第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数 6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数 6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换 6.4 离散时间傅里叶变换的性质 6.5 离散傅里叶变换(DFT) 6.6 DFT的性质 6.7 快速傅里叶变换(FFT)简介 6.8 离散系统的频域分析

6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数 第5章指出，如果离散信号f(k)满足 (6.1-1) 若将所有周期为N的复指数信号组合起来，可以构成一个信号集： (6.1-2)

　　N是此信号集的基波周期，其基波频率为2π/N。在此信号集中，任一信号的频率为其基波频率的整数倍，因此它们之间呈谐波关系。与连续时间信号的复指数信号集｛ejnΩt｝不同的是，信号集Φn(k)中只有N个信号是独立的。这是因为任何在频率上相差2π整数倍的复指数序列都是相同的。即 (6.1-3) 　　从而有φ0(k)=φN(k)，φ1(k)=φN+1(k),…,φn(k)=φn+rN(k)，其中r为一个整数。这表明在信号集Φn(k)中当n变化一个N的整数倍时，就得到一个完全一样的序列。

6.1.1 离散时间傅里叶级数 一周期为T的周期信号f(t)，若满足狄里赫利条件，则有

式中， 为基波角频率。这就是连续信号的傅里叶级数。 若设其基波频率为 ，将积分区间由 移到0~T，则上式可写为 (6.1-4) (6.1-5)

DFS的输入是一个数列，而不是时间连续函数。数列通常是以周期TN秒等间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果在周期函数f(t)的一个周期中采集N个样点，则有T=NTN(TN为采样间隔)。这样就得到一个数据序列f(kTN)，可以简记为f(k)。数据的顺序k确定了采样时刻，而采样间隔TN隐含在f(k)中。为了计算数据序列f(k)的傅里叶级数系数，我们对式(6.1 - 4)的符号作如下的演变： 于是得到 (6.1-6)

由上式可知，周期序列f(k)的傅里叶级数仍为一数据序列Fn，其基频f1隐含在序数n中。由式(6 　　由上式可知，周期序列f(k)的傅里叶级数仍为一数据序列Fn，其基频f1隐含在序数n中。由式(6.1－3)可知Fn+rN=Fn，即Fn也是一个周期序列，于是式(6.1－6)可写为 (6.1-7) 　　式中，k=〈N〉表示k只要从某一个整数开始，取足N个相继的整数值即可。例如，k可以由0取到N-1,也可以由2取到N+1，等等。

依据类似的分析思想，可由式(6.1－5)得到 (6.1-8) 　　式(6.1－7)与式(6.1－8)构成离散信号DFS变换对。式(6.1－7)称为DFS正变换，式(6.1－8)称为DFS反变换。 与连续时间信号傅里叶级数的情况一样，Fn称为离散傅里叶级数的系数，也称为f(k)的频谱系数。通常Fn是一个关于n的复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法，可以证明当f(k)是实周期信号时，其离散傅里叶级数的系数满足 (6.1-9)

6.1.2 离散时间周期信号的频谱 图 6.1-1 周期性矩形脉冲序列

(6.1-10) 应用式(6.1 - 7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6.1 - 7)从0到N-1来计算并不方便，因为这个序列是对k=0对称的， 因此，宜选择一个对称区间，于是f(k)的离散时间傅里叶级数系数为

n≠0, ±N, ±2N, … (6.1-11) n=0, ±N, ±2N, …

据式(6.1 - 11)就可画出f(k)的频谱图，但此频谱图的绘制比较困难。为了更方便地绘制f(k)的频谱图，我们采用与连续时间矩形脉冲信号频谱绘制相似的方法， 先分析Fn的包络。 为此，将(6.1 - 11)式中的 用连续变量ω来代换， 即有 (6.1-12) n≠0, ±N, ±2N, …

图 6.1-2 周期矩形脉冲序列的频谱

图 6.1-3 N=10, N1=1时矩形脉冲序列的频谱

6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.2.1 离散时间傅里叶变换 图 6.2-1 离散时间信号

图 6.2 - 1(a)所示fN(k)为一离散时间周期信号，当其周期N趋于无穷大时，周期信号fN(k)就过渡为非周期信号f(k)。 (6.2－1) 据DFS的定义，图 6.2 -1(a)所示离散时间周期信号fN(k)的离散时间傅里叶级数表示式为 (6.2－2) (6.2－3)

