1.设A和B是集合,证明:A=B当且仅当A∩B=A∪B 2.一个A上的二元关系R称为循环的,如果对任意的a,b,cA,若aRb,bRc,必有cRa.证明:R是自反和循环的当且仅当R是等价关系
引理(一):若A、B都是可列集,A∩B= ,则A∪B是可列集。 证明:因为A、B都是可列集,故由定理(二)得,A中的元素可以排成一个无穷序列的形式:a0,a1,a2,a3,a4,…, B中的元素可以排成一个无穷序列的形式:b0,b1,b2,b3,b4,…,又因A∩B=,故可构造N到A∪B的双射
定理4.7:两个可列集之并仍为可列集。 构造B1=B- (A∩B), 则A∩B1=,A∪B1=A∪B 推论:有限个可列集之并仍为可列集。 定理4.8:可列个可列集之并仍为可列集 考虑互不相交的情况 例:证明有理数集Q是可列集。 首先证明正有理数集是可列集 Q+={n/m|m,n互质,n,m0} 与有序对有关
定理4.9:[0,1]是不可列集。 证明:显然[0,1]不是有限集。 假设[0,1]是可列集。利用区间套定理导出矛盾 称[0,1]为连续统,基数记为,c 有时也记为1 例:证明|(0,1)|=|[0,1]|= 构造(0,1)到[0,1]之间的双射
定理4.10:设A是有限集或可列集,B是任一无限集, 则|A∪B|=|B|。 定理4.11:设实数a,b且a<b,则[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均为c。 实数集R的基数 (0,1)到R的双射f: f(x)=tg(x-/2) |R|=|(0,1)|=c 线段上的点数和实数轴上的点数是一样的
整数集,非负整数集,正整数集,有理数集它们的基数是0 实数集为 设P表示无理数集 R=P∪Q, |Q|=0, 由定理4.10知, |R|=|P∪Q|=|P|, P的基数是
作业:P76 4,5,6,7,8,11,12