第十章 线性动态电路暂态过程的时域分析 1 动态电路的暂态过程 6 一阶电路的三要素法 2 电路量的初值 7 阶跃函数和冲激函数 1 动态电路的暂态过程 6 一阶电路的三要素法 2 电路量的初值 7 阶跃函数和冲激函数 3 一阶电路的零输入响应 8 阶跃响应和冲激响应 4 一阶电路的零状态响应 9 二阶电路的暂态过程 5 一阶电路的全响应

动态电路 1、含有动态元件的电路，电路方程是时域微分方程。 2、动态电路包括稳态和暂态两种过程。 3、稳态：电路参数不再随时间发生变化（如直流稳态），或随时间做周期性变化（如正弦稳态）的稳定状态。 4、暂态：电路由一种稳态转变为另一种稳态，期间所经历的过渡状态。 5、换路：电路的结构、参数发生变化（如开关的断开和闭合，元件参数的改变等）。 6、动态电路的初始条件：电路发生换路的时刻（通常t=0）为初始时刻，t=0-为换路前的瞬时，t=0+为换路后的瞬时，t=0+时刻的电路参数为电路的初始条件。 7、动态电路暂态过程的分析：时域分析法（常系数微分方程）、频域分析法（拉普拉斯变换）。

换路：在动态电路中，当出现电路被接通、断开，电路连接线路的改变或者电路参数的变化，电源的突然变化等等一系列的情况。 建立新的 初始状态 并开始 暂态过程 换路 最初的 稳态 t→-∞ 最终的 稳态 t→+∞ t→t0_ 换路前 瞬间 t→t0+ 换路后 瞬间 (动态电路中电路变量在换路前后的变化情况)

直接跃变 电阻电路 动态电路 换路 稳态 暂态 稳态 稳态 稳态 无过渡过程

图示电路换路后的KVL方程为 式中 代入上式，得 初始值（初始条件或初始状态）u(0+)、i(0+) 、q(0+) 、 (0+) 换路之后，电路变量将从其初始值开始变动。 时域分析法(time domain analysis) 以时间为变量列写电路的微分方程并确定初始条件，通过求解微分方程获得电压、电流的时间函数(变化规律)。

Ns 一阶动态电路 包含一个动态元件，可用一阶常微分方程描述的电路。有以下两种形式： 一阶RC电路和一阶RL电路 一阶RC电路 一阶RL电路

一阶RC电路 C Rs + _ Us(t) RC串联 C Rs Is(t) _ + RC并联

一阶RL电路 L Rs + _ Us(t) RL串联 Rs Is(t) _ + L RL并联

其它各种形式的一阶动态电路都可以等效为上述四种电路之一。并且可以用如下的一般方程形式来描述： 其中X(t)为电路中的未知变量（输出或响应信号），A、B、C为常系数，Y(t)为电路的输入（激励）信号，t0为电路（换路）初始时刻，X(t0)为未知变量的初始（状态）值。

1、电容电压uC和电感电流iL初始值的确定 设在线性电容上电压和电流参考方向相同，则有 电容电荷的初始值可表示为 式中等号右端第一项积分表示t=0-时的电荷q(0-), 故 若在t=0瞬间电容电流有界，则上式积分项必为零，于是得到 换路定律 应用对偶原理有：

2、除uC 、 iL之外各电压电流初始值的确定 依据电路的结构约束和元件约束，在t=0+瞬间有： KVL KCL 电阻元件 或 电感元件 电容元件 在 t=0+ 瞬间 电容相当于电压源； 电感相当于电流源。 可用分析直流电路的各种方法来求解。

图(a)所示电路，在t<0时处于稳态， t=0时开关接通。求初始值iL(0+) 、 uC(0+) 、 u1(0+) 、 uL(0+)及 iC(0+) 。 开关在接通之前，电路是直流稳态。于是求得 由换路定律得 根据上述结果，画出t=0+时的等效电路如图(b)。对其列节点电压方程： 根据KVL和KCL求得

t>0 一阶电路(first-order circuit)：可用一阶常微分方程描述的电路。 零输入响应(zero-input response)：仅由储能元件原始储能引起的响应。 1、RC电路的零输入响应 t>0 根据KVL列出t>0时电路的微分方程：

