第二章 随机变量及其分布 关键词： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数

§1 随机变量 常见的两类试验结果： 示数的——降雨量； 候车人数； 发生交通事故的次数… 示性的——明天天气（晴，云…）； §1 随机变量 常见的两类试验结果： 示数的——降雨量； 候车人数； 发生交通事故的次数… 示性的——明天天气（晴，云…）； 化验结果（阳性，阴性）…

中心问题：将试验结果数量化 e s x X=X(e)为S上的单值函数

常见的两类随机变量 离散型的 连续型的

例1.1：掷硬币3次，出现正面的次数记为X. X 0 1 2 3 p 1/8 3/8 3/8 1/8 样本点 TTT TTH THT HTT HHT HTH THH HHH X的值 0 1 1 1 2 2 2 3 X 0 1 2 3 p 1/8 3/8 3/8 1/8

§2 离散型随机变量及其分布 定义：取值至多可数的随机变量为离散型的随机变量。概率分布(分布律)为 …

概率分布律 写出所有可能取值； 写出每个取值相应的概率.

例2.1：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。

解：设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。

p X 1 2 3 p(1-p) (1-p)2p (1-p)3

例2.2：若随机变量X的概率分布律为 求常数c.

解：

几个重要的离散型随机变量 若X的分布律为： X p q 1 (p+q=1,p>0,q>0) 一、0－1分布 若X的分布律为： 随机变量只可能取0、1 两个值 X p q 1 (p+q=1,p>0,q>0) 则称X服从参数为p的0-1分布，或两点分布.

记为 它的分布律还可以写为

对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在S上定义一个服从（0－1）分布的随机变量。 来描述这个随机试验的结果。

检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0－1）分布的随机变量来描述 。

一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0<p<1) 一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0<p<1).若仅考虑事件A发生与否, 定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变量: 来描述这个随机试验的结果。只有两个可能结果的试验，称为Bernoulli试验。

二、二项分布 n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： ,p(A)=p,0<p<1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。 即每次试验结果 互不影响 在相同条件下 重复进行

独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果:正面，反面， 将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验只有两个结果：

从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则每次只有两个结果： 如果是不放回抽样呢？

设A在n重贝努利试验中发生X次，则 并称X服从参数为p的二项分布，记

推导：以n=3为例,设Ai={ 第i次A发生 }

例2.3：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验,从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p．求这批产品能被接受的概率.

解：设A={接受该批产品}。 设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数. 则X～B(10,p)，Y～B(5,p)，且{X=i}与{Y=j}独立。

例2.5：设随机变量

使用Excel表单： 在任一单元格中输入 “=BINOM.DIST(10,100,0.05,TRUE)”， 点“确定”后，在单元格中出现“0.988528”. 这里“TRUE” 可用“1”代替. 计算P(X=10)， “=BINOM.DIST(10,100,0.05, FALSE)”， 点“确定”后，在单元格中出现“0.016715884”. 这里“FALSE” 可用“0”代替.

三.泊松分布(Poisson分布) 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为λ的泊松分布，记

例2.7：设某汽车停靠站单位时间内候车人数 求(1)随机观察1个单位时间，至少有3人候车的概率； (2)随机独立观察5个单位时间，恰有4个单位时间至少有3人候车的概率。

例2.8：某地区一个月内某种疾病的患病率是1/200，设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有1000个成年人，求某月内该社区至少有3人患病的概率。

泊松分布使用Excel表单： 在Excel的任一单元格输入 “=POISSON.DIST(2,5,1)”，回车， 就在单元格中出现“0.124652019”.

超几何分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从超几何分布

例：一袋中有a个白球，b个红球，a＋b＝N,从中不放回地取n个球，设每次取到各球的概率相等，以X表示取到的白球数，则X服从超几何分布。

几何分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数p的几何分布

例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为p，0<p<1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到X只产品，则X服从参数p的几何分布。

巴斯卡分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布.

