2.1矢量的概念与矢量的线性运算 一、矢量的概念 矢量： 既有大小又有方向的量. 矢量表示： 或 M1M2 矢量的模： 矢量的大小. 或 | | 单位矢量： 模长为1的向量. 或 零向量： 模长为0的向量.
自由矢量： 不考虑起点位置的矢量. 相等矢量： 大小相等且方向相同的矢量. 负矢量： 大小相等但方向相反的向矢量. 向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的矢量.
二、向量的加减法 [1]. 加法： （平行四边形法则） （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向
向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） 进一步： 任意有限个向量加法的法则 将已知向量平移，使得后一个向量的起点与前一个向量的终点重合，则以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点构成的向量为它们的和向量。若正好封闭，则和向量是零向量。
[2] 减法 两个向量的和与差，实际是以已知两向量为两相邻边的平行四边形的两条对角线的长。
三、矢量与数的乘法 [1]. 定义
[2]. 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 定理
证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得
按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
四、共线或共面的矢量 1.定义：把一组矢量平行移到同一个起点后，如果它们在同一条直线或同一个平面上，这组矢量就叫做共线的矢量或共面的矢量。 2.两个矢量的夹角:把两个矢量 和 移到同一个起点时,所夹的不超过 的角,叫做这两个矢量的夹角。 3.定理1：如果已知两个矢量共线，且其中一个不妨设为 ，不是零矢量，那么存在一个数 ，使得另一个矢量 可以表示为数 与矢量 的乘积，即 推论：两个矢量 与 共线的充要条件时存在不同时为零的数 和 使得它们的线性组合
4.定理2：如果矢量 共面 ，且其中至少有两个矢量（不妨设为 ）不共线，那么存在两个数 使得第三个矢量 可表示为 。 5.推论:3个矢量 共面的充要条件是存在不同时为零的数 ，使得它们的线性组合
例1 化简 解:原式
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. 作业：