第二章 現金流與金錢的時間價值

現金流與現金流圖 以財務角度分析工程方案，需使用現金流圖(表)來描述方案 現金流圖：專案 (視覺化) 的財務性描述 現金流代表金錢(現金)在某特定時間或期間的流動或轉移 專案計畫的現金流入與流出 流入：收入或收益 流出：花費或支出 淨現金流：收入 – 支出

現金流與現金流圖 離散性：專案計畫的現金流入或流出發生在特定的時間點上 連續性：在某一段期間，現金會以某個速率流入或流出專案

現金流圖 專案計畫的財務性描述。 描繪某個時間範圍中現金流的類型、大小、與時間性。 1 2 3 4 5 時間範圍中的時間期間

現金流圖(離散型) 離散型的現金流入(收入) 離散型的現金流出 (花費、支出) 請注意箭頭的方向！ 500K 200K 200K 200K 1 2 3 4 5 50K 100K 500K 離散型的現金流出 (花費、支出) 請注意箭頭的方向！

現金流圖(離散型) 淨現金流是將同個時間點上的收入與支出合併 可以改成淨現金流 500K 200K 200K 200K 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 50K 100K 可以改成淨現金流 500K

現金流圖(離散型) 淨現金流是將同個時間點上的收入與支出合併 淨現金流 500K 200K 200K 100K 1 2 3 4 5 50K 1 2 3 4 5 50K 淨現金流 500K

現金流圖(連續型) 連續型現金流：定義金錢在時間中移動的速率 雖然利於分析長期計畫，但實務上不常用 連續型的現金流入 (收入) 1 2 3 4 5 500K 200K 連續型的現金流入 (收入) 每單位時間200K的流動速率 雖然利於分析長期計畫，但實務上不常用

現金流圖(離散型) 可以描繪任何投資機會 典型的投資： P 進行初始的投資 (購買)

現金流圖(離散型) 可以描繪任何投資機會 典型的投資： 在各時間點獲得收入 在時間點N得到殘餘價值 1 2 N 3 P 在各時間點支出花費

現金流圖(離散型) 可以描繪任何投資機會 典型的投資： AN A3 A2 1 2 3 N A1 P 將每個期間寫成淨現金流

額外例題：現金流圖(離散型) 面紙公司Svenska Cellulosa宣布在其西班牙Valls的工廠投資4.9億元添購一座新的面紙機器，將其每年的產能擴展60,000噸。該工廠大部分產品都是供應給零售商的自有品牌。 (幣值：瑞典克朗) 假設：於2006年進行投資，於2007年開始運作。這具機器擁有10年的服務年限以及2,500萬元的殘餘價值。第1年的固定O&M成本為1,000萬元，每年增加8%。收入為每噸6,400元，成本為每噸4,600元。 試繪製其現金流圖。 Source：“SCA Invests Around SEK490M in New Tissue Machine in Spain,” Dow Jones Newswires, December 22, 2005.

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟) 時間線 1 2 10 3

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟) 個別現金流：投資成本(期初) 1 2 10 490M 3

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟) 個別現金流：每期收入 384M 384M 384M 384M 1 2 3 10 490M

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟) 個別現金流：每期(變動)成本 384M 384M 384M 384M 1 2 3 10 276M 276M 276M 276M 490M

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟) 個別現金流：每期固定成本 384M 384M 384M 384M 1 2 3 10 276M 276M 276M 276M 10M 10.8M 11.7M 490M 20M

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟) 個別現金流：殘餘價值(期末) 1 2 10 490M 3 384M 276M 10M 10.8M 11.7M 20M 25M

額外例題：現金流圖(離散型) )(解答步驟) 淨現金流圖 113M 98.0M 97.2M 96.4M 89.5M 1 2 3 9 10 這是一種「典型的」投資案 (投資於時間零，稍後得到報償) 490M

例題2.1 現金流圖(離散型) Perryman Co.是一家位於賓州的鈦製造商 在2005年購買1,000萬美元的軋鋼廠以擴展其營運 例題2.1 現金流圖(離散型) Perryman Co.是一家位於賓州的鈦製造商 在2005年購買1,000萬美元的軋鋼廠以擴展其營運 其年產量增加超過60%，達到700萬磅 可用來製造圈狀或棒狀產品的鈦錠 假設這座新廠房是在2005年初購置 在10年內都可用最高產能運作(每年產出437.5萬磅) 假設每一磅的產出都可以產生$9美元的收入 其生產成本則為$3.90美元 第一年的設備維護費為$1,000萬美元，且每年會增加100萬美元 這座廠房在10年後會被拆除，並獲得$50萬美元 請為此項投資繪製現金流圖，假設所有的花費與收入都出現在年尾

