心的平动 与相对于通过质心并垂直运动平 面的轴的转动的叠加。 4.刚体定点转动（n=3） 刚体运动时，始终绕一固定点转动. O O  5. 刚体的一般运动（n=6） 刚体的一般运动可视为随刚体上 某一基点A的平动和绕该点的定点 转动的合成.

三、刚体角速度(矢量)的绝对性 一般来说，刚体的任何运动都可分解为基点的平动和绕该点的定点转动的合成.。选择不同的基点，平动速度就不同；而转动角速度就与基点的选择无关。即刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同。这即是刚体角速度的绝对性。 证明：如图,选c为基点，则p点 的速度 若选 为基点，则p点绕 点有一角 速度 ，则

注意到 代入前一式则有 由此得到 故刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同，与基点无关。

（二）刚体的定轴转动 一、定轴转动刚体的角动量和转动惯量 如图所示，考虑以角速度 绕z轴转 动的一个刚体，其上任一质元 相对 动的一个刚体，其上任一质元 相对 于原点0的角动量为 的方向垂直于由矢量 和 决 定的平面，因此与转动轴 z 之间的夹角 为 ， 的大小为

因此，定轴转动刚体的总角动量 对转动轴 z 轴的分量的大小为 刚体转动惯量定义： 　　一般而言，刚体的总角动量　　　　并不一定平行于转 动轴，即Ｌ不一定与　　同方向，它们之间的关系不能简单 地用一个标量的转动惯量联系起来。

附：定轴转动时刚体总角动量为 注意到质量元的位矢和角速度分量表示为 按矢积运算规则展开 于是总角动量的三个分量为

二、转动惯量的计算 1. 离散分布的物体 2. 连续分布的物体 说明： 1) 刚体的转动惯量是由总质量、质量分布、转轴的位置三个因素决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同, 凡是提到转动惯量, 必须指明它是对哪个轴的才有意义.

3 .平行轴定理 d C 说明： 为刚体绕质心轴的转动惯量； d 为两平行轴间距离。 现以薄板为特例,证明平行轴定理 d c 说明： 为刚体绕质心轴的转动惯量； 　　　d 为两平行轴间距离。 d c 现以薄板为特例,证明平行轴定理 如图，质量元对0点位矢为 ，对质 心c的位矢为 ，注意到矢量三角形有

其中笫一项为对质心轴的转动惯量 ；笫二项则为 ； 笫三项则为零.故得证.即 代入转动惯量公式 其中笫一项为对质心轴的转动惯量 ；笫二项则为 ； 笫三项则为零.故得证.即 强调矢量的可叠加性. 　　对于三维刚体或质点组，该关系式也是正确的，其证明思路类似上述.

4. 正交轴定理 z x y 说明：x, y为平面内正交的轴 z 为垂直平面的轴 (上述结论学生自已证明) 几种典型形状刚体的转动惯量计算 1) 均匀细棒 a) 转轴过中心与杆垂直 dx x o dm z

b) 转轴过棒一端与棒垂直 x o dx dm z 另解：应用平行轴定理，同样可得 2)均匀细园环 转轴过圆心与环面垂直 R o z dm m

问题：如何计算园环转轴通过园环直径的转动惯量？ 3) 均匀圆盘绕中心轴的转动惯量 质量为m, 半径为R, 厚为l, 转轴过圆心与环面垂直 薄圆环 R r o l m z

4) 绕中心轴的转动惯量 圆盘 空心圆柱

5) 均匀薄球壳绕直径的转动惯量 z 质元面积 圆环质元 均匀薄球壳

例题6.1 如图,圆环质量 ,半径R，短棒质量 ，长 度d，求对x轴的转动惯量 x 解： 圆环转轴通过直径的转动惯量， 根据正交轴定理有 R

㈢ 刚体定轴转动定理和角动量定理 一. 刚体定轴转动定律 将质点系角动量定理应用于刚体定轴转动，得到轴向分量 的角动量的变化率为 ㈢ 刚体定轴转动定理和角动量定理 一. 刚体定轴转动定律 将质点系角动量定理应用于刚体定轴转动，得到轴向分量 的角动量的变化率为 考虑到 ，得 该式即为定轴转动定理.充分显露出转动惯量的本性 刚 体在定轴转动时表现出来的惯性的一种量度.

