第四章 立体的截切与相贯 基本体的截切 两基本体相交
立体的截切与相贯 截切的基本概念 §4.1 平面体的截切 §4.2 曲面体的截切 §4.3 平面体与平面体相贯 §4.4 平面体与曲面体相贯 §4.5 曲面体与曲面体相贯
截切的基本概念 截平面 截平面 截交面 截交面 截面 截面 (1) 封闭性 (2) 共有性
§4.1 平面体的截切 一、单一平面截切平面体 二、多个平面截切平面体 三、例题—棱锥的截交线
一、单一平面截切平面体 1. 截交线的形状分析 2. 求截交线的方法 3. 求截交线的步骤
1. 截交线的形状分析 (1) 若干段直线段组成封闭的平面多边形; 平面多边形的每一个顶点是平面立体的棱线（边线)与截平面的交点; 一般为封闭的平面多边形 是截平面与立体表面的共有线 A (1) 若干段直线段组成封闭的平面多边形; 平面多边形的每一个顶点是平面立体的棱线（边线)与截平面的交点; 平面多边形的每一条边
2. 求截交线的方法 （1）交点法 （2）交线法
3. 求截交线的步骤 截平面和立体及他们与投影面的相对位置，确定截交线的形状，找出截交线的积聚投影。 2. 求棱线与截平面的交点 3. 连接各交点，并判别截交线的可见性
棱柱的截交线
二、多个平面截切平面体 1. 截平面数量—截平面之间的交线 2. 截平面的位置—截交线的性质 3. 求截交线
例题—棱锥的截交线
[例题1] 求截顶四棱锥的投影 c' c" d" b" b' (d') a' a" b a c d
[例题2] 求四棱锥截切后的投影 g' g" h'(f') h" f" a' b'(e') c'(d') b" e" a" c" d" b
[例题3] 求四棱锥截切后的投影 1' 2' 1"(2") 1 2
[例题4] 求四棱锥截切后的投影 1" 1' 2' 3' 3" 2" 3 2 1
§4.2 曲面体的截切 一、基本概念 二、圆柱体的截交线 三、圆锥体的截交线 四、圆球体的截交线
一、基本概念 1. 截交线形状分析 2. 求截交线的方法 3. 求截交线的一般步骤
1. 截交线形状分析 封闭的平面曲线（直线、直线和曲线） 截交线是截平面与曲面立体的共有线 共有点----表面定点
2. 求截交线的方法 共有点----曲面体表面的某条线（素线和纬圆）与截平面的交点。 特殊点 一般点
3. 求截交线的一般步骤 （1）分析截平面与曲面体的相对位置及投影特点，截交线形状，截交线有无积聚投影。 （2）求截交线上的特殊点和一般点 （3）顺次光滑连接各点并判别可见性
二、圆柱体的截交线 1. 平面与圆柱相交所得截交线形状 2. 求圆柱截交线上点的方法 3. 例题
1. 平面与圆柱相交所得截交线形状
2. 求圆柱截交线上点的方法 表面取点法 在圆柱表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点； 当圆柱的轴线处于特殊位置时，可利用圆柱的积聚性投影直接求得截交线上点的投影。
3. 例题
[例题1] 求圆柱截交线 解题步骤 （1）分析: 截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆； 1' 1" 2'3' 2" 3" 1 3 2 （2）求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ； 4'5' 5" 4" 5 4 （3）求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ； 6'7' 6" 7" （4）光滑且顺次地连接各点，完成截交线的投影，并且判别可见性； （5）整理轮廓线。 7 6 8' 8" 8
[例题2] 求圆柱截交线
[例题3] 求圆柱截交线
三、圆锥体的截交线 1. 平面与圆锥相交所得截交线形状 2. 求圆锥截交线上点的方法 3. 例题
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状
2. 求圆锥截交线上点的方法 求圆锥截交线上点的方法为： (1) 素线法 在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点； (1) 素线法 在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点； (2) 纬圆法 在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。
[例题] 求截顶圆锥的投影 a'' a' (2')1' (d')c' d'' 1'' 2'' c'' (f')e' (e'') (f'') [例题] 求截顶圆锥的投影 解题步骤 （1）分析 截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的正面投影为直线，水平投影和侧面投影均为椭圆； a'' a' (2')1' （2）求出截交线上的特殊点A、B、C、D、E、F ； (d')c' d'' 1'' 2'' c'' (f')e' (e'') (f'') (4')3' (4'') (3'') （3）求出一般点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； b' (b'') （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线的投影，并且判别可见性； （5）整理轮廓线。 4 3 c d e f 2 1 a b
[例题] 求截顶圆锥的投影
四、圆球体的截交线 1. 平面与圆球相交所得截交线形状 2. 求圆球截交线上点的方法 3. 例题
1. 平面与圆球相交所得截交线形状
2. 求圆球截交线上点的方法 纬圆法 在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点.
