AAA相似性質與AA相似性質 SAS相似性質 SSS相似性質 自我評量

在上一節中，我們檢查兩個多邊形是否為相似形時，「對應角都相等」與「對應邊都成比例」這兩組條件是不可省略的。但是在上一冊討論三角形全等性質時，如：ASA、AAS、SAS、SSS、RHS等，都是在邊與角的六個條件中，只要確定其中三個條件相等就可以了。當我們探討兩個三角形相似時，是否也有同樣的簡易判別方法呢？

如圖1-16，△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D， ∠B＝∠E，∠C＝∠F，且 ＜ ， ＜ ， ＜ 。 圖1-16

我們將其中一組相等的對應角∠A與∠D疊合， 如圖1-17，使得 與對應邊 重疊， 與 對應邊 重疊，則B 點落在 上，C點落在 上，因為∠B ＝∠E，所以 // （同位 角相等）。由「平行線截比例線 段性質」可知： ： ＝ ： ------- 圖1-17

同理，仿前面的方式將∠B、∠E 疊合，如圖1-18，可推得 // ，故 ： ＝ ： 。----- 由式、式可知 ： ＝ ： ＝ ： ，即對應邊成比例。

綜合前頁的討論可知：如圖 1-19，在△ABC與 △DEF中，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F， 可推得 ： ＝ ： ＝ ： ，所以 △ABC∼△DEF。 圖 1-19 因此， 若兩個三角形的三組對應角相等，則這兩個三角形相似，這個性質稱為AAA相似性質。

如圖，△ABC與△A'B'C' 中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，試證△ABC∼△A'B'C'。 搭配習作 P9 基礎題 1 1 AA 相似性質 如圖，△ABC與△A'B'C' 中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，試證△ABC∼△A'B'C'。 △ABC與△A'B'C' 中， ∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'， ∴∠C＝180°－∠A－∠B ＝180°－∠A'－∠B'＝∠C' 故△ABC∼△A'B'C'（AAA 相似） 證明

由例題1可知： 若兩個三角形其中兩組對應角相等，則這兩個三角形相似，這個性質稱為AA相似性質。

如右圖，△ABC 中， // ，△ABC與△APQ是否相似？為什麼？ ∵ // ∴∠B＝∠APQ，∠C＝∠AQP 故△ABC∼△APQ（AA相似）

由隨堂練習可知：若有一直線與三角形的兩邊相交，且平行於此三角形的第三邊，則截出的小三角形與原三角形相似。 因此， △ABC 中，P、Q 兩點分別在 、 上，且 // ，則 ： ＝ ： ＝ ： 。 圖 1-20

搭配習作P9基礎題 2／P10基礎題 3 2 相似形的應用 如圖，△ABC 中， // ，且 ＝12， ＝4， ＝15，試 求 。

解 在△ABC中， ∵ // ∴ ： ＝ ： 12：（12＋4） ＝ ：15 ＝ 也可以看成△AEF∼△ABC。

解 ∵ // ∴∠F＝∠B，∠E＝∠C， 故△AEF∼△ACB（AA 相似） ： ＝ ： 8： ＝18：27 ＝12 1.如圖， // ， 與 交於 A點，且 ＝18， ＝27， ＝8，試求 。 解 ∵ // ∴∠F＝∠B，∠E＝∠C， 故△AEF∼△ACB（AA 相似） ： ＝ ： 8： ＝18：27 ＝12

2.如圖，△ABC 中，∠C＝90°， 於E點，回答下列問題： (1)△ABC 與△DBE 是否相似？為什麼？ (1) 在△ABC 與△DBE 中 ∵∠B＝∠B， ∠ACB＝∠DEB＝90°， ∴△ABC∼△DBE（AA 相似） 解

2.如圖，△ABC 中，∠C＝90°， 於E點，回答下列問題： (2)若 ＝1， ＝2， ＝3，試求 。 (2) ∵△ABC∼△DBE ∴ ： ＝ ： 3：（ ＋2）＝2：（3＋1） ＝4 解

如下圖，△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D， ： ，回答下列問題：

(1)為什麼 // ？ ∵ ： ＝ ： ∴ // (2)△ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？ ∵ // ∴∠ABC＝∠DEF 又∠A＝∠D ∴△ABC∼△DEF（AA 相似）

由上面的問題探索可知：在△ABC與△DEF 中，若∠A＝∠D， ： ＝ ： ，可推得∠ABC＝∠DEF，此時△ABC∼△DEF (AA相似) 。 因此， 若兩個三角形有一組對應角相等，且夾此等角的兩組對應邊成比例，則這兩個三角形就相似，這個性質稱為SAS 相似性質。

如圖，△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D＝100°， ＝2.4， ＝1.2， ＝4， ＝2，則 △ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？ 搭配習作 P10 基礎題 4 3 SAS相似性質的應用 如圖，△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D＝100°， ＝2.4， ＝1.2， ＝4， ＝2，則 △ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？