讨论： 转动定律的应用： 隔离法分析研究对象 建立坐标系 列出分量运动方程 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言,具有瞬时性。 选定转轴的正方向, 以便确定力矩或角加速度,角速度的正负 当系统中既有转动物体, 又有平动物体时, 用隔离法解题. 对转动物体用转动定律建立方程, 对平动物体则用牛顿定律建立方程 转动定律的应用： 隔离法分析研究对象 建立坐标系 列出分量运动方程

滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等 例题6.2 一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体, m1<m2 . 设滑轮的质量为m, 半径为r, 所受的摩擦阻力矩为Mr. 绳与滑轮之间无相对滑动. 求: 物体的加速度和绳的张力. 解: 隔离法列出运动方程 T2 T1 T1 T2 G2 G1 a m1 m2 滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这边绳的张力为T1、 T1’(T1’= T1) ，物体2这边的张力为T2、 T2’(T2’= T2) 。因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程 a 滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等 m1 m2

从以上各式解得 T2 T1 T1 T2 G2 G1 a m1 m2 m1 m2 a

例题6.3 求棒的打击中心.棒球运动员击球的效果如何， 取决于击球点的位置是否合适.理论分析表明，存在 这样一个击球点（如图），使手握的约束力为零.这 个最佳位置被称为打击中心. 解：如图，设手握处为参考点0，棒 的质心位置为 ，击球点的位置为r. 击球瞬间反弹的球给棒一冲击力f, 手给棒一约束力 ，列出运动方程 转动定理 质心运动定理 运动学关系

讨论： 解出 令 ， 得到打击中心位置为 ⑴比例系数k被定义为实际惯量与质心惯量之比，其数值 取决于棒的形状.k约在1.1~1.3范围. 令 ， 得到打击中心位置为 讨论： ⑴比例系数k被定义为实际惯量与质心惯量之比，其数值 取决于棒的形状.k约在1.1~1.3范围. 适用范围: 超出了刚体和经典力学的范畴, 还适用于量子力学和相对论, 是一条普适定律.角动量守恒定律与自然界的各向同性对称性相对应。 ⑵全面考察手握的约束力，还有维持质心运动的向心力 和对重力的支持力，它们是持续力，在击球前就已存 在.击球瞬间使手突感震动的是约束力 的反作用力. ⑶列上述方程中未计及重力，这是因为击球瞬间棒基本 上运动于一水平面.

二、刚体定轴转动的角动量定理 由定轴转动定律知，相对z 轴有 其中J在刚体转动过程中是不变的.但是，即使物体不是刚体，它对定轴的转动惯量可以随时改变时，只要任一瞬时它可看作是绕该定轴以角速度 转动，上式仍然成立，即 刚体定轴转动的角动量定理

三、刚体角动量守恒定律 说明： 1. 角动量保持不变是转动惯量与角速度的积不变. 角动量守恒的两种情况: (1) 刚体定轴转动时, 如果转动惯量不变, 则角速度也不变; (2) 如转动惯量改变, 则角速度也改变. 2.多物体组成的系统角动量具有可叠加性； 3.角动量守恒定律是一条普适定律。

角动量守恒的现象: 北 南 角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变, 因而产生了季节变化.

（四）刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒 一、力矩的功 z r d o  ds 由功的定义式: 力矩功的表达式： 力矩的功率

二、刚体的转动动能 设刚体分割为质元 对应位置 动能分别为 刚体定轴转动时, 各质元的动能： 刚体的动能为各质元动能的总和：

三、刚体定轴转动的动能定理 力矩作功和刚体动能变化关系 由转动定律 而 得 刚体转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动的动能增量.