根据换路定律 特征方程 RC电路的零输入响应 通解 特征根 代入 初值

…  5 4 3 2  t  对放电时间的影响 时间常数 (单位s) 可见uC和iC的衰减速率取决于RC之积 。令 … 0.007U0 0.018U0 0.05U0 0.135U0 0.368U0 U0 uC(t)  5 4 3 2  t  对放电时间的影响  对放电时间的影响——经过 35 的时间,放电基本结束。

时间常数 电容储能越多 C越大  越大 R越大 电阻消耗功率越小 放电时间越长 放电过程中的能量传递 电阻所消耗的能量 电容的原始储能 RC电路的零输入响应 放电时间越长 放电过程中的能量传递 电阻所消耗的能量 电容的原始储能

t>0 2、RL电路的零输入响应 换路定律 KVL方程 特征根 特征方程 通解 时间常数(单位:s)

 =L/R 换路时电感两端可能出现很高的瞬间电压 电感储能越多 L越大  越大 R越小 电阻消耗功率越小 放电时间越长

图示电路，已知US=35V，R1=5，R1=5k，L=0 图示电路，已知US=35V，R1=5，R1=5k，L=0.4H。t<0时电路处于直流稳态。 t=0时开关断开。求t>0时的电流iL及开关两端电压uk 。 iL的初始值及时间常数分别为 断开含电感的电路时，开关可能承受很高的电压。 根据 得 再由KVL求得 t0+时，

电路中动态元件的初始状态（储能）为零，电路响应由非零输入（激励）信号作用产生，称之为零状态响应。 10.4 一阶电路的零状态响应 电路中储能元件的原始储能为零［即uC(0+)=0，iL(0+)=0］，仅由独立电源作用引起的响应称为零状态响应(zero-state response)。 电路中动态元件的初始状态（储能）为零，电路响应由非零输入（激励）信号作用产生，称之为零状态响应。 类似于零输入响应，对于零状态响应也包括两种形式的电路：RC电路和RL电路。

1)当t<0时，k闭合Is短路，Uc(0_)=0； 1、RC电路的零状态响应 iR iC C R Is _ + Uc(t) K 1)当t<0时，k闭合Is短路，Uc(0_)=0； 2)当t>=0时，k断开，Is作用于电路并对电容充电， Uc(0+)= Uc(0_)=0；

iR iC C R Is _ + Uc(t) K 换路后瞬间，iR=UC(0+)/R=0，IS 全部流向电容对它充电，以后随着UC的增加，iC减小，iR增大，t→∞时，电路达到稳态，电容相当于开路，此时iC=0，iR=IS，UC=RIS 。

此为一个非齐次微分方程，解的形式为： 齐次微分方程通解+非齐次微分方程特解。

最后的零状态响应为： 第一项为特解项，取决于输入（激励）信号； 第二项指数项为通解项，与电路结构以及元件参数有关。 电路中将特解称为强制分量或稳态分量， 通解称为自由分量或暂态分量。

1)当t<0时，k断开，iL(0_)=0； 2、 RL电路的零状态响应 L R + _ Us K iL(t) 1)当t<0时，k断开，iL(0_)=0； 2)当t>=0时，k闭合，Us作用于电路并对电感充磁， iL(0+)= iL(0_)=0；

L R + _ Us K iL(t) 换路后瞬间，UR=iL(0+) R=0，US 全部通过电感对它充磁，以后随着iL的增加，UR增大，UL减小，t→∞时，电路达到稳态，电感相当于短路，此时UL=0，UR=US，iL=US/R。

此为一个非齐次微分方程，解的形式为： 齐次微分方程通解+非齐次微分方程特解。

最后的零状态响应为： 第一项为特解项，取决于输入（激励）信号； 第二项指数项为通解项，与电路结构以及元件参数有关。 电路中将特解称为强制分量或稳态分量， 通解称为自由分量或暂态分量。