∵ ： ＝2.4：4＝3：5 ： ＝1.2：2＝3：5 ∴ ： ＝ ： ＝3：5 在△ABC 與△DEF 中， ∵∠A＝∠D＝100°， ： ＝ ： ， ∴△ABC∼△DEF（SAS 相似）。 解

在△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D＝37°， ＝6， ＝5， ＝1.5， ＝1.25 ，則△ABC與△DEF是否相似？為什麼？ ∵ ： ＝6：1.5＝4：1 ： ＝5：1.25＝4：1 ∴ ： ＝ ： ＝4：1 在△ABC 與△DEF 中 ∵∠A＝∠D， ： ＝ ： ∴△ABC∼△DEF（SAS 相似）

4 SAS相似性質的應用 如右圖，△ABC 中， ＝3， ＝5， ＝4， ＝2，回答下列問題： (1)△ABC 與△AFE 是否相似？ 搭配習作 P11 基礎題 5 4 SAS相似性質的應用 如右圖，△ABC 中， ＝3， ＝5， ＝4， ＝2，回答下列問題： (1)△ABC 與△AFE 是否相似？ 為什麼？ (2)若 ＝3.3，試求 。

(1)△ABC 與△AFE 是否相似？為什麼？ (1)∵ △ABC 與△AFE 有相同的∠A， 且 ： ＝3：（4＋2）＝3：6＝1：2 且 ： ＝3：（4＋2）＝3：6＝1：2 ： ＝4：（3＋5）＝4：8＝1：2 ∴ ： ＝ ： ＝1：2 故△ABC∼△AFE（SAS相似）。 解

(2)若 ＝3.3，試求 。 (2)∵ △ABC∼△AFE， ∴ ＝2 ＝6.6 解

如右圖， 與 交於A 點，且 ＝10， ＝ ＝20， ＝40， ＝25.6，試求

∵ ： ＝10：20＝1：2 ： ＝20：40＝1：2 ∴ ： ＝ ： ＝1：2 在△ABC 與△AEF 中 ∵ ： ＝ ： ，∠BAC＝∠EAF ∴△ABC∼△AEF（SAS 相似） ： ＝ ： ：25.6＝1：2 ＝12.8

如下圖，△ABC 與△DEF 中， ＜ ，且 ，回答下列問題：

(1)如右圖，△DEF 中，在 上取 ＝ ， 過P 點作 // ，交 於Q 點，為什麼 △DPQ∼ △DEF ？ ∵ // ∴∠DPQ＝∠E，∠DQP＝∠F， 故△DPQ∼△DEF（AA 相似）

(2)由△DPQ∼△DEF 可得 ＝ ＝　 ，又 ＝ ＝　 ， ＝ ，請說明△ABC △DPQ。 ∵ ＝ ∴ ＝ ， ＝ 故△ABC △DPQ（SSS）

(3)由△ABC △DPQ 得∠A＝∠D，又 ，則△ABC∼△DEF是利用______相似性質。 SAS

由上面的問題探索可知：在△ABC 與△DEF 中，若 ，可推得∠A＝∠D，此時 △ABC∼△DEF（SAS 相似）。 搭配習作 P11基礎題6 由上面的問題探索可知：在△ABC 與△DEF 中，若 ，可推得∠A＝∠D，此時 △ABC∼△DEF（SAS 相似）。 因此， 若兩個三角形的三組對應邊成比例，則這兩個三角形相似，這個性質稱為 SSS 相似性質。

5 SSS相似性質的應用 如右圖， ＝10， ＝8， ＝12， ＝15， ＝18，回答下列問題： (1)為什麼△ABC∼△BDC？ (2)∠D 與△ABC 的哪個角相等？

解 (1) 在△ABC 與△BDC 中， ∵ ： ＝8：12＝2：3 ： ＝10：15＝2：3 ： ＝12：18＝2：3 ∴ ： ＝ ： ＝ ： 故△ABC ∼△BDC（SSS 相似） (2) ∵△ABC ∼△BDC ∴∠D＝∠ABC 可以看成：

試勾選出與△ABC 相似的三角形。 (1) □ (2) □ (3) □  

6三角形兩邊中點連線性質 如右圖，△ABC中，D、E 分別為 、 的中點， 試說明 // ，且 ＝ 。

(1) 在△ABC 中， ∵D、E 分別為 、 的中點 ∴ ： ＝ ： ＝1：1 故 ∴ ： ＝ ： 證明 (2)∵△ADE∼△ABC（AA 相似）， ＝ ， 且 ： ＝ ： ∴ ＝

由例題 6 可知： 三角形的兩邊中點連線必平行於第三邊，且為第三邊長的一半，稱為三角形兩邊中點連線性質。

如右圖，△ABC 中，D、E、F 分 別為 、 、 的中點，若 ＝10 公分， ＝8 公分， ＝7 公分， (1) 試求 ＋ 。 (2) 四邊形 DBEF 是否為平行 四邊形？