刚体的重力势能:作为质点系，刚体的重力势能应为各质元 四、刚体的机械能守恒定律 刚体的重力势能:作为质点系，刚体的重力势能应为各质元 重力势能之和 可见刚体的重力势能与质量集中在质心上的一个质点的重力势能相同，只由质心的位置决定，而与刚体的具体方位无关. 若刚体在转动过程中, 只有重力矩做功, 则刚体系统机械能守恒. 刚体转动的机械能守恒

质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一) 刚体的定轴转动 速度 角速度 加速度 角加速度 质量m, 力F 转动惯量J , 力矩M 力的功 力矩的功 动能 转动动能 势能 质心势能

质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二) 刚体的定轴转动 运动定律 动量定理 角动量定理 动量守恒 角动量守恒 动能定理 机械能守恒

除重力外, 其余内力与外力都不作功, 故机械能守恒 例题6.4 一匀质细棒长为l , 质量为m, 可绕通过其端点O的水平轴转动. 当棒从水平位置自由释放后, 它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞. 该物体的质量也为m, 它与地面的摩擦系数为. 相撞后, 物体沿地面滑行一距离s 而停止. 求: 相撞后棒的质心C离地面的最大高度h, 并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件. 解: 1) 棒自由摆落的过程 C O m l 除重力外, 其余内力与外力都不作功, 故机械能守恒 (1) 问题分为三个阶段: 1) 棒自由摆落的过程; 2) 碰撞过程; 3) 物体在碰撞后的滑行过程. 取棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点, 用表示棒这时的角速度.

碰撞时间极短, 冲力大, 系统的对O轴的角动量守恒 2) 碰撞过程 碰撞时间极短, 冲力大, 系统的对O轴的角动量守恒 (2) 3) 物体在碰撞后的滑行过程 (3) 物体作匀减速直线运动, 加速度由牛顿第二定律确定 由匀减速直线运动的公式得 (4) 碰撞过程: 物体虽然受到地面的摩擦力, 但可以忽略. 棒与物体相撞时, 它们组成的系统所受的力对转轴O的外力矩为零. 式中’ 为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。‘ 取正值，表示碰后棒向左摆；反之, 表示向右摆. 由式(1)-(4)联立求解, 得

除重力外, 其余内力与外力都不作功, 故机械能守恒, 即 棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件: 向左摆 向右摆 即 C O m l 4) 棒碰撞后的过程 除重力外, 其余内力与外力都不作功, 故机械能守恒, 即

例题6.5 质量很小, 长度为l 的均匀细杆, 可绕通过其中心点O并与纸平面垂直的轴在竖直平面内转动, 当细杆静止在水平位置时, 有一只小虫以速率v0垂直落在距点O为l/4处, 并背离点O向细杆的端点A爬行。设小虫的质量与细杆的质量均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行. m v0 O l/4 A q r P A

解: 小虫落在细杆上, 可视为完全非弹性碰撞, 且碰撞时间极短. 重力的冲量矩可略去不计, 细杆带着小虫一起以角速度 转动 解: 小虫落在细杆上, 可视为完全非弹性碰撞, 且碰撞时间极短. 重力的冲量矩可略去不计, 细杆带着小虫一起以角速度 转动. 碰撞前后, 小虫与细杆的角动量守恒 故由上式可得细杆角速度为 作用在细杆和小虫系统的外力矩仅为小虫所受的重力矩, 即 (1) 由于要求小虫角速度恒定, 故从转动定律可得 (2)

而 上式微分得: (3) (1)－(3)式联立求解得: 考虑到=t , 并且将值代入上式得:

