第三章 DFT 离散傅里叶变换

引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 实现。

傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换---傅氏变换 t

时域信号 频域信号 连续的 非周期的 对称性: 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。

二.连续时间、离散频率傅里叶变换---傅氏级数 t ---

*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的

三.离散时间、连续频率的傅氏变换 ---序列的傅氏变换 x(nT) T -T 2T t --- ---

时域信号 频域信号 离散的 非周期的 周期的 连续的

四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT x(nT)=x(n) NT t T 2T 1 2 N n 0 1 2 3 k

由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。 时域信号 频域信号 离散的 周期的

导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的： 对上式进行抽样，得：

，代入 因 是离散的，所以 应是周期的。 而且，其周期为 ，因此 应是N点的周期序列。

又由于 所以求和可以在一个周期内进行，即 这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。

二. 的k次谐波系数 的求法 1.预备知识

同样，当 时，p也为任意整数，则 亦即 所以

的表达式 将式 的两端乘 ，然后从 n=0到N-1求和，则：

的DFS

通常将定标因子1/N 移到 表示式中。 即：

3.离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入，则： 正变换： 反变换：

4. 的周期性与用Z变换的求法 周期性：

用Z变换求 ： 的一个周期内序列记作 ,而且 = , 0n N-1 0 , 其他n 对 作Z变换，

可见， 是Z变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。 1 2 3 4 5 6 7 (N-1) k=0 如果 ，则有 可见， 是Z变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。

§ 3-1-2 DFS的性质 一.线性 如果 则有 其中，a,b为任意常数。

二.序列的移位 如果 则有：

证明： 令i=m+n,则 n=i-m。 n=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m 所以 * 和 都是以N为周期的周期函数。

三.调制特性 如果 则有

证明： 时域乘以虚指数( )的m次幂，频域搬移m,调制特性。

四.周期卷积和 1.如果 则： 证明从略。

2.两个周期序列的周期卷积过程 （1）画出 和 的图形； （2）将 翻摺,得到 可计算出：

m 计算区 0 1 2 3

（3）将 右移一位、得到 m 可计算出：

计算区 m 0 1 2 3

（4）将 再右移一位、得到 可计算出：

（5）以此类推，

n 1 3 4 3 1 计算区

3.频域卷积定理 如果 ，则 证明从略。

§ 3-2 DFT--有限长序列的离散频域表示 一.预备知识 1.余数运算表达式 如果 ， m为整数；则有： 如果 ， m为整数；则有： 此运算符表示n被N除，商为mN，余数 。

例如： (1) (2)

2. 先取模值，后进行函数运算; 而 视作将 周期延拓。

周期序列 是有限长序列x(n)的周期延拓。 = , 0nN-1 0 , 其他n 有限长序列x(n)是周期序列 的主值序列。

定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。 x(n) 如： n N-1 ... n N-1 定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。

同样， 周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。

从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。 四.从DFS到DFT 从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。 因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变换(DFT)的定义:

, 0kN-1 , 0nN-1 或者：

练习题

参考答案

实际选择

解

§ 3-2-2 DFT的性质 一.线性性 1.两序列都是N点时 如果 则有：

2. 和 的长度N1和N2不等时， 选择 为变换长度,短者进 进行补零达到N点。

二.序列的圆周移位 1.定义 一个有限长序列 的圆周移位定义为 这里包括三层意思： 先将 进行周期延拓 再进行移位 最后取主值序列：

n N-1

n 周期延拓 左移2

n 取主值 N-1

2.圆周位移的含义 由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主 值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同 值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列 一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆 上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时， 看到就是周期序列 : 。