例題2.1 現金流圖(離散型)(解答) (a)個別現金流圖 (b)淨現金流圖 固定期間的淨現金流，就是該段期間所有個別現金流的總和。 50萬 例題2.1 現金流圖(離散型)(解答) (a)個別現金流圖 (b)淨現金流圖 固定期間的淨現金流，就是該段期間所有個別現金流的總和。 50萬 1232萬 1132萬 382萬 3938萬 3938萬 1706萬 1706萬 1000萬 1000萬 1000萬 1100萬 1900萬

現金流分析 所有的投資機會都可以繪製為現金流圖 將所有現金流圖轉換成類似的示意圖以進行比較  我們要如何從中選擇最佳的投資機會？ 使用共同的利率 使用金錢的時間價值運算

金錢的時間價值 金錢有價值，因為它會提供我們效用 一般來說，相較於未來的金錢，我們比較喜歡當下的金錢 (同樣金額) 我們可以馬上花用然後取得效用 我們可以將之投資，然後期待它隨利息而增長，以取得未來較高的效用 我們若將它藏在枕頭底下，則會坐視它喪失購買力

金錢的時間價值 描述相同金額的金錢在不同時間的價值 利息 ~ 金錢的成本 需要使用利率 面對正利率，以現在而言： 金錢會成長 (增生) 使未來有較高的總額 過往的金錢會較少 (受到折價) 利息 ~ 金錢的成本 借(出)款人針對使用金錢所索取的使用費 任何交易都會有某個人賺取金錢，某個人支付利息 例：存款帳戶：銀行支付~~1.5%的費用給存款人 房屋/汽車抵押貸款： 貸(入)款人支付銀行~~7.5%的費用給銀行

利息與利率 利率有許多組成要素 案例：房屋抵押貸款：7.5% 風險較高的客戶，利率可能會更高 基本利率：(銀行在需要時，以此利率向聯邦準備銀行借款) 5% 風險因素：1% 管理費用：0.5% 利潤：1% 風險較高的客戶，利率可能會更高

利息與利率 定義利息 本金 (資本)：P 利率：i 複利期間 投資或借貸的金額 金錢的使用費(租金) 為在每個期間中本金的某個比例 為計算利息的時間長度 借貸/投資的時間長度：N期間

利息與利率：單利 所賺取(或支付)的利息，是所牽涉到之資本的某個比例 =(本金)(利率)(期數)

例題2.4(單利)： 2004年，波音宣布將在2007年生產新型7E7 Dreamliner (後來改名為787)，售價將高達$1.275億美元。 如果某家航空公司向銀行貸款購買一架787，利率(單利)為每年5.5%，請問這家公司這筆貸款在四年後需支付多少錢？ Source：Penton, K., “Keystone gets $7 million funding,” The Morning Call, p. D1, January 13, 2006.

例題2.4(單利) 解答： 四年後所積欠的利息可用公式(2.1)計算如下： 如果貸款要在第四年後的第一季結束後歸還，則利息會變成 $127.5M 例題2.4(單利) 解答： 例2.4之現金流圖 F 四年後所積欠的利息可用公式(2.1)計算如下： 4年的利息款項總計為 4年後要歸還的貸款總計為 如果貸款要在第四年後的第一季結束後歸還，則利息會變成 額外的一季會造成利息費用多出175萬美元(=127.5M*0.055*1/4)

利息與利率：複利 需同時針對本金與已增生的利息總額支付利息 必須每期計算所積欠的利息

複利與現金流圖 案例：P=$1000，i =10%，一年後(第一期期末)會增生多少？ 如果在第一期期末取出這筆錢： 本金：P = $1000 所賺取之利息：I = Pi = $1000(0.10) = $100 總計：F1 = P + I = P + Pi = P(1+i) = $1100 如果在第一期期末取出這筆錢： 1 F1 = 1100 P = 1000

複利與現金流圖 兩年後(第二期期末)會增生多少？ 第二期期初本金：F1 = $1100(=第一期期末總計) 第二期獲得之利息： I2 = F1i = P(1+i)i = $1100(0.10) = $110 總計： F2 = P + I1 + I2 = P + Pi + (P+Pi)i = P(1+i)2 = $1210 如果在第二期期末取出這筆錢： 1 2 P = 1000 F2 = 1210

