第3章 空间力系的简化与平衡 §3–1 空间力系的简化 §3–2 空间力系的平衡 §3–3 物体的重心 §3–4 平行力系中心

§3–1 空间力系的简化 力线平移定理：作用于刚体上的任一个力可以平移到刚体上任一点O，但除该力外，还需加上一个附加力偶，其力偶矩矢等于该力对于O点的力矩矢。 力向一点平移 F － F M 力向一点平移的结果 : 一个力和一个力偶,力偶的力偶矩等于原来力对平移点之矩.

将每个力向简化中心平移 空间力系的简化结果为一主矢和一主矩。 1、空间任意力系向一点的简化 主矢为 Fn F2 F2 Fn F1 F1 M2 Mn F1 F2 F3 Fn 主矢为 空间力系的简化结果为一主矢和一主矩。 与简化中心无关 主矩为 与简化中心有关

主矢和主矩的计算 主矢—通过投影法 根据它们，可得到主矢的大小和方向 先计算得到主矢在各轴上的投影

2、空间任意力系的简化结果分析 1） 合力 当 最后结果为一个合力. 合力作用点过简化中心. 当 时， 1）   合力 当 最后结果为一个合力. 合力作用点过简化中心. 当 时， 最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为

合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和. 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和. （2）合力偶 当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。 （3）力螺旋 当 ∥ 时 力螺旋中心轴过简化中心

当 成角 且 既不平行也不垂直时 力螺旋中心轴距简化中心为 （4）平衡 当 时，空间力系为平衡力系

§3–2 空间力系的平衡 1.空间力系的平衡条件 （7.1） 平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件。 §3–2 空间力系的平衡 平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件。 1.空间力系的平衡条件 任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢 和对任一确定点O的主矩 全为零。 即 （7.1）

§3–2 空间力系的平衡 2.空间力系的平衡方程 z z Di y (7.2) y x x O 注意： §3–2 空间力系的平衡 2.空间力系的平衡方程 在O点建立Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方程可写为6个独立的代数方程： x y z (7.2) O Di x y z 注意： （1）解题时，矩心O可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投 影轴、取矩轴也可不一致，但要保证6个方程是独立的。

3.特殊的空间力系及独立平衡方程个数 O （2）巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只含一个未知量，避免 解联立方程组。 （3）任意空间力系，独立的力的投影方程只有3个，但矩方程最多可有 6个。 3.特殊的空间力系及独立平衡方程个数 （1）空间汇交力系 ——3个独立方程 O ∵各力交于O点 平衡方程仅有 即 ——3个独立方程

（2）空间力偶系 平衡方程仅有 即 O （3）空间平行力系 —3个独立方程 x y z O 设各力平行于z 轴，则有 平衡方程仅有

4.空间力系平衡方程的应用 例 题 1 F2 F3 F1 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N， 例 题 1 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N， 求：各力在坐标轴上的投影 4 m 2. 5m 3m x y z F1 F2 F3 解： F1 、F2 可用直接投影法

对F3 应采用二次投影法 4 m 2. 5m 3m x y z F1 F2 F3

α α 例 题 2 z D z D E E C B C B P P A A x x y y 已知： ，求：起重杆AB及绳子的拉力。 例 题 2 已知： ，求：起重杆AB及绳子的拉力。 解：取起重杆AB为研究对象，建坐标系如图。 x y z A B C D E α P x y z A B C D E α P

列平衡方程： 解得：

例 题 3 均质长方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球铰链固定，角B处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角B在x,z方向的运动，EC为钢索，将板支持在水平位置上，试求板在A，B处的约束力及钢索的拉力。 A C D x y z E B 4m 2m 1.以板为对象画出受力图. 2.列出板的平衡方程 空间任意力系，6个独立方程。 解法一

(拉力) A C D x y z E B 4m 2m P

解法二 分别取AC，BC，AB，l1，l2，z 为矩轴： (拉力) A C D x y z E B 4m 2m P  l1 l2

刚体系统平衡问题的求解思路 1.求解思路 （1）根据所求的未知约束力，先对所涉及的刚体进行受力分析，找出其中的已知主动力、未知约束力（要求的和不必求的）。分析未知力个数及独立平衡方程个数。 （2）若缺少方程，再对未知约束力涉及的其他刚体（或刚体系）取分离体，引入新的未知力并分析增加的平衡方程个数。直到未知力个数与平衡方程个数相等。 （3）对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意各方程的独立性），求出全部待求未知力。 2.关于独立的平衡方程个数 求解所用到的全部方程必须是相互独立的。 注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程全部成立，则整体的平衡方程为恒等式，不再提供独立的方程。 3.注意利用矩形式的平衡方程，可通过选择适当的矩心使得方程中尽量 少出现未知力。

§3–3 物体的重心 1、重心的概念及计算公式 物体重力： O C P △Vi x y z xc yc zc yi zi xi §3–3 物体的重心 1、重心的概念及计算公式 物体重力： O C P Pi Mi △Vi x y z xc yc zc yi zi xi 物体重力：空间平行力系 重心：物体重力的合力 的作用点 图示物体，△Vi 体积的重力为 Pi 物体总重量 P 为

物体重心的坐标为 O C P Pi Mi △Vi x y z xc yc zc yi zi xi 对于均质物体 对于连续物体

2、工程中常用的确定重心的方法 （1）、简单几何形状的物体 查重心表、或直接计算 （2）、复杂几何形状的物体 组合法 （3）、实验法