由图 6.2-1(a)可知，当 时fN(k)=0，式(6.2-3)可写为 又由于当|k|≤N1时，fN(k)=f(k)，上式又可写为

则有 (6.2－4) 　　式(6.2－4)中，当N→∞时，其频谱间隔 趋于无穷小量dω;而 趋于频率变量ω;N·Fn的极限为ω的函数，记为F(ejω);再考虑到当|k|＞N1时，f(k)=0；因此，式(6.2－4)写为 (6.2－5)

　　式(6.2－5)就称为信号f(k)的离散时间傅里叶变换定义式。与连续时间的情况一样，F(ejω)也称为f(k)的频谱密度函数。它是ω的连续函数。而且是ω的周期函数，其周期为2π。将式(6.2－5)与式(6.2－3)对照可知，非周期信号f(k)的离散时间傅里叶变换F(ejω)与其对应的周期信号fN(k)的离散时间傅里叶级数Fn之间的关系为 (6.2－6)

式中， 。这表明：周期性离散时间信号的傅里叶级数系数就是与其相对应的非周期信号的离散时间傅里叶变换在nω0点的样本；非周期序列的离散时间傅里叶变换就是与其相对应的周期信号离散傅里叶级数系数的包络。 　　将式(6.2－6)代入式(6.2－2)，可得 (6.2－7)

因为 ,或者 ，式(6.2－7)可写为 (6.2-8) 当N→∞时，fN(k)=f(k)，ω0=2π/N→dω,nω0→ω，而上式中的求和将转化为积分。由于F(ejω)及ejωk均是周期为2π的周期函数，因而当式(6.2－8)中的求和在长度为N的区间上进行时，就相应于ω在2π长度的区间上变化，所以式(6.2－8)在N→∞的极限情况下变为 (6.2-9)

式(6. 2－9)表明离散时间非周期信号可以分解成无数多个频率从0～2π连续分布的复指数序列，每个复指数分量的幅度为 式(6.2－9)表明离散时间非周期信号可以分解成无数多个频率从0～2π连续分布的复指数序列，每个复指数分量的幅度为 。这样，对于离散时间非周期信号，我们就得到一对变换式： (6.2-10) (6.2-11)

式(6. 2－10)和式(6. 2－11)就称为离散时间傅里叶变换对。其中，式(6. 2－11)称为傅里叶正变换，式(6 　　式(6.2－10)和式(6.2－11)就称为离散时间傅里叶变换对。其中，式(6.2－11)称为傅里叶正变换，式(6.2－10)称为傅里叶反变换。可以看出此离散时间傅里叶变换定义式与第3章所讨论的连续时间傅里叶变换的定义式是相对应的。只不过这里的频谱密度函数F(ejω)是以2π为周期的周期函数，而F(jω)一般是非周期函数。由于式(6.2－11)是一个无穷级数，因此存在着收敛问题。与连续时间傅里叶变换的收敛条件相对应，如果f(k)绝对可和，即 (6.2-12) 则式(6.2－11)一定收敛，而且一定收敛于关于ω的连续函数F(ejω)。

一般情况下，F(ejω)是一个复函数，即 　　式中，|F(ejω)|是F(ejω)的模，θ(ω)是F(ejω)的相位。 |F(ejω)|及θ(ω)与ω的关系曲线分别称为幅度频谱和相位频谱。 |F(ejω)|为ω的偶函数，θ(ω)为ω的奇函数。

6.2.2 常用信号的离散时间傅里叶变换 1. f(k)=akε(k)， |a|＜1 (6.2－13) 其幅度谱和相位谱示于图 6.2 - 2。从图中可知幅度谱、相位谱都是以2π为周期的周期函数。因而一般只要画出0~2π或-π~π的谱线即可。

2. (0<a<1) 此信号为双边指数序列，并且是k的奇函数。由式(6.2 - 11)可得 (6.2-14)

图 6.2-2 akε(k)及其频谱 (a)0<a<1;(b)-1<a<0

3. 矩形脉冲信号f(k) f(k)的波形示于图6.2－3(a)中，由式(6.2－11)可得 (6.2－15) 　　当N1=2时，F(ejω)如图6.2－3(b)所示。它显然就是图6.1－2所示周期性矩形脉冲的傅里叶级数谱线的包络。

图 6.2-3 矩形脉冲信号及其频谱

4. 单位脉冲序列δ(k) 由式(6.2－11)可得 (6.2-16) 　　δ(k)的频谱为1，这表明单位脉冲信号包含了所有的频率分量，而且这些频率分量的幅度和相位都相同。δ(k)的波形及频谱示于图6.2－4中。