複利與現金流圖 第N期期末會增生多少？ 在第N期期末取出這筆錢： 一般化公式為：F = P(1+i)N P – 現值(Present Value) F – 未來值(Future Value) 在第N期期末取出這筆錢： 1 2 P F = P(1+i)N 3 N

例題2.5(複利)： 考量購買波音787的1.275億美元購買成本 此時若5.5%的利率是以每年複利計算。 如果貸款必需在四年後一次還清，請計算總共所需支付的利息為何。 解答： 這筆交易的現金流圖與例2.4相同，但利息的計算較為複雜，因為利息的計算是依據本金與所有增生的利息為基礎。 在第四年之前，這筆貸款不會被歸還，所增生的利息也不會被支付，因此利息將會累積。

例題2.5(複利)解答： 在第一年(第一個複利期間)期末，借款人積欠利息為： 第一年期末積欠總金額(本金+利息)為： I1 = Pi = ($127.5M)(5.5%) = $7,012,500 (等於一期的單利) 第一年期末積欠總金額(本金+利息)為： F1 = P + I1 = P + Pi = P(1 + i) = $134,512,500 P=$127.5M (1+i) 1 F1 = ?

例題2.5(複利)解答： 第二年所增生的利息為： 第二年期末積欠總金額(本金+利息)為： 第二年期末積欠未支付的利息總額為 I2 = (P + I1)i = (P + Pi)i = P(1 + i)i = [$127.5M + $7.0125M](5.5%) = $7,398,178.5 第二年期末積欠總金額(本金+利息)為： F2 = P + I1 + I2 = P + Pi + P(1 + i)i = P[1 + 2i + i)i] = P(1 + i)2 = $127.5M(1.055)2 = $141,910,687.5 第二年期末積欠未支付的利息總額為 I1 + I2 = $7,012,500 + $7,398,178.5 = $14,410,678.5 P=$127.5M (1+i) (1+i) 1 2 F2 = ?

例題2.5(複利)解答： 第三年所增生的利息為： 第三年期末積欠總金額(本金+利息)為： 第三年期末積欠未支付的利息總額為 I3 = (P + I1 + I2)i = F2i = [$127.5M + $14.4107M](5.5%) = $7,805,087.3 第三年期末積欠總金額(本金+利息)為： F3 = F2 + I3 = F2 + F2i = F2(1 + i) = P(1 + i)2(1 + i) = P(1 + i)3 = $127.5M(1.055)3 = $149,715,775.31 第三年期末積欠未支付的利息總額為 I1 + I2 + I3 = $14,410,678.5 + $7,805,087.3 = $22,215,765.8

例題2.5(複利)解答： 第四年所增生的利息為： 第四年(N=4)期末積欠總金額F為： 在第四期末積欠未支付的利息總額為 I4 = (P+I1+I2+I3 )i = F3i = $149715775.31(5.5%) = $8,234,367.64 第四年(N=4)期末積欠總金額F為： F = P(1 + i)4 = $127.5M(1.055)4 = $157,950,143 在第四期末積欠未支付的利息總額為 I = I1 + I2 + I3 + I4 = F – P = $157,950,143 - $127,500,000 = $30,450,143

例題2.5(複利)解答： 一般公式： 第N期結束積欠總金額為： F = P(1 + i)N F通常被稱為目前總額P的未來值 第N期結束積欠利息總額為： I = F - P P=$127.5M 1 FN = ? (1+i) 2 N-1 N …………….

名目利率與實際(有效)利率 名目利率：金融機構通常以年度為基準，不計入複利的影響，來提供利率數據 ，亦稱為年百分率(Annual Percentage Rate – APR) 實際(有效)利率：每期應得的利率(複利計算) 需將名目利率轉換成實際(有效)利率以進行分析 名目利率在分析上沒有用處！ 名目年利率：r 但以每期（通常 1年，如每月、季、半年）複利計算 一年內的複利次數：M 注意：名目利率不一定是”年“利率，但最常以年利率定義名目利率

轉換名目利率 一定要將名目利率轉換為實際(有效)利率 (2.2) 例如：「 12%，每月複利一次」的意義為 若一年內複利M次(期) 則每期實際利率為 i： (2.2) 例如：「 12%，每月複利一次」的意義為 名目年利率 r = 12% 每月複利一次 = 一年複利12次 則每月實際利率 i = r/M = 12%/12 = 1%

例題2.6：名目利率 First Quantum Minerals, Ltd. 針對其礦產運作，向渣打銀行取得3,000萬美元的信用額度。 這項信用額度的利率為LIBOR (London Inter-Bank Offered Rate；倫敦銀行同業拆借率)加上2.5%，且要以每季計費的方式還款。 假設LIBOR固定在每年1.37%，則每年的名目利率為1.37% + 2.50% = 3.87%。 假設複利是以每季計算，試求有效的季利率。