(1) ＋ ＝ ＋ ＝ ＋5＝ （公分） (2)∵ // ， // ， ∴四邊形 DBEF 為平行四邊形

7三角形兩邊中點連線性質的應用 如右圖，△ABC 中，D、E 分別 為 、 的中點，F、G 分別 為 、 的中點，若 ＝3 公分，試求 ＋ 。

解 在△ADE中，F、G分別為 、 的中點， ∴ ＝ 3＝ ＝6 同理， ＝ 　　 6＝ 　　　 ＝12 ＋ ＝6＋12＝18（公分）

如右圖，△ABC 中，D、E 分別 為 、 的中點，F、G 分別 為 、 的中點，若 ＝20 ，試求 。

∵D、E 分別為 、 的中點 ∴ ，且 ＝ ＝10 ∵F、G 分別為 、 的中點，且 ∴ 為梯形 DECB 的中線 故 ＝ ×（ ＋ ） ＝ ×（10＋20）＝15

8 相似三角形的計算 如右圖，直角三角形 ABC中， ∠BAC＝90°， 於 D， (1) 試說明△ABC∼△DBA。 (2) 試說明 2＝ × 。 (3) 若 ＝4， ＝2，試求 。

解 (1)在△ABC 與△DBA 中 ∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B ∴△ABC∼△DBA（AA 相似） (2)∵△ABC∼△DBA ∴ ： ＝ ： 即 2＝ × (3) 42＝2 × ∴ ＝8

如右圖，直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°， 於 D， (1) 試說明△ABC∼△DAC。 (2) 試說明 2＝ × 。 (3) 若 ＝6， ＝8，試求 。

(1)在△ABC 與△DAC 中 ∵∠BAC＝∠ADC，∠C＝∠C ∴△ABC∼△DAC（AA 相似） (2)∵△ABC∼△DAC，∴ ： ＝ ： 即 2＝ × (3) 62＝ × 8 ∴ ＝4.5

1.三角形的相似性質： (1) AAA 相似性質：若兩個三角形的三組對應角相等，則這兩個三角形相似。 (2) AA 相似性質：若兩個三角形其中兩組對應角相等，則這兩個三角形相似。

(3) SAS 相似性質：若兩個三角形有一組對應角相等，且夾此等角的兩組對應邊成比例，則這兩個三角形相似。 (4) SSS 相似性質：若兩個三角形的三組對應邊成比例，則這兩個三角形相似。

2.△ABC 中，若 ， 則 ： ＝ ： ＝ ： 圖 1-21

3.三角形兩邊中點連線： 三角形的兩邊中點連線必平行於第三邊，且為第三邊長的一半，稱為三角形兩邊中點連線性質。 如圖 1-22，D、E 分別為 、 中點，則 // ，且 ＝ 。 圖 1-22

4.直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°， 若 於 D， 則△ABC∼△DBA，△ABC∼△DAC， △DBA∼△DAC。 圖 1-23

1-2 自我評量 1.請勾選出與△ABC相似的三角形 (1) □ (2) □ (3) □   (6) □ (4) □ (5) □  

2.如右圖，△ABC 與△DEF 中，已知 // ， 且 ： ＝ ： ，回答下列問題： (1)△ABC與△DEF是否相似？為什麼？ ∵ // ， ∴∠BCA＝∠EFD 又 ： ＝ ： 故△ABC∼△DEF（SAS 相似）

(2)若 ＝14， ＝9， ＝21， ＝19， 試求 。 ： ＝ ： 14：21＝（9＋ ）：（ ＋19） ＝11

3.如右圖，L1、L2、L3皆為 直線，若L1 //L2// L3，且直 線M、N 交於A 點， ＝ 2， ＝3， ＝4， ＝4，回答下列問題：

(1)試求 、 與 。 ： ＝ ： 3：5＝ ：4 ＝ ＝4－ ＝ ： ＝ ： ： ＝4：3

(2) ： ： 與 ： ： 是否相等？ ∵ ： ： ＝ ： ： ＝ 2： 3 ： 4 ＝ ： ： ∴ ： ： ＝ ： ：

(3)如果 ＝ ，試求 、 。 ： ＝ ： ： ＝3：4 ＝ 3：5＝ ：

4.如右圖，△ABC 中，F、G 分別為 、 的中點，D、E分別為 、 的中點，若 ＝16，試求 。 ＝ ＝8 ＝ ＝4

5.如右圖，△ABC中，∠BAC＝90°，且 於 D，若 ＝x－2， ＝x－4， ＝5，試 求 。

在△ABC 與△DAC 中 ∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C ∴△ABC∼△DAC（AA 相似） 故 ： ＝ ： 2＝ × （x－2）2＝（x－4）（x＋1） x2－4x＋4＝x2－3x－4 x＝8 ∴ ＝x－2＝6