图 6.2-4 单位脉冲信号δ(k)及其频谱

　　5. f(k)=1 　　此信号显然不满足式(6.2－12)所示的绝对可和条件，因而直接应用式(6.2－11)无法求出其频谱。在第3章的讨论中我们已经知道，连续信号1的频谱函数为2πδ(ω)。为此，我们考察频域以2π为周期的均匀冲激串 　，应用式(6.2－10)求其所对应的时域信号，即

由此可见， 对应的离散时间傅里叶变换为 ，因此可得，1的频谱为 ，即 (6.2－17)

图 6.2-5 序列1及其频谱

6. 正负号函数Sgn(k) Sgn(k)可以看成是由连续信号Sgn(t)经抽样得到的离散时间序列，如图6.2－6所示。它同样不满足绝对可和的条件，即无法直接应用式(6.2－11)求得其频谱。

图 6.2-6 正负号序列Sgn(k)

与前面讨论过的双边指数奇函数序列相比较可知，Sgn(k)为上述双边指数序列当a趋于1时的极限。因而可以采用对上述信号的频谱式(6 　　与前面讨论过的双边指数奇函数序列相比较可知，Sgn(k)为上述双边指数序列当a趋于1时的极限。因而可以采用对上述信号的频谱式(6.2－14)求a→1的极限的方法求得Sgn(k)的频谱，即 (6.2－18)

7. 单位阶跃序列ε(k) 对照连续信号ε(t)频谱的求法， 我们将ε(k)表示为下面的形式： 由前面的讨论已经知道：

于是有 (6.2－19)

6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换 　　在第3章关于连续时间信号的傅里叶分析中，对周期信号和非周期信号都统一地用其傅里叶变换F(jω)来表示，而且已导出周期信号的傅里叶变换为 (6.3－1) 　　式中，　　　　，T为周期信号的周期，Fn为周期信号傅里叶级数的复振幅。下面用类似的方法来分析周期序列的离散时间傅里叶变换F(ejω)。

任一离散周期信号均不满足绝对可和的条件，因而直接应用式(6 　　任一离散周期信号均不满足绝对可和的条件，因而直接应用式(6.2－11)无法求得其离散时间傅里叶变换。对离散时间周期信号f(k)，可将其表示为式(6.1－8)所示离散时间傅里叶级数的形式，即 (6.3－2) 式中，Fn为周期序列的离散时间傅里叶级数系数： (6.3－3)

我们已经知道，f(k)=1是一个周期信号，其对应的离散时间傅里叶变换为 图 6.3-1 所示的频谱可表示为 (6.3－4)

图 6.3-1 f(k)=e jω0k的频谱

将F(ejω)代入式(6.2 - 10)可求得 (6.3－5) 从而得到复指数序列e jω0k的离散时间傅里叶变换为 对于复指数序列 ，若设 ，则有 的离散时间傅里叶变换为 (6.3－6)

(6.3－7) 如果将n的取值范围选为n=0~N-1， (6.3－8)

式(6.3-8)就可以改写成更为简单的形式： (6.3－9) 离散时间周期信号f(k)的离散时间傅里叶变换F(ejω)，即有 (6.3－10)

例 6.3-1 求f(k)=cosω0k的离散时间傅里叶变换。 解 由于 (6.3－11) 同样可得 (6.3－12)

图 6.3-2 cosω0k的频谱

例 6.3-2 f(k)为图 6.1 - 1 所示的周期性矩形脉冲序列，它在 的一个周期中可表示为 求其离散时间傅里叶变换。 解 周期序列f(k)的离散时间傅里叶级数系数Fn如式(6.1-11)所示，即 n≠0, ±N, ±2N, … n=0, ±N, ±2N, …

图 6.3-3 周期矩形脉冲序列的频谱(N=10, N1=2)

6.4 离散时间傅里叶变换的性质 1. 周期性 离散时间f(k)的离散时间傅里叶变换F(ejω)对ω来说总是周期性的，其周期为2π。这是它与连续时间傅里叶变换的根本区别。

2. 线性 若 则有 (6.4－1)

3. 若 则据定义式(6.2 - 11)有 (6.4－2(a)) 若f(k)为实序列，则f(k)=f*(k), 于是有 (6.4－2(b)) 此式可进一步表述如下。若