3、一阶电路在正弦电源作用下的零状态响应 设图示电路中，uS 为正弦电压源： 其中 u 是开关接通时刻的 uS 相位，称为接入相角。 t>0 时, 电路的微分方程和初始值分别为 其通解iL的组成 特解 通解

  (1) 求特解iLp(t) 根据正弦量的相量表示的线性性质和微分性质 解得 RL串联电路的阻抗 表示为正弦量

  (2) 求对应的齐次微分方程的通解iLh (t) 其通解为 对应的非齐次微分方程的通解 +

  (3) 确定积分常数 令t=0+ 由换路定律 iL、iLp和iLh的波形 解得 强制分量 代回通解公式 自由分量 稳态分量 暂态分量

一阶电路在正弦电源激励下，其零状态响应与接入角的关系 i =u - = ±/2 i =u - = 0或i =u - =  i =  直接进入正弦稳态 出现较大的极值

全响应: 由独立源和储能元件的原始储能共同作用引起的响应。 10.5 一阶电路的全响应 全响应: 由独立源和储能元件的原始储能共同作用引起的响应。 电路中的响应由动态元件的非零初始状态（储能）以及非零输入（激励）信号共同作用产生，称之为完全响应。 类似于零输入响应、零状态响应，完全响应也包括两种形式的电路：RC电路和RL电路。

1)当t<0时，k闭合Is短路，Uc(0_)=U0； 1、RC电路的全响应 iR iC C R Is _ + Uc(t) K 1)当t<0时，k闭合Is短路，Uc(0_)=U0； 2)当t>=0时，k断开，Is作用于电路并对电容充电， Uc(0+)= Uc(0_)=U0；

此为一个非齐次微分方程，解的形式为： 齐次微分方程通解+非齐次微分方程特解。 最后的完全响应为： 第一项为强制分量或稳态分量， 第二项为自由分量或暂态分量。

或者可以将完全响应分解为如下形式： 第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 由以上两种分解可以看出： 一般零输入响应中没有强制分量（因为没有输入激励作用），而零状态响应中既含有强制分量，又含有自由分量。

1)当t<0时，k断开，iL(0_)=i0； 2、 RL电路的全响应 L R + _ Us K iL(t) 1)当t<0时，k断开，iL(0_)=i0； 2)当t>=0时，k闭合，Us作用于电路并对电感充磁， iL(0+)= iL(0_)=i0；

此为一个非齐次微分方程，解的形式为： 齐次微分方程通解+非齐次微分方程特解。 最后的完全响应为： 第一项为强制分量或稳态分量， 第二项为自由分量或暂态分量。

或者可以将完全响应分解为如下形式： 第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 由以上两种分解可以看出： 一般零输入响应中没有强制分量（因为没有输入激励作用），而零状态响应中既含有强制分量，又含有自由分量。

求全响应 uC (0-) =U00 仅uC (0-)作用 仅us作用 零输入 零状态 + 全响应可分解为

全响应的分解 全响应＝零输入响应＋零状态响应 全响应＝强制分量＋自由分量 从响应与电路状态的关系看： 从响应与激励的关系看： 两种分解的关系 全响应、零状态响应和零输入响应中都含有自由分量； 零输入响应中只有自由分量； 零状态响应中一般既含强制分量，也含自由分量。 两种分解的关系

10.6 求一阶电路暂态过程解的三要素公式 一阶电路的一般形式 时间常数 响应 激励 统一表示为 诺顿等效 戴维南等效 KVL方程初始条件 KCL方程 初始条件 统一表示为

通解为 令t=0+ 代入 求暂态解的三要素公式：利用响应的初始值 f(0+) 、时间常数 和特解 fp(t) (通常用强制分量作为特解)来求响应 f(t) 的方法。 经典法：通过列写微分方程求解暂态电路的方法。