2 1 n=0 3 N=6 4 5

四.圆周卷积和 1.时域卷积定理 设 和 均为长度为N的有限长 序列，且 ， 如果 ，则 N N

证明： 相当于将 作周期卷积和后， 再取主值序列。 将 周期延拓： 则有：

在主值区间 ，所以： N 同样可证： N

2.时域圆周卷积过程 N-1 n

m m m m

最后结果： 2 3 1 N-1 n N

五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积 1.线性卷积 的长度为 它们线性卷积为

的非零区间为 两不等式相加得 也就是 不为零的区间. 例如: 1 n 1 2 1 n 1 2 3

m -1 -2 -3 1 2

1 2 m m 3 3 2 2 1 1 n 1 2 3 4 5

2.用圆周卷积计算线性卷积 圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列. 的长度为 , 的长度为 ,先构造长度均为L长的序列, 即将 补零点;然后再对它们进行周期延拓 ，即 所以得到周期卷积：

可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓,其周期为L。由于 长度 ,所以周期L必须满足: 又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列,所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列,即

计算题 有限长为 N 的两序列 求:

3.4 频域抽样理论 一.如何从频域抽样恢复原序列 1.两种抽样 时域抽样: 3.4 频域抽样理论 一.如何从频域抽样恢复原序列 1.两种抽样 时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。 频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得X(k)就是序列傅氏变换的采样。所以DFT就是频域抽样。

2.由频域抽样恢复序列 一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为 由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(z)在单位圆上N等份抽样,就得到

对 进行反变换,并令其为 ,则

1 , m=n+rN , 0 , 其他m 可见,由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。 也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。

3.频域抽样不失真的条件 当x(n)不是有限长时，无法周期延拓； 当x(n)为长度M,只有NM时,才能不失真的恢复信号,即

二.由X(k)表达 X(z)与 的问题——内插公式 序列x(n),（0nN-1）的Z变换为 由于 ，所以

上式就是由X(k)恢复X(z)的内插公式,其中 称作内插函数。

2.内插函数的特性 将内插函数写成如下式: 。

令分子为零, 得 所以有N个零点。令分母为零,得 为 一阶极点, Z=0为(N-1)阶极点。但是极点 与一零点相消。这样只有(N-1)个零点,抽样点 称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不 为零,其他(N-1)个抽样点均为零。

3.频率响应 单位圆上的Z变换即为频响, 代入 4.内插函数的频率特性

可见, 既是 的函数又是k的函数,其可表示为

时, ，所以

当N=5时, 的幅度特性 和相位特性 如下图： 其中，

N=5

由于i与k均为整数,所以i k 时 这就是说,内插函数在本抽样点 上 , 而在其他抽样点上

5. 与X(k)的关系 由于 的特性可知,在每个抽 样点 上其值为1, 故 就精确等于X(k)。即

而在抽样点之间, 等于加权的内 插函数值叠加而得。

利用DFT对连续时间信号的逼近 一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差 1.混叠现象 为避免混叠,由抽样定理可知，须满足 其中, 为抽样频率; 为信号的最高频率分量； 或者 其中,T为抽样间隔。

2.频谱泄漏 在实际应用中，通常将所观测的信号 限制在一定的时间间隔内,也就是说， 在时域对信号进行截断操作,或 称作加时 间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定 理可知，时域相乘,频域为卷积,这就造成拖 尾现象,称之为频谱泄漏.

n n n

3.栅栏效应 用DFT计算频谱时，只是知道为频率 的整数倍处的频谱。在两个谱线之间 的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察 景象一样，故称作栅栏效应。 补零点加大周期 ，可使F变小来提高 辨力，以减少栅栏效应。

二、DFT与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定 1.连续时间非周期信号傅氏变换对 2. 连续时间周期信号傅氏级数变换对

3.DFT变换时:

4.用DFT计算非周期信号的傅氏变换 用DFT计算所得的频谱分量乘以T， 就 等于频谱的正常幅度电平；用IDFT计算非周 期信号的傅氏反变换，再乘以 就得到所需 信号的正常幅度电平。所以,从时间到频率, 再从频率到时间，整个过程总共乘了 幅度电平未受到影响。

用DFT计算所得的频谱分量乘以T的理由： 设

用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换乘以 的理由

5.用DFT计算周期信号的傅氏级数 用DFT计算出的频谱分量乘以 1/N等 于周期信号的频谱的正常幅度电平。而用 IDFT的计算结果乘以N才等于周期信号正常幅度电平。