4. 时移和频移 如果f(k)←→ F(ejω)，对f(k-k0)直接应用式(6.2 - 11)求离散时间傅里叶变换并通过变量代换可得时移特性 (6.4－3) 如果对F(ej(ω-ω0))应用式(6.2 - 10)求其傅里叶反变换，利用变量代换就得频移特性 (6.4－4) 例如， (6.4－5) 应用频移性质， 显然有 (6.4－6)

5. 时域和频域的尺度变换 对于离散时间信号f(k)，由于k只能取整数，因而f(ak)中a也只能取整数，而且f(ak)的含义与f(at)根本不同。f(ak)并不表示将f(k)沿k轴压缩1/a。比如当a=2时，f(2k)表示由f(k)的偶次项组成的序列，因而f(2k)的离散时间傅里叶变换与f(k)的离散时间傅里叶变换无直接关系。为了讨论离散序列中与连续信号尺度变换类似的性质， 我们定义一个信号f(m)(k) k是m的倍数 (m为整数) k不是m的倍数 (6.4－7)

f(m)(k)序列相当于将f(k)在k轴扩展而得。据式(6.4－7)，有 (6.4－8) f(m)(k)的离散时间傅里叶变换F(m)(ejω)为

这样就得到离散时间傅里叶变换的尺度变换性质， 即 若f(k)←→ F(e jω), 则有 (6.4－9) 作为特例，当m=-1时， 有 (6.4－10) 尺度变换性质表明，对离散序列，当序列在时域里“拉长”， 其对应的傅里叶变换在频域里就“压缩”了。

图6.4－1　尺度变换特性

6. 频域微分特性 若f(k) ←→ F(ejω)，即有 把上式两端对ω求微分，可得 因此，两端乘j, 就有 (6.4－11)

7. 卷积(和)特性 若f1(k)←→F1(ejω), f2(k) ←→ F2(ejω)，应用与连续时间傅里叶变换卷积特性的证明完全相似的方法，可得时域卷积特性 (6.4－12) 对于频域卷积特性，由于

所以 交换求和及积分次序， 有 上式右端为F1(ejω)与F2(ejω)的卷积。只不过由于F1(ejω)与F2(ejω)都是以2π为周期的周期函数，其卷积结果亦为以2π为周期的周期函数，因而称之为周期卷积。记为 (6.4－13)

图6.4-1 尺度变换特性

8. 差分与迭分(累和) 设f(k) ←→ F(e jω)，根据线性和时移特性可得离散序列傅里叶变换的差分性质， 即 (6.4－14) 离散序列迭分的傅里叶变换为 (6.4 - 15)

当f(k)=δ(k)时， 由于 应用式(6.4 - 15)的迭分特性， 可得 (6.4－16) 这与式(6.2－19)所表示的结果完全相同。

9. 巴塞瓦尔定理 与连续时间信号的情况一样，在离散序列的傅里叶变换中也有类似的巴塞瓦尔定理。 即 若f(k) ←→ F(ejω)，则有 (6.4－17) 对于周期序列，则相应有 (6.4－18)

10. 对偶性 若 则有 　　而对于离散序列，其离散时间傅里叶变换为ω的连续函数F(ejω)，因而在f(k)与F(ejω)之间并不存在相应的对偶性。然而相应的连续信号F(ejt)是一个周期为2π的周期信号，我们可求F(ejt)的连续时间傅里叶级数。在离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶级数之间存在一种对偶关系。下面对此进行分析。

若非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换为F(ejω)， 即 (6.4－19) F(ejω)是周期为2π的频域周期函数，其对应的F(ejt)也是以2π为周期的时域周期函数。我们将周期信号F(ejt)展开为连续时间傅里叶级数，注意到周期T=2π，基波频率 ，于是有 (6.4－20)

将此式与式(6.4－19)对照，显然有 因此有：若f(k)←→ F(ejω)，则 (6.4－21) 　　式中，CFS表示求F(ejt)的连续时间傅里叶级数系数。这就是离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶级数之间的对偶性。

例 6.4-1 已知一周期为2π的连续时间周期信号f(t)的傅里叶级数系数为 解 由题可知，Fn可看作是一个离散时间脉冲序列。其离散时间傅里叶变换如式(6.2 - 15)所示，即为 ， 因此， 依据对偶关系， 就有 (6.4－22)

如果将对偶性的讨论应用于离散时间傅里叶级数， 则可得到与连续信号傅里叶变换相对应的对偶性。 将周期序列f(k)的傅里叶级数系数表示为F(n)， 则有 (6.4－23) 如果把上式中的k与n对换， 则有 (6.4－24) n换为-n, 则得 (6.4－25)