求解任意的待求电压或电流的三要素公式 设已知uC或iL，统一用f(t)表示。欲求某元件的电压或电流表示为， 如右图，可得 t=0+ t 代回原式得

图(a)所示电路中，电感电流i(0-) =10A ， L=(1/6)H。求t 0时电流 i 的变化规律。 i为零输入响应，其稳态值i()=0 。由换路定律得 用图(b)计算电感两端的等效电阻R。列回路电流方程： 解得 等效电阻 时间常数 由三要素法公式

图(a)所示电路t<0时处于稳态。 t=0时开关接通。求t>0时电压uC和电流i。 计算直流稳态电压的电路如图(b)所示，列节点电压方程： 将两个独立电源置零，得到计算等效电阻的电路如图(c)所示。 时间常数 由三要素公式得电容电压 电阻电流

图(a)所示电路中t<0时处于稳态。设US1=38V，US2=12V，R1=20 ，R2=5 R3=6 ，L=0 图(a)所示电路中t<0时处于稳态。设US1=38V，US2=12V，R1=20 ，R2=5 R3=6 ，L=0.2H，求t0时的电流iL 。 由图(a)计算换路前的电感电流 计算直流稳态电流的电路如图(b)所示。列回路电流方程： 令US1= US2=0，画出计算等效电阻R的电路如图(c)所示。 得 由三要素公式

电路如图(a)所示，C=0.001F， uS为正弦电压源，幅值为90V，角频率为50rad/s。当为uS正的最大值时，将开关接通，开关接通前电容电压为10V。求开关接通后电压u的变化规律。 该电路当t时，达到正弦稳态。利用相量模型[图(b)]计算正弦稳态分量up(t)。列节点电压方程：

时间常数 由三要素公式，得

将例题10.8中正弦电压源改为斜变电压源uS(t)=90t V，且在 t=0 时将开关接通，其它条件不变，重求电压 u(t) (t 0)。 改变独立电源，电容电压初始值和时间常数保持不变，即 (b) 化简电路如图(b)所示, 图中uoc=60tV，R=20。则有 强制分量为 uoc=60t 代入原微分方程 代入三要素公式

10.7 阶跃函数和冲激函数 1、单位阶跃函数 等效为 u(t)的波形 阶跃函数 单位阶跃函数 若幅值为1

— 2、单位脉冲函数 延迟单位阶跃函数 脉冲强度 二者相减得到脉冲函数 单位脉冲：强度等于1的脉冲。 阶跃发生在t=t0时刻 构造一般的脉冲函数 单位脉冲：强度等于1的脉冲。

3、单位冲激函数 单位脉冲函数的宽度趋于零 冲激强度 单位冲激函数定义 延迟单位冲激函数

4、单位冲激函数的性质

1、阶跃响应与单位阶跃特性 10.8 阶跃响应和冲激响应 阶跃响应： 电路在阶跃电源作用下的零状态响应。 单位阶跃特性：线性电路的阶跃响应与阶跃电源的幅值之比，表示为s(t)。 图示电路中uC (0-)=0 ，以uC (t)为响应的单位阶跃特性为 s(t)无量纲 单位阶跃特性还可能具有电阻或电导的量纲。

单位阶跃特性 列KVL方程 uR=Ri， i =CduC / dt uS =US  (t) 零状态 其通解

求解RC一阶电路的单位阶跃特性s(t) 对应的齐次方程为 通解为 s() =1 t uS() = uC() = US

求解RC一阶电路的单位阶跃特性s(t) 令t=0+ 单位阶跃特性 代回原式 引用 (t) ，拓展s(t)的定义域至<t<

利用单位阶跃特性s(t)求解一阶电路 s(t)= uC /US uS =US  (t) +

延迟阶跃响应 若uS=US  (t-t0) RC电路的阶跃响应 脉冲响应 将uS换成矩形脉冲

脉冲响应波形 + = uC表示为分段函数 脉冲响应的电压波形

2、冲激响应与单位冲激特性 冲激响应: 电路在冲激电源作用下的零状态响应。 单位冲激特性: 线性电路的冲激响应与电源的冲激强度之比，以h(t)表示。 单位冲激特性 电路中 uC(0-)=0 响应为uC(t) 单位冲激特性h(t)在量值上等于单位冲激电源 (t)引起的零状态响应。