例：独立重复地进行试验，每次试验的结果为成功或失败，每次试验中成功的概率均为p，0<p<1,试验进行到出现r次成功为止，以X表示试验次数，则X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布。

思考题：一盒中有2个红球4个白球， （1）从中取一球，X表示取到的红球数； （2）采用不放回抽样取3球，Y表示取到的红球数； （3）采用放回抽样取3球，Z表示取到的红球数； （4）采用放回抽样取球，直到取到红球为止，U表示取球次数； （5）采用放回抽样取球，直到取到3个红球为止，V表示取球次数。 上述随机变量X,Y,Z,U,V的分布律是什么呢？

解答：(1)X服从0－1分布，P(X=1)=1/3，P(X=0)=2/3； （2）Y服从超几何分布， （3）Z服从二项分布B(3, 1/3)， （4）U服从几何分布， （5）V服从巴斯卡分布，

§3 随机变量的分布函数 定义：随机变量X，若对任意实数x，函数 称为X 的分布函数. 任何随机变量都有相应的分布函数 ]

例3.1:设 求 的分布函数 p X 1 q

解： 1 q

例3.3：设一物体在A,B两点间移动，A,B之间距离3个单位。该物体落在A,B间任一子区间的概率与区间长度成正比。设它离A点的距离为X ，求X的分布函数。

与离散型随机变量的分布函数不同

§4 连续型随机变量及其密度函数 定义:对于随机变量X的分布函数 若存在非负的函数 使对于任意实数 有： 则称X为连续型随机变量，

与物理学中的质量线密度的定义相类似

思考题： 答：都不一定。例如：

例4.1：设X的密度函数为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3)要使 求k的值。

解：

几个重要的连续型随机变量分布 一、均匀分布 定义：设随机变量X具有概率密度函数 称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X～U(a,b).

例4.2：（1）在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并求 的值； （2）若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数大于0的概率。

解：（1） X为在区间(-1,2)上均匀分布 （2）设10个数中有Y个数大于0， 则：

例4.3：杭州某长途汽车站每天从早上6点（第一班车）开始，每隔30分钟有一班车开往上海。王先生在早上6:20过X分钟到达车站，设X服从（0，50）上的均匀分布， （1）求王先生候车时间不超过15分钟的概率； （2）如果王先生一月中有两次按此方式独立地去候车，求他一次候车不超过15分钟，另一次候车大于10分钟的概率。

P(一次候车时间不超过15分钟，另一次大于10分钟) 6:30 6:50 6:20 6:30 6:45 7:00 7:10

二.指数分布 定义：设X的密度函数为 其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记为

X具有如下的无记忆性：

三、正态分布 定义：设X的概率密度函数为 其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)， 记为

可以验证：

正态概率密度函数

称μ为位置参数(决定对称轴位置) σ为尺度参数(决定曲线分散性)

X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定μ时，σ越大，曲线的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，即σ是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。

正态分布下的概率计算

例4.5：

例4.6 用天平称一实际重量为 的物体，天平的读数为随机变量 ，设 时， （1）求读数与 的误差小于0.005的概率； （2）求读数至少比 多0.0085的概率。

例4.7. 一批钢材(线材)长度 (1)若μ=100，σ=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率； (2)若μ=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问σ至多取何值？

例4.8：设一天中经过一高速公路某一入口的重型车辆数X近似服从 ，已知有25％的天数超过400辆，有33％的天数不到350辆，求

例4.9：一银行服务需要等待，设等待时间X（分钟）的密度函数为 某人进了银行，且打算过会儿去办另一件事，于是先等待，如果超过15分钟还没有等到服务就离开，设他实际的等待时间为Y，(1)求Y的分布函数;(2)问Y是离散型随机变量吗？连续型随机变量吗？

§5 随机变量函数的分布 例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？ 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。

X p 0.2 -1 1 0.5 0.3 例5.1 已知X具有分布律 且设Y=X2，求Y的概率分布。

解：Y的所有可能取值为0,1 即找出(Y=0)的等价事件(X=0)； (Y=1)的等价事件(X=1)与(X=-1)的和事件

例5.2：设随机变量X具有概率密度 求 的概率密度函数。

解：分记X,Y的分布函数为

Y在区间(0,16)上均匀分布。

一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的概率分布的过程为： 关键是找出等价事件。

例5.3 设随机变量X的分布律如下表 Y=2X+1,Z=X2,求Y,Z的概率分布律. X -1 1 2 p

(Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1) 解：Y的可能取值为-1,1,3,5, Z的可能取值为0,1,4, (Y=-1)的等价事件为(X=-1)… (Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1) 故得： Z 1 p 4 Y -1 3 1 5 p

例5.5 设X~U(-1, 2)，求 的概率密度函数

例5.6 设X~N(0, 1)，求 的概率密度函数

x h(y),y y y=g(x)

例5.7 设 求 的概率密度函数

解：

例5.8 设 求 的概率密度函数

更一般的结果见书中例2.5.6.

课件待续!