上式表明，离散序列F(k)的离散时间傅里叶级数系数为 。 上述结论可记为 DFS 若f(k)←→F(n)，则有 (6.4－26) 这一对偶性意味着：离散时间傅里叶级数的每一个性质都有其相应的对偶性质。这与连续时间傅里叶变换的情况一样。 比如，对于下式所示性质： (6.4－27) 则与其对偶的性质为 (6.4－28)

6.5 离散傅里叶变换(DFT) 　　现在的问题是如何在傅里叶分析中应用数字计算机。对连续时间信号来说，为了得到正、反傅里叶变换，无论在时域或频域都需要对连续函数进行积分运算，而且其积分区间都要包括从-∞到+∞的范围。显然，要在数字计算机上完成这一运算是不可能的。为此，必须把时域及频域连续函数改换为离散数据，而且必须把计算范围由无限范围收缩为有限区间。这样，就需要对上述的傅里叶变换对进行修改，使之适应数字计算机计算。其修改过程可用图6.5－1作简要说明。

图 6.5-1 产生离散傅里叶变换对的图解说明

6.5.1 离散傅里叶变换的引入 假定f(k)是一个有限长序列，其长度为N，即在区间0≤k≤N-1以外，f(k)为零。将f(k)以周期为N延拓而成的周期序列记为fp(k)， 则有 (r为整数) (6.5-1) 上式还可写为

符号((k))N表示将K域序列以周期N延拓。为了便于记述，我们定义矩形脉冲序列 GN(k)： (6.5－2) 于是可以将周期序列fp(k)与有限长序列f(k)的关系表示为 (6.5－3) (6.5－4)

周期序列fp(k)的离散时间傅里叶级数表示式为 (6.5－5) (6.5－6) 如果将NFn表示成Fp(n),并令 ， 则上两式可改写为 (6.5－7) (6.5－8)

式中，常数系数1/N置于DFS的正变换或反变换式中，对DFS变换无任何实质影响。 如果将周期序列Fp(n)在主值区间表示为F(n), 0≤n≤N-1，由于以上两式的求和范围均为0~N-1，在此区间内fp(k)=f(k)，因此，“借用”离散傅里叶级数的形式可以得到 0≤n≤N-1 (6.5 - 9) (6.5 - 10) 0≤k≤N-1 式中:

式(6.5 - 9)和式(6.5 - 10)所定义的变换关系就称为离散傅里叶变换。它表明，时域的N点有限长序列f(k)可以变换为频域的N点有限长序列F(n)。很显然，DFT与DFS之间存在以下关系： (6.5－11) (6.5－12) 与连续时间傅里叶变换的情况类似，DFT的正、反变换之间存在一一对应的关系。或者说，IDFT［F(n)］是惟一的。对此可作如下证明。

由于 m=k+MN (M为整数) m≠k+MN 所以，在区间0~N-1有 0≤k≤N-1 由此可见式(6.5 - 10)定义的离散傅里叶反变换是惟一的。 可记为 (6.5－13)

例 6.5-1 有限长序列f(k)=G4(k)，设变换区间N=4、8、16时，试分别求其DFT。

当N=16时 n=0,1,…,15 由此可见f(k)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。

设序列f(k)的长度为N，据式(6.2-11)可求得f(k)的离散时间傅里叶变换 (6.5－14) 而f(k)的离散傅里叶变换为 (6.5－15) 0≤n≤N-1 (6.5－16)

图 6.5-2 F(n)与F(ejω)的关系

6.5.2 DFT的计算 由DFT的定义式(6.5－9)及(6.5－10)可知，其计算过程可写成矩阵形式(为了简便，式中WN的下标N未写)，即 (6.5－17) (6.5－18)

讨论kn表的生成。设 r, l均为整数 (6.5－19) 式中，r是kn被N除得的商数，l是余数。所以有 (6.5－20)

由于 所以有 (6.5－21) 　　式(6.5－21)表明kn值对WknN的影响等于l值对WlN的影响，因而在进行DFT计算时，用l代替kn并不影响计算结果。从计算DFT的角度来看，我们可以认为l与kn是等效的。这个结论可以记为 (6.5－22)

表 6.1 按模 8 计算的kn值

6.6 DFT的性质 　　我们知道，离散傅里叶变换是由连续傅里叶变换导出的，因而它们之间有着密切的对应关系。离散傅里叶变换的许多性质与连续傅里叶变换的性质非常相似。掌握这些性质，对于进行DFT运算和研究它的快速算法很有帮助。为了记述方便，我们将DFT对记为 式中，f(k)和F(n)均为N点序列。