解: 把演员视为质点, M, N和跷板作为一个系统, 以通过点C垂直平面的轴为转轴. 例题6.6 一杂技演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端, 并把跷板另一端的演员N弹了起来. 设跷板是匀质的, 长度为l, 质量为m,支撑板在板的中点C, 跷板可绕点C在竖直平面内转动, 演员M, N的质量都是m. 假定演员M落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞. 问演员N可弹起多高. N h M C A B l/2 l m 解: 把演员视为质点, M, N和跷板作为一个系统, 以通过点C垂直平面的轴为转轴. 由于作用在系统上的合外力矩为零,故系统的角动量守恒

J为其跷板的转动惯量, 把板看成是窄长条形状 这样演员N将以速率u=l/2跳起, 达到的高度h为

㈤ 刚体的平面平行运动 一、运动学特征 刚体作平面平行运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距 ㈤ 刚体的平面平行运动 刚体作平面平行运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距 离, 或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动. 一、运动学特征 1. 基面、基点与基轴. 选定一轨道平面为参考平面，简称为基面，其他轨道平面均 平行于基面.于是，三维刚体的平面运动被简化为基面上各点的 二维运动。选定基面上的一点作为参考的基点.通过基点且垂直 基面的直线被称为基轴.则刚体的平面运动被分解为基轴的平动 加上绕基轴的转动（n=3）. 一般选基轴通过质心. 2. 速度表示式.设基点为c，线速度为 ，则

3. 转动中心（瞬心）: 基面上存在一个特殊点，其瞬时速度 为零 ,该点被称作瞬心.过该点且垂直于运动平面的转轴 称为瞬时转轴。瞬心的位矢 决定于方程 说明:(1)如图，若已知质心C的速度 和角速度 ,则可知瞬心 在与 垂 直的方向上距离C点为 的地方。 (2)在任一瞬时，截面上任一点的速度 方向均与该点相对于瞬心的位置垂直。故 只要过截面上任意两点引两条与速度方向 垂直的直线，两直线的交点即为瞬心的位 置。瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外 与刚体保持刚性连结的空间点上.(如图)

二、运动方程 (3)在平面平行运动问题中，有时可利用瞬时转轴概念，将 问题简化为单纯的转动问题。 利用质心运动定理，求质心的运动 利用定轴转动定理，在质心坐标系中，讨论通过质心并垂 直于空间固定平面的轴的转动，有 平面平行运动有三个自由度，利用上述三个方程完全描述 运动.

附：证明定轴转动的转动定律同样适用刚体通过质心并垂 直于平面的轴的转动。 证：要使定轴转动定律适用于通过加速度为 的质心的转轴 ，应在作用于刚体的力矩中加上惯性力矩 ，即 但 显然 所以，最后得

三、功能原理 由质点系动能的柯尼希定理知，刚体平面平行运动中动 能可以表为质心的平动动能与绕质心的转动动能之和，即 合外力 由质心运动定理 由质心角动量定理 总外力矩

讨论：⑴ 若不取质心为基点，就不能如此分解. 因此，刚体平面平行运动的功能原理为 讨论：⑴ 若不取质心为基点，就不能如此分解. ⑵ 如果作用在刚体上的力仅为保守力，必然导致机 械能守恒，即 四、滚动 接触面之间有相对滑动的滚动称为有滑动滚动，接触面之间无相对滑动的滚动称为无滑动滚动，或称纯滚动.

关于纯滚动 1. 纯滚动的运动学判据 2.静摩擦力不作功 如图，静摩擦力做功可以用刚体平 面平行运动的功能原理写为 R 根据运动学判据，有

3。纯滚动中的瞬时转轴 纯滚时，接触点的速度为零。这时 接触点就是瞬心p。如图，柱体上任一 的速度为 4. 滚动中的摩擦力 若忽略滚动物体和承滚面的形变，在有滑动滚动中，摩擦 力为滑动摩擦力；在纯滚中，摩擦力为静摩擦力。静摩擦力的 方向不易判断，必须视具体情况而定。 确定静摩擦力方向的方法是：假定 两刚性表面不存在摩 擦，判定其中一个刚体相对滑动将滑向何方，作用在此刚体 的静摩擦力方向必与其反向.