例題2.6 解答 使用每季的複利計算，以公式(2.2)定義每季利率(iq)為 這意味著每季的實際(有效)利率為0.97%

例題2.7 再次檢視名目利率 再檢視前一例題 這次假設提供給Quantum Minerals 的貸款利率是以季利率2.5%以及三個月的LIBOR利率0.28%計算，總利率為每季2.78%。 請問其名目利率為何？

例題2.7 解答 使用公式(2.2)求解名目利率r，可發現 r = iqM = (0.0278)(4) = 11.12% 例題2.7 解答 使用公式(2.2)求解名目利率r，可發現 r = iqM = (0.0278)(4) = 11.12% 即名目年利率為11.12%，每季複利計算 或可表示為：「 11.12% ，每季複利」

實際(有效)利率 (i) 可解讀為： 投資的利潤率(投資報酬率)或 貸款的真實成本或 到期殖利率 是特定期間實際發生的利率 (以複利計算) 在分析上，實際(有效)利率比名目利率有用 每期i %

實際(有效)利率 (i) 因為名目利率通常以年度為基準來定義，因此，定義實際(有效)年利率ia有其必要性 例如：M=12(每月複利)， 則每月實際利率im = r/M 以現金流圖將月利率im轉換成實際年利率ia P F F = P(1+im)12 and F = P(1+ia)  (1+im)12 = (1+ia)  ia = (1+im)12 -1  ia = (1+ r/M)12 -1

轉換實際(有效)利率 例：名目(年)利率r =12%，每月複利 (M = 12) 實際年利率 ia = ？ 12月 1年 P F 月利率im 1 2 3 im = r/M = 12%/12 = 1% F=P(1+ia) =P(1+im)12 (1+ia) = (1+im)12 ia = (1+1%)12 – 1 = 0.1268 = 12.68%

轉換實際(有效)利率 例：名目(年)利率r =12%，每季複利 (M = 4) 實際年利率 ia = ？ iq = r/M = 12%/4 = 3% 年利率ia 4 季 1年 F 季利率iq 1 2 3 F=P(1+ia) =P(1+iq)4 P (1+ia) = (1+iq)4 ia = (1+3%)4 – 1 = 0.1255 = 12.55%

轉換實際(有效)利率 例：名目(年)利率r =12%，每月複利 (M = 12) 半年的實際利率 isa= ？ 12月 1年 P F 月利率im 1 2 3 im = r/M = 12%/12 = 1% F=P(1+isa)2 =P(1+im)12 (1+isa)2 = (1+im)12 isa = (1+1%)6 – 1 = 0.0615 = 6.15% 例：以半年實際利率 isa，計算實際年利率ia=？ ia = (1+isa)2 – 1= (1+6.15%)2 – 1 = 0.1268 = 12.68%

轉換實際(有效)利率 例：實際年利率ia =12%，每月複利 (M = 12) 名目年利率 r = ？ F=P(1+ia) =P(1+im)12 (1+ia) = (1+im)12 im = (1+ia)1/12 - 1 im=(1.12)1/12 -1 = .00949 = 0.949% r =( im )(M) = (0.949%)(12) = 11.388%

轉換實際(有效)利率 例：名目年利率 r =12%，每年複利 (M = 1) 即，實際年利率 ia =12%，則 有效季利率 = ？ (註：從較長的利率期間轉成較短的利率期間) F=P(1+ia) =P(1+iq)4 (1+ia) = (1+iq)4 iq = (1+ia)1/4 - 1 iq=(1.12)1/4 -1 = 0.0287 = 2.87%

轉換實際(有效)利率 每期名目利率為 r 每期複利M次，則每次實際(有效)利率： i = r/M 再轉換至所需的期數(l 期) (2.3)

轉換實際(有效)利率 例：若以季為一期，即，名目季利率 = rq = 6%， 假設每月複利 ，即每季複利3次 ( M = 3)，則 半年(l = 2季)的有效利率為何？ 每月實際(有效)利率：im = rq /M = 6%/3 = 2% 應用公式(2.3)： isa = (1 + rq /M)lM -1 = (1 + 6%/3)(2)(3) = (1 + 2%)6 - 1 = 12.616%