1. 线性 若 f1(k) ←→ F1(n), f2(k)←→ F2(n)，则 (6.6－1) 式中，a, b为任意常数。

2. 对称性 若 f (k) ←→ F(n), 则 (6.6－2) 此性质可以由ＩＤＦＴ式(6.5 - 10)互换变量k和n而证得。

3. 时移特性 有限长序列f(k)的时移序列f(k-m)，从一般意义上讲，是将序列f(k)向右移动m位。即将区间0~N-1的序列f(k)移到区间m~N+m-1。 由于DFT的求和区间是0到N-1，这就给位移序列的DFT分析带来困难。 我们这里所讨论的时间位移并不是指上述一般意义上的位移，而是指循环位移(亦称圆周位移)。所谓循环位移，实质上是先将有限长序列f(k)周期延拓构成周期序列fp(k)，然后向右移动m位得到fp(k-m)，最后取fp(k-m)之主值。这样就得到所谓的循环位移序列fp(k-m)GN(k)。一般可记为

图 6.6-1 有限长序列的循环位移

DFT分析中的时间循环位移特性告诉我们： 若f(k)←→ F(n)，则 (6.6－3) 上述结论可直接对位移序列f((k-m))NGN(k)求DFT得到。

4. 频移特性 若f(k)←→ F(n)，则 有 (6.6－4) 频移特性表明，若时间序列乘以指数项 , 则其离散傅里叶变换就向右循环位移l单位。这可看作调制信号的频谱搬移， 因而也称为调制定理。

5. 采用ＤＦＴ的IDFT 若f(k)←→ F(n)，则 有 (6.6－5) 这个性质的意义在于，利用DFT正变换的算法既可计算其正变换，又可计算其反变换，这就为DFT的计算带来了程序通用化的方便。

6. 时域循环卷积(圆卷积) 我们知道，卷积在系统分析中起着非常重要的作用。两序列f1(k)和f2(k)(长度分别为L和M)的卷积得到长度为L+M-1的另一个序列， 即 k=0，1, 2， …, L+M-2 (6.6－6)

这就是所谓的线卷积。而这里所讨论的是循环卷积，也称圆卷积。循环卷积的含义为：两长度均为N的有限长序列f1(k)和f2(k)，其循环卷积结果仍为一长度为N的序列f(k)。循环卷积的计算过程与线卷积相似，只不过求和式中的位移项f(k-m)应按循环位移处理。因而，有限长序列f1(k)与f2(k)的循环卷积可记为 (6.6－7)

图 6.6-2 线卷积与圆卷积比较

在DFT中，循环卷积(圆卷积)具有如下的性质： 若f1(k)←→ F1(n)，f2(k)←→ F2(n)，则有 (6.6－8) 对原序列应作如下处理：对长度分别为L和M的有限长序列f1(k)和f2(k)用补零的方法将其开拓成长度为N≥L+M-1的增广序列 和

于是，增广序列 与 的循环卷积就得到长度为N≥L+M-1的序列 , 与原序列线卷积的结果相同。 对于增广序列的循环卷积显然可以应用DFT处理。 图 6.6-3 应用DFT求序列f1(k)与f2(k)的线卷积

7. 频域循环卷积(频域圆卷积) 若f1(k)←→ F1(n)，f2(k)←→ F2(n)，则有 (6.6－9) 式中： (6.6－10)

8. 奇偶虚实性 设f(k)为实序列，f(k) ←→ F(n)，令 (6.6－11) 式中，Fr(n)是F(n)的实部，Fi(n)是F(n)的虚部。由DFT的定义式 可写出 (6.6－12) 于是有 (6.6－13) (6.6－14)

由此可见，实序列的离散傅里叶变换为复数， 其实部为偶函数， 虚部为奇函数。 若实序列f(k)为k的偶函数， 即 上面讨论的性质可用如下的表示式说明：

即，对于实数序列，其变换式的实部为n的偶函数，虚部为n的奇函数。 由此可知，F(n)与F(-n)呈共轭关系， 即 (6.6 - 17) 由于F(n)具有周期性，故F*((-n))NGN(n)=F*(N-n)，因此，式 (6.6-17)可写为 (6.6 - 18) 式(6.6 - 18)的共轭关系反映其模相等， 幅角(arg)反号，即 (6.6－19) (6.6－20)