3. 圆球截交线例题
[例题1] 切割平面为水平面时,圆球的截交线
[例题2] 求圆球的截交线 2' 解题步骤 1．分析 截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ； 3．求出若干个一般点A、B、C、D； 4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。 c'd' 2 2" c" d" 7' 8' 7" 8" 3'4' 3" 4" 5'6' 3 4 5" 6" 5 6 a'b' a" b" 1' b a 1 1" 7 8 c d
[例题3] 求圆球的截交线 b' a' a"(b") c" (c') c a b
§4.3 平面体与平面体相贯 一、相贯线的特点 二、求相贯线的方法 三、求相贯线的步骤 四、例题 五、同坡屋面
一、相贯线的特点 相贯后的两立体为一整体。 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。 两平面立体的相贯线由封闭的空间折线或平面折线组成。 折线的每一段都是甲形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。
二、求相贯线的方法 一种是求各侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体同一侧面上的两点，依次连接起来。 另一种是求一形体各侧面与另一形体各侧面的交线。
三、求相贯线的步骤 (2) 一平面体的棱线与另一平面体侧棱面交点。 (3)连线 同时位于两立体同一棱面的相邻两点可连线 (1) 分析两立体表面特征及与投影面的相对位置，确定相贯线的形状和特点，相贯线的投影有无积聚性； (2) 一平面体的棱线与另一平面体侧棱面交点。 (3)连线 同时位于两立体同一棱面的相邻两点可连线 一立体位于另一立体内部的部分不必画出 可见性判断 将相贯线的各棱线延长至相贯点
四、例题
[例题1] 求气窗与坡屋面的交线 c' a' b' d' e' a"(e") b"(d") c" c b d e a
[例题2] 求两立体表面的交线 1' 1" 2' 2" 3' 3" 1 2 3
五、同坡屋面
同坡屋面 (1)屋檐平行的两屋面必交成水平的屋脊线，称平脊，它的H投影必平行于屋檐的H投影，且与两屋檐的H投影等距。
同坡屋面 (2)屋檐相交的两屋面，必相交成倾斜的屋脊线或天沟线，称斜脊或天沟，其H投影为两屋檐H投影夹角的平分线。
已知同坡屋面四周屋檐的H面投影，各屋面坡度为45o，求作屋面的水平和正面投影。
同坡屋面—水平投影 2 3 Ⅱ 12 23 28 Ⅰ Ⅲ m n 38 p 18 4 5 Ⅷ q Ⅳ s t Ⅴ 1 8 Ⅶ Ⅵ 7 6
同坡屋面—水平投影和正立投影 m´ n´ q´(p´) r´ s´
§4.4 平面体与曲面体相贯 一、平面体与曲面体相贯线的特点及求作方法 二、例题
一、平面体与曲面体相贯线的特点及求作方法 相贯线的形状 平面立体与曲面立体相交时，相贯线是由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成。 各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割曲面体所得的截交线。 每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的侧棱与曲面体表面的交点。
平面体与曲面体相贯线的特点及求作方法 求相贯线的方法 求平面立体与曲面立体的相贯线，就是求平面与曲面体的截交线和直线与曲面回转体表面的交点。 作图时，先求出这些转折点，再根据求曲面体上截交线的方法，求出每段曲线或直线。
二、例题
[例题1] 求四棱柱与圆柱的相贯线 (a) a'(b') d'(c') b(c) f(g) a(d) e(h) b'(f') c'(g') [例题1] 求四棱柱与圆柱的相贯线 a'(b') d'(c') b(c) f(g) a(d) e(h) b'(f') c'(g') a'(e') d'(h') e'(f') h'(g') A D C B F E H G (a)
[例题1] 求四棱柱与圆柱的相贯线
[例题2] 求四棱柱与圆柱的相贯线 e' f' c' d" c" d' d i" h" a'(g') b' g" a" (b") a b g [例题2] 求四棱柱与圆柱的相贯线 e' f' c' d" c" d' d i" h" a'(g') b' g" a" (b") a b g e f h i c
[例题2] 求四棱柱与圆柱的相贯线
§4.5 曲面体与曲面体相贯 1．两曲面体相贯线的特点及求作方法 2．例题 3．两曲面体相贯线的特殊情况
一、两曲面体相贯线的特点 1．相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。 2．不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面曲线或直线。
二、例题
[例题1] 求两柱形屋面的相贯线 a' a" d' e' d"(e") b' c' b"(c') a d e b c
[例题2] 求直立圆柱和直立圆锥的相贯线 1' 1" 2' 2" 10' 10" 3' 3" 9' 9" 8' 4' 4" 8" 5" 5' 7' 6' 7 6" 9 10 1 6 8 2 3 7 4 5
[例题2] 求直立圆柱和直立圆锥的相贯线
[例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线 [例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线
[例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线 [例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线 1 1' 1" 2' 2" 2 PW PV 4" 4' QV QW 3" y RV RW 5" 3' 5' 3 5 y 4
[例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线 [例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线
[例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线 [例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线
[例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线 [例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线 PV 解题步骤 1．分析 相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点； QW2 QV 1" 1 2' 1' 2" 2 4' y 4" 3' RW RV 3" 5' 5" 2．求出相贯线上特殊点Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ； 3．求出若干个一般点Ⅳ 、Ⅴ； 3 5 4 y 4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性； 5．整理轮廓素线。
[例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线 [例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线 解题步骤 1．分析 相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点； 2．求出相贯线上特殊点Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ； 4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性； 5．整理轮廓素线。 3．求出若干个一般点Ⅳ 、Ⅴ；
三、两曲面体相贯线的特殊情况 1. 外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆。 当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此两椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线。 2. 两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆，并且该圆垂直于公共轴线。 当公共轴线处于投影面垂直位置时，相贯线有一个投影反映圆的实形，其余投影积聚为直线。
1. 外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆。
2. 当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆
本章结束