第一节 向量组及其线性组合 一、n维向量的概念 二、 n维向量的表示方法 三、向量组的线性组合

一、n维向量的概念 定义1 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.

例如 n维实向量 n维复向量 第n个分量 第1个分量 第2个分量

二、n维向量的表示方法 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如： 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如：

注意 １.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； 　 ２.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； ３.当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.

当 n ≤ 3 时, n 维向量可以把有向线段作为几何形象,但当 n > 3 时, n 维向量就不再有这种几何形象. 叫做 维向量空间． 叫做 维向量空间　 中的 维超平面．

三、向量组的线性组合 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如

向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组．

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 结论：含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应.

定义2 线性组合

　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示．

定理1 定义3 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价．

从而

定理2　向量组B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1, a2, …,am线性表示的充分必要条件是矩阵A= (a1,a2, …,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2, …,am, b1,b2,…,bl)的秩，即R(A)=R(A,B). 推论　向量组A：a1, a2, …,am与向量组B：b1,　b2,…,bl等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B), 其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.

例1 设 证明：按定理1，证矩阵A=(a1,a2,a3)与B=(A,b)的秩相等.

定理3

四、小结 　　向量组及其线性表示

作业： P109　1；2

第二节 向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 二、线性相关性的判定

一、线性相关性的概念 定义4 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．

注意 1. 对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关.

二、线性相关性的判定 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有

故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使

因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　 则有 即 能由其余向量线性表示. 证毕.

线性相关性在线性方程组中的应用 结论

定理4 下面举例说明定理的应用.

例１ 解

例２ 解 分析

证

定理5

说明

问题： 已知向量组①a1,a2,…,as与② b1,b2,…,bt，且①中每个向量不能由②线性表示， ②中每个向量也不能由①线性表示。

四、小结 1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） 2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 　　1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） 　　2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）

作业： P110　3；4

思考题

思考题解答 证明　（１）、（２）略． （３）充分性 必要性

第三节 向量组的秩 一、最大线性无关向量组 二、最大无关组的等价定义 三、矩阵与向量组秩的关系

一、最大线性无关向量组 定义5 最大线性无关向量组 最大 无关组

二、最大无关组的等价定义

三、矩阵与向量组秩的关系 定理6

结论 说明

事实上

依据向量组的秩的定义及定理6可知前面介绍的定理1、2、3、4中出现的矩阵的秩都可以改为向量组的秩，例如定理2可叙述为 定理2’ 向量组b1,b2,…,bl能由向量组a1, a2, …,am线性表示的充分必要条件是 R(a1, a2, …,am)=R(a1, a2, …,am, b1,b2,…,bl) 这里记号R(a1, a2, …,am)既可理解为矩阵的秩，也可以理解成向量组的秩.

定理3’ 由定理3即得R(B)≤R(A)

四、小结 １．最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性． ２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 　　最大性、线性无关性． ２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 　　矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 　　　　　　＝矩阵行向量组的秩 ３． 关于向量组秩的一些结论： 　　定理及推论． ４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 　　将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 　　阵，然后进行初等行变换．

作业： P111　13(2)；14(2)；15

第四节 线性方程组的解的结构 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的性质

一、齐次线性方程组解的性质 １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 （1） 若记

则上述方程组（1）可写成向量方程 （2） 若 为方程 的 解，则

　　称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．

２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解．

二、基础解系及其求法 １．基础解系的定义

其中 为任意常数.

２．线性方程组基础解系的求法 　　设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关． 于是 可化为

现对 取下列 组数：

依次得 从而求得原方程组的 个解：

定理7 设m×n矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为n-r. 当R(A)=n时，方程组(1)只有零解，没有基础解系（此时解集S只含有一个零向量）. 当R(A)=r＜n时，方程组(1)的基础解系含有n-r个向量.

例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 解

例2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换

即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量.

所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为

例3 证

三、非齐次线性方程组解的性质 １．非齐次线性方程组解的性质 证明

证明 证毕．

２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 　　其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.

３．与方程组 有解等价的命题 线性方程组 有解

４．线性方程组的解法 （1）应用克莱姆法则 （2）利用初等变换 特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 　　特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题． （2）利用初等变换 　　特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法．

例4 求解方程组 解

例5 求下述方程组的解 解

所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组

求基础解系 令 依次得

故得基础解系 求特解 所以方程组的通解为

另一种解法

则原方程组等价于方程组

所以方程组的通解为

四、小结 １．齐次线性方程组基础解系的求法 　　（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形

　　（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有 个线性无关的解向量． 由于 令

故

为齐次线性方程组的一个基础解系. ２． 线性方程组解的情况 ( ) n B R A = ( ) n B R A < =

作业： P112　21(2)；27(2)；28

思考题

思考题解答