实例： ①车轮在刚性水平地面上纯滚动. 静摩擦力为零 ②汽车主、被动轮所受静摩擦力的方向 主动轮必须有向前的静摩擦力， 作为推动汽车前进的动力（a）； 而被动轮必受向后的摩擦力（b）. （a） （b） ③车轮在斜面上的纯滚动 车轮向上，静摩擦力必向上； 车轮向下，静摩擦力仍向上.

例题6. 7 一质量为m, 半径为R的均质圆柱, 在水平外力F作用下, 在粗糙的水平面上作纯滚动, 力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l 圆柱对质心的转动定律： 纯滚动条件 圆柱对质心的转动惯量为

联立以上四式, 得 F m R 由此可见 无摩擦力 静摩擦力向后 静摩擦力向前

解: 取圆柱体, 弯形和圆形滑道以及地球为一个系统, 在圆柱体下滑过程中机械能守恒 例题6.8 有一半径为r 的匀质圆柱体, 从其质心距地面高为h的滑道上由静止滚动而下, 进入半径为R的圆环形滑道, 设圆柱体在两段滑道上均做纯滚动. 求: 此圆柱体能在圆环形滑道内完成圆周运动, h至少有多大的值? 解: 取圆柱体, 弯形和圆形滑道以及地球为一个系统, 在圆柱体下滑过程中机械能守恒 vC P 2r C h 讨论: 纯滚动时的条件. 而 所以

圆柱体在圆形滑道顶点时的质心运动方程为 圆柱体能完成完整的圆周运动的条件应当是 可得圆柱体在圆环滑道上完成圆周运动的条件

㈥ 陀螺的运动 一、陀螺的进动 绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺，或称回转仪. 陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属刚体的定点运 ㈥ 陀螺的运动 绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺，或称回转仪. 陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属刚体的定点运 动.利用角动量和角速度的矢量性质，可以解释陀螺的运动. 一、陀螺的进动 进动 O z O z  rCsin M mg rC O z  Lsin M mg L d

如图，对固定点0，陀螺只受重力矩的作用，即 O z  Lsin M mg L d 根据刚体角动量定理 即角动量的变化量dL应像M一样垂直于L.L的顶端绕一水 平圆周运动.陀螺自转轴绕竖直轴的转动即为进动.

其中L是陀螺的自转角动量，为陀螺绕其对称轴旋转的转 动惯量J与自转角速度 的乘积.因此，陀螺的进动角速度为 如图 O z  Lsin M mg L d 其中L是陀螺的自转角动量，为陀螺绕其对称轴旋转的转 动惯量J与自转角速度 的乘积.因此，陀螺的进动角速度为 由此可见，陀螺的进动角速度随着自转角速度 的 增大而减少，与角度 无关.

二、陀螺特点: 1.不受外力矩或外力矩很小时，刚体的角动量保持恒定 z 进动 O 保持转动方向 章动 高速自转的陀螺具有极大的反抗外力矩的作用，力图保持其转轴在空间的方向不变.广泛应用于航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等. 1.不受外力矩或外力矩很小时，刚体的角动量保持恒定 2.章动－当陀螺的自转角速度不够大时，则除了自转和进动 外，陀螺对称轴还会在铅垂面内上下摆动，即角 会有大小波动，称为章动.

《本章基本要求》 1、掌握刚体概念和刚体的基本运动. 2、理解转动惯量的意义及计算方法,会利用平行轴定 理和垂直轴定理求转动惯量. 3、熟练应用刚体定轴转动定律. 4、应用刚体的角动量定理、角动量守恒定律及机械能守 恒定律解决转动问题. 5、掌握刚体平面平行运动的基本规律和计算方法. 6、了解陀螺进动现象和基本特征.