冲激响应和单位冲激特性的计算 uS是宽度为 、幅度为/的矩形脉冲电压 分解为 根据叠加定理 0 推广得

由齐性定理， 如果： (其中ψ/R的单位为Vs/Ω=As=Q，令Q=ψ/R。)

一阶电路冲激响应的另一种方法 求解RC一阶电路的单位冲激响应 先计算冲激电源在储能元件中产生的初始值； 再求t>0时的零输入响应。 iS =Q (t) 列KCL方程 冲激电流源作用下的RC电路 两边计算定积分 uC有限

求解RL一阶电路的单位冲激响应 uS = (t) 对偶原理 冲激电流源作用下的RC等效电路 uS = (t) 对偶原理 含冲激电源的复杂电路，可应用诺顿定理或戴维南定理先将复杂电路化简为图示两电路，然后再按上两式求初始值。

图(a)所示电路，设 求冲激响应iL 。 将除电感以外的电路用戴维南电路等效，如图(b)所示。其中 uS的冲激强度为12Wb。所以电流的初始值为 时间常数为 电感电流的冲激响应为 (t>0)

在图示电路中，以电流源iS为激励，以电压uC为响应时，已知其单位阶跃特性s(t) =2(1-e-5t)  (t)。t<0时电容已充电， uC(0-)=3V。 分别在iS =2 (t)A和 iS =0.2C   (t)（C表示电荷的单位即库仑）两种情况下求全响应iC (t)。 先求零输入响应 , 只有自由分量，其函数形式与s(t)中的自由分量相同 再求零状态响应u"C (1)令iS =2 (t)A作用，阶跃响应为 故全响应为

上式在t=0处连续， uC(t) =(4-e-5t) V ,(t0)。对此式求导计算电流iC ： (2)令iS =0.2C   (t)作用，求冲激响应u "C 。 先求单位冲激特性h (t) 冲激响应u "C 为 全响应

uC(0+)=5V， uC在 t=0 处不连续，故上式定义域不含t=0。为求 上式表明，在t=0瞬间电容充入电荷Q=0.2C，致使电压跃变， uC(0-)=3V从跃升至uC(0+)=5V 。

10.9 二阶电路的暂态过程 二阶电路: 用二阶微分方程描述的电路(二阶电路一般含有两个储能元件)。 设图示电路中，t<0时，uC(0_)=UC0，iL(0_)=0，t=0时开关接通。 t>0时由KVL得 将元件方程 代入上式，求得描述uC的微分方程 二阶常系数线性齐次微分方程的两个初始条件为，

描述二阶电路的二阶微分方程 零输入 特征方程 特征根为 令

二阶电路的暂态过程与特征根的关系 1、 ，即电路参数满足 p1、p2互异 非振荡 (过阻尼)过程 通解为 解得

2、 ，即电路参数满足 p1、p2共轭 通解 振荡(欠阻尼)过程

p1，p2为相等负实根 3、 ，即电路参数满足 通解为 临界电阻 解得 t O uC i uL u,i 临界状态

图(a)所示电路，设R=20，L=0.1H，C=20F 。分别求 iL 的单位阶跃特性 s(t) 和单位冲激特性 h(t) 。 图10.47 例题10.12 图(a)所示电路，设R=20，L=0.1H，C=20F 。分别求 iL 的单位阶跃特性 s(t) 和单位冲激特性 h(t) 。 设iS =  (t)A,由KCL ， KVL得 代入 代入已知数 特征方程 特征根

iL自由分量形式为 又iLp=1(激励为 (t))，通解为

可写为 激励为 (t) 图10.47 例题10.12 由单位阶跃特性与单位冲激特性的关系得

本章小结 首先介绍动态电路、稳态和暂态、换路定律以及动态电路的时域分析方法； 然后介绍一阶动态电路的零输入响应、零状态响应、完全响应以及三要素分析法； 接着介绍阶跃响应和冲激响应； 最后介绍二阶动态电路的暂态过程。