連續性複利計算 在一特定期間內有無窮多個的複利期間 (M  )時， 求解該特定期間內的實際(有效)年利率： l 年的有效利率 (l 可為一年的分數或倍數)：

例題2.8 連續性的複利計算 ON Semiconductor Corp. 在2003年秋季重新籌措了3.69億美元的銀行借款。 利率為LIBOR加上325個基本點(即3.25%)。假設LIBOR為1.5%，則這筆借貸的利率便是每年4.75% ( = r)。 使用連續性的複利計算，試求等值的有效年利率與半年利率。

例題 2.8 解答： 等值的有效年利率可由公式(2.5)求得： 等值的有效半年(六個月)利率則是

比較利率 需使用複利期間長度相同的實際(有效)利率 規則： 不應以名目利率進行比較 應用 i = r/M 將名目利率轉換為複利期間長度的有效利率 將複利期間較短的有效利率轉換為複利期間較長的有效利率 應用 i長期間 = (1 + i短期間 )N -1 將複利期間較長的有效利率轉換為複利期間較短的有效利率 應用 i短期間 = (1 + i長期間 )1/N -1 (註：長期間 = 短期間*N)

例題2.9 比較利率 Toromont Industries, Ltd.的CAT部門在2004年初，以大約1,200萬加幣的代價將33具Caterpillar設備(包含鋪路設備、壓土機、剷土機、…) 出售給Lafarge Canada, Inc.。 付款方式： 假設業者提供融資(透過貸款) 購買這些設備利率為18%，每月複利計算。 該公司可向某家當地銀行尋求貸款，這家銀行提供17%的APR，以連續性的複利計算。 請問哪一種付款方式的利率較佳？

例題2.9 解答： 不要只因為17%少於18%，就落入陷阱而接受銀行的利率。 兩種利率都是名目利率，因此無法相比較。 兩種利率都必須先轉換成相同期間的有效利率以進行比較。 先考量業者的利率r =18%，每月複利計算，則有效月利率為 使用公式(2.5) ，將連續性複利計算的銀行利率轉換為有效年利率：

例題2.9 解答(續)： 判斷1.5%的有效月利率是否比18.53%的有效年利率划得來 以年為利率期間，比較兩種利率： 由於有效月利率在一年中會複利12次，因此，等值的有效年利率為 銀行提供給這家公司的利率(18.53%)較為便宜。 請注意，也可以將銀行的有效年利率轉換為有效的月利率。 決策依然相同，因為銀行所提供的每月1.43%比業者的1.5%要來的便宜。

現金流的時間性 利率的複利期間與現金流出現的間隔時間相符時，才能進行方案分析 兩種不相符的狀況： 複利計算較現金流頻繁： (複利期間<現金流間隔時間) 將利率的複利期間轉換成與現金流發生的間隔時間相同的有效利率 現金流的發生較複利次數頻繁： (複利期間>現金流間隔時間) 假設在複利期間內發生的現金流並不會產生利息--只需「累加」現金流 找出現金流發生期間的實際利率

例題2.10 使複利期間與現金流期間相符 Tennessee Valley Authority (TVA)與肯塔基州及伊利諾州的高含量硫煤礦供應商簽下多筆合約，以確保其位於肯塔基Paradise的發電廠 3號發電機的燃料供應。 這份合約的價值為8.03億美元。 假設支付給煤礦供應商的款項是從2004年1月開始，每月支付，每年的利率為11%，以連續複利計算

例題2.10解答： 根據合約，TVA在合約期間要為每一頓煤支付33.46美元。在每個月送交10萬噸煤的情況下，意味著每個月的應付款項為334.6萬美元。 TVA的金流圖如下。 購煤的每個月應付款項

由於利率是以連續複利計算，因此複利次數比現金流(每月付款)要來得頻繁。 可以將利率轉換為有效月利率，以進行分析。月利率為 轉換後的利率為每月有效利率可以直接使用在現有的現金流圖上，因為現金流發生的時間性與複利期間相同(每月)。

例題 2.11 令現金流與複利期間相符 TVA也和Alliance Resource Partners 簽下20年10.7億美元的合約，每年從該公司取得150萬噸的煤。 假設這筆合約的支付款項為每月446萬美元(首筆支付款於2004年一月底)，但是利率是每年12% (每年複利)。

解答： 圖2.14(a)描繪這筆合約的真實現金流移轉。 現金流是每個月發生，但利率卻是每年計算複利。 每個月的現金流可以總結為每年5,350萬美元的總金額，如圖2.14(b)所示。 本書將使用這項慣例。 (a)購煤的每月款項 (b)以年利率為基礎的每年總結款項 例題2.10與2.11使現金流時間性與複利期間相符。