图 6.6-4 实序列DFT的|F(n)|对称分布示例

若f(k)为纯虚序列，它的DFT F(n)也可分解为实部和虚部之和， 仍以式(6 若f(k)为纯虚序列，它的DFT F(n)也可分解为实部和虚部之和， 仍以式(6.6 - 11)表示。容易证明，Fr(n)是n的奇函数， 而Fi(n)是n的偶函数。即纯虚序列的离散傅里叶变换为复数， 其实部为奇函数, 虚部为偶函数。同样可证，虚偶函数的DFT是虚偶函数，而虚奇函数的DFT为实奇函数。因此, 对于纯虚序列有 (6.6－21)

9. 巴塞瓦尔定理 若f (k)←→ F (n)，则有 (6.6－22) 如果f(k)为实序列，则有 (6.6－23) 巴塞瓦尔定理表明，在一个频域带限之内， 功率谱之和与信号的能量成比例。

6.7 快速傅里叶变换(FFT)简介 在6.5节，我们已经引出了如下的DFT和IDFT定义式： (6.7－1) (6.7－2)

6.7.1 DFT矩阵WE及其因子化 当N=8，kn值以模8运算，据定义式有：

显然，这样的方程式用矩阵表示更为简明方便。一般情况下， 我们可将DFT的定义式写成矩阵的形式: (6.7－3) (6.7－4) (6.7－5) 它们都是列矩阵。WE称为DFT矩阵 .

它们都是列矩阵，WE称为DFT矩阵，当N=8时 (6.7－6)

在分析一个系统时，. 往往是确定的，因而WE矩阵的关键是矩阵中 在分析一个系统时， 往往是确定的，因而WE矩阵的关键是矩阵中 的指数排列次序。为此，我们将WE矩阵中各元素 的指数单独组成矩阵E，使问题更加简单明了。当N=8时 (6.7－7)

同理，IDFT也可写成矩阵形式。 (6.7－8) 设N=22=4，则有 n=0, 1, 2, 3 式中，

令n的排序为0， 2， 1， 3， 则可写出其矩阵表示式为 可见，在n按0, 2, 1, 3排序情况下，DFT矩阵为 (6.7－9)

每个子矩阵可以写成下面的形式：

矩阵WE可以写为

若令 则 (6.7－10) 稀疏矩阵

6.7.2 基2FFT概述 对于N=22=4，据DFT定义式(6.7 - 1)有 (6.7－11)

利用DFT矩阵因子化的结论式(6.7 - 10)，可将上式写成 (6.7－12)

列矩阵F1(k)： (6.7－13) 算出F1(0)要有一次复数乘法和一次复数加法。这是显然的: 　　算出元素F1(1)也用一次复数乘法和一次复数加法。但计算F1(2)时，只需要一次复数加法，这是因为W04=-W24，因此

利用中间矢量F1(k)就可进一步完成式(6.7-12)的计算： (6.7－14) 元素F2(0)可用一次复数乘法和一次复数加法确定：

采用类似的方法，可以导出N=2l的FFT算法。也就是将N=2l点的DFT矩阵分解为l个矩阵，而在每个分解矩阵中引入尽可能多的零元素，使乘法次数减至最少。由分析可知，N=2l的FFT所需运算次数与N=22的FFT所需运算次数有着同样的规律。一般来说，对于N=2l点的FFT算法需要 次复数乘法和N·l=N·lbN次复数加法运算，而直接计算却需N2次复数乘法和N·(N-1)次复数加法。如果计算时间只与乘法次数成正比，那么，直接算法的计算时间对FFT算法的计算时间之比有下列近似的关系： (6.7－15)

　　当N较大时，FFT算法得到的改善相当可观。例如，N=211=2048时，如果直接完成这些乘法运算需要6小时，而采用ＦＦＴ算法只需1分钟即可完成。时间压缩为原运算时间的1/300。 　　为了直观，FFT算法的计算过程往往用信号流程图表示。例如，当N=22的FFT算式(6.7－12)可以画成图6.7－1所示的信号流程图。图中，左边的一列结点代表数据矢量f(k)，第二列结点代表式(6.7－13)所计算的中间矢量F1(k)，最后一列结点对应于矢量F2(k)。而F2(k)与我们要求的F(n)有着直接关系，只要改变F2(k)的元素排列顺序就可得到F(n) 。在此，我们姑且定义F2(k)=F(n)。那么在图6.7－1中就可看出由f(k)到F(n)的FFT计算过程。一般来说，如果N=2l，则有l个计算数组。

