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测验： 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 H={x|xG,并且xe} 对任意的xH， xe, xee=xx-1 对任意的x,yH， xe, ye, eye, x-1xyx-1x.

Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是什么？定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是GF(pn)=Zp()

定理21.9(可满足性定理)设A是P(Y)的协调子集，则存在P(Y)的解释域U和项解释，使得赋值函数v(A){1}。

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§4 理想与商环一、理想定义14.13：[R;+,*]为环, 若I ,IR,关于+,*运算满足条件:

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陪集例：三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是:

定理15.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0,存在唯一的q(x),r(x)F[x], degr(x)

三、循环群 1.元素的阶定义13.10:设G为群, e是G的单位元，对于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a的阶无限。若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使ak=al，如果a的任意两个幂都不相等,

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五、商群设[H;]是群[G;]的子群，对任意a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H，记为ab(mod H)。

§2 自由代数定义19.7:设X是集合，G是一个T-代数，为X到G的函数,若对每个T-代数A和X到A的函数，都存在唯一的G到A的同态映射,使得=，则称G(更严格的说是(G,))是生成集X上的自由T-代数。X中的元素称为生成元。 A变， 变 变， 也变对给定的 和A，是唯一的.

1.2.2 充要条件高二数学选修 1-1 第一章常用逻辑用语.

第十章群与环主要内容群的定义与性质子群.

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例：循环群的每个子群一定是循环群。证明：设H是循环群G的子群，a是G的生成元。 1.aH 2.aH，因H中每个元素都可以表示成a的幂次形式。设ak是H中幂次最小的正整数。对任意的al H，l=mk+r(0≤r≤k-1) 目标r=0

二、陪集 a,b关于模n同余当且仅当(a-b)被n整除。定义：设[H;]是群[G;]的子群，对任意a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H记为ab(mod H)。定理14.15:[G;]为群,HG,H为G的子群, 当且仅当,对任a,bH,有ab-1H。定理：G上的关于模H同余关系是等价关系。证明:自反对称传递

[a]={x|xG,且xa(mod H)} ={x|xG,且xa-1H} ={ha|hH} 以a为代表元的等价类实质上是a从右边乘H中的每个元素而得到的集合， Ha Ha={ha|hH}，称为H在[G;]中的右陪集。

设[H;]是群[G;]的子群，aG，则 (1)bHa当且仅当ba-1H (2)baH当且仅当a-1bH 定义14.13：设[H;]为群[G;]的子群, 取G中一个固定元素g,用g与H中的每个元素进行乘法运算, 将其结果组成一个集合, 记为gH,即:gH={gh|hH}称它为H的左陪集,同理定义Hg={hg|hH}为H的右陪集。

例：[E;+]是群[Z;+]的子群，求它的所有右陪集。这里E表示偶数全体。例：三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是: H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中H4就是三次交代群A3。现在考察H1的陪集。

e H1=1H1=H1; 2H1=5H1={2, 5} 3H1=4H1={3, 4};H1e =H11=H H12=H14={2, 4};H13=H15={3, 5} 显然2H1H12, 5H1H15, 3H1H13, 4H1H14 这说明左、右陪集一般不等。

引理14.1：如果HG是子群,那么任一gG所构成的陪集|gH|=|H|, |Hg|=|H|。分析:证明基数相等的一种方法是证明两个集合之间存在双射. 证明:定义映射:HHg, (h)=hg 利用群消去律证明是一对一的. 而满射是显然的,因为对任意的hgHg, 有(h)=hg.

引理14.2：H为G的子群,g1,g2G,两个右陪集Hg1与Hg2,则: 或Hg1=Hg2,或Hg1∩Hg2=。证明:利用等价类的性质. 例：设[H;]是群[G;]的子群，则 (1)若baH，则bH=aH (2)若bHa，则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得.

三、拉格朗日定理定理:G是群,H是G的子群,则H在G中的左陪集数与右陪集数相等. 证明：设S和T分别为G的关于H的所有右和左陪集的集合。现在要证明的是|S|=|T|。考虑证明存在S→T的双射。定义: S→T, (Ha)=a-1H。 (1) 是映射。关键是说明当Ha=Hb时, (Ha)=a-1H，(Hb)=b-1H，有 a-1H=b-1H (2) 是一对一的。对任意的Ha,Hb,若(Ha)=(Hb) 即a-1H=b-1H，是否有Ha=Hb. (3)满射

作业 P294 25,27,28 补充：设H1,H2是G的子群,证明H1H2是G的子群当且仅当H1H2=H2H1,其中H1H2={h1h2|h1H1并且h2H2}, H2H1={h2h1|h1H1并且h2H2} 下次介绍拉格朗日定理，正规子群，商群，群同态基本定理。