这个信号流程图可解释如下，进入每一个结点的实线代表由上一列结点来的数据的传输路径，传输方向为线上箭头方向。每一条传输线带来前一列的一个结点量值，这个量值乘以传输系数Wp，然后把相乘后的结果输入到这一列的结点上。系数W1标在传输路径靠近箭头处。当没有这个系数时，就意味着Wp=1。从两条传输路径进入同一结点的两结果要相加起来。例如，对于结点F1(2)有

图 6.7-1 N=22的FFT信号流程图

表 6.2 自然顺序与二进制逆序(N=8)

6.8 离散系统的频域分析 6.8.1 基本信号ejωk激励下的零状态响应 对一任意的周期离散信号f(k)，利用离散傅里叶级数可以将其表示为指数信号 的线性组合，即 (6.8－1) 式中： (6.8－2)

同样，利用离散时间傅里叶变换可以将任一非周期离散信号f(k)表示为指数信号ejωk的线性组合，即 (6.8－3) 式中： (6.8－4) 因此，与连续信号的情况一样，我们将指数信号ejωk称为基本信号。指数信号 实质上与基本信号ejωk一样，它只不过是当 时的特例。

设稳定离散LTI系统的单位响应为h(k)，则据上一章的讨论可知， 系统对基本序列e jωk的零状态响应为 (6.8－5) 式中的求和项正好是h(k)的离散时间傅里叶变换，记为H(ejω)，即 (6.8－6) 称H(ejω)为传输函数或频率响应。 (6.8－7)

一个稳定的离散LTI系统，对ejωk这一基本信号的零状态响应是基本信号ejωk本身乘上一个与时间序数k无关的常系数H(ejω)， 而H(ejω)为系统单位响应h(k)的离散时间傅里叶变换。H(ejω)一般是ω的连续函数， 而且是复函数， 即 (6.8－8) 称为系统的幅频响应或幅度响应，φ(ω)称为系统的相频响应或相位响应。 设输入周期正弦序列为 (6.8－9)

应用欧拉公式，可将f(k)写成 f(k)通过一个频响函数为H(ejω)的离散LTI系统的稳态响应可表示为 (6.8 - 10) 式中：

由于|H(ejω)|为ω的偶函数，而φ(ω)为ω的奇函数，因而式(6.8 - 10)可写为 (6.8－11)

例 6.8-1 已知描述一离散LTI系统的差分方程为 若输入正弦序列 求该系统的稳态响应ys(k)。

　　解　应用上一章时域分析的方法，可以求出系统的单位响应h(k)，从而得到其频率响应H(ejω)。然而，应用离散时间傅里叶变换的有关性质，也可直接从系统差分方程得到其频率响应。若将方程中的输入f(k)用单位序列δ(k)代换，则响应y(k)即为h(k)，原方程可改为 对上式两端求离散时间傅里叶变换，从而得到

则有 由输入正弦序列的表达式可知，其ω=π/2，所以有 则该离散系统的稳态响应为

若输入正弦序列改 , 即ω改为π，则据 从而其输出的稳态响应为

6.8.2 一般信号f(k)激励下的零状态响应 该系统的零状态响应yf(k)为 (6.8－12) 应用离散时间傅里叶变换的有关性质，上式在频域中可以表示为 (6.8－13)

对一个离散LTI系统而言，其输出y(k)与输入f(k)间的N阶线性常系数差分方程一般具有如下形式： (6.8－14) 式中，ai和bi都是常数。若系统是稳定的，对上式两端求离散时间傅里叶变换，并应用离散时间傅里叶变换的时移性质， 可以得到 (6.8－15) 从而得到该系统的频率响应 (6.8－16)

例 6.8-2 描述一稳定离散LTI系统的差分方程为 试求其单位响应h(k)。 　　解　由式(6.8－16)可直接写出该系统的频率响应 　　欲求的单位响应h(k)为H(ejω)的离散时间傅里叶反变换。为此，利用第4章所讨论的部分分式展开法，将H(ejω)写为

据单边指数序列的变换式(6.2－13)可得系统单位响应 若给该系统施加信号f(k)=(0.5)kε(k)，则该系统的零状态响应yf(k)据式(6.8-13)即可求得。由于

则有 同理，将Y(ejω)展开成部分分式有

利用式(6.2 - 13)的变换对， 可得零状态响应 若f(k)是一个有限长序列，系统的h(k)也是一个有限长序列，则在满足由循环卷积求线卷积的条件下，它们的DFT满足 此时，由DFT利用FFT算法可以求得系统的响应y(k)。