第三章 行列式 第一节 线性方程组与行列式 第二节 排列 第三节 n阶行列式 第四节 余子式与行列式展开 第五节 克莱姆规则

第一节 线性方程组与行列式 一. 初等代数回顾 二. 线性方程组 三. 后续内容介绍 1. 二阶行列式与二元一次方程组 一. 初等代数回顾 1. 二阶行列式与二元一次方程组 2. 三阶行列式与三元一次方程组 二. 线性方程组 三. 后续内容介绍

二阶行列式与二元一次方程组 二阶行列式的定义: 二阶行列式与二元一次方程组的解的关系: 当二元一次方程组 的系数行列式 时, 它的解为:

三阶行列式与三元一次方程组 三阶行列式的定义: 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 当三元一次方程组 的系数行列式 时, 它的解为:

其中:

线性方程组 由若干个含有n个未知数的一次方程构成的方程组称为n元线性 方程组. 线性方程组中方程的个数未必等于未知数的个数. n元线性 方程组的一般形式是: (1) 其中, x1, x2,,xn表示未知数, aij, bi (i=1,2,,m, j=1,2, ,n)表示已知 的常数, 称为aij未知数的系数, 称bi为常数项. 方程组(1)的一个解是指这样的一组数(k1, k2,,kn), 用它们依 次代替方程组(1)的未知数x1, x2,,xn后, (1)中的每一个方程都成为 恒等式.

后续内容介绍 线性方程组及其解法是线性代数的基本内容之一, 同时线性代数的其它内容, 像矩阵、线性空间等, 都与它有着十分密切的内在联系。 关于线性方程组需要解决的问题有: 线性方程组是否有解?如果有解, 它有多少个解? 如何求出这些解? 在初等代数中我们已经知道, 二、三元线性方程组可用系数行列式判断是否有唯一解, 而且在有唯一解时还可用行列式表示出这个唯一的解。 对一般的n元线性方程组是否也可用行列式判断它是否有唯一的解并用行列式表示出这个唯一的解? 回答是肯定的。本章将首先把二、三阶行列式的定义推广到一般的n阶行列式并讨论其性质, 然后给出线性方程组有唯一解的条件及这个唯一解的求解公式。在下一章我们将讨论一般的线性方程组的解法。

第二节 排列 一. 基本概念 1. 排列: n个数码1,2,…,n的一个排列是指由这n个数码组成的一个有序组. n个数码的不同排列共有n!个. 2. 反序数: 在一个排列里, 如果一个较大的数排在一个较小的数的前面, 则称这两数构成一个反序. 一个排列中所有反序的个数称为这个排列的反序数. 例如排列213的反序数是1, 而排列231的反序数是2. 3. 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶)数, 则称这个排列为奇(偶)排列. 例如213是奇排列, 231是偶排列. 4. 对换: 把一个排列中的数码i和j的位置互换, 而其它数码的位置保持不变则得到一个新的排列. 对排列进行的这样一种变换称为一个对换, 并用符号(i, j)表示.

第二节 排列 二. 基本性质 定理1. 设i1i2…in和j1j2…jn是n个数码的任意两个排列, 那么总可以由i1i2…in经过一系列对换而得到j1j2…jn. 定理2. 每一个对换都改变排列的奇偶性. 定理3. 当n2时, n个数码的奇排列与偶排列的个数相等, 各为n!/2.

第三节 n阶行列式 一. 定义 1. n阶行列式 2. 转置行列式 二. n阶行列式的性质 三. 例题

一. n阶行列式的有关定义 1.n阶行列式: 用符号 表示的n阶行列式是指 代数和 , 其中求和号是对n个 数码的所有的排列求和, 共有n!项; (j1j2…jn)表示排列j1j2…jn的反序数. 或者说, n阶行列式是所有可能的取自不同行不同列上的 n个元素的乘积 的代数和, 当j1j2…jn是偶排列 时, 这一项的符号为正, 否则这一项的符号为负. 例1

一. n阶行列式的有关定义 2.转置行列式: 把n阶行列式 的行变为列(或者列变为行)后得到的行列式 称为原行列式D的转置行列式.

二. n阶行列式的性质 引理3.3.1 设i1i2…in和j1j2…jn都是n个数码的排列,则 是n阶行列式中的一项, 这一项的符号是 命题3.3.2 行列式与它的转置行列式相等. 命题3.3.3 交换行列式的两行(或两列)的位置, 则行列式的绝对值不变而符号改变. 推论3.3.4 如果一个行列式的两行(或两列)完全相同, 则这个行列式等于零. 命题3.3.5 把一个行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一个数 k, 等于用k乘这个行列式. 推论3.3.6 一个行列式中某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边. 推论3.3.7 如果一个行列式中有一行(列)的所有元素都是零, 那么这个行列式等于零. 推论3.3.8 如果一个行列式有两行(列)的对应元素成比例, 那么这个行列式等于零.

二. n阶行列式的性质 命题3.3.9 设某行列式的第i行的所有元素都是两项之和, 则: 对于列也有类似的性质. 命题3.3.10 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一数后加到另一行(列)的对应元素上, 行列式不变. 例2,例3

三. 行列式例题 例1 根据行列式的定义计算: 例2 计算行列式: 例3 计算n阶行列式: 参阅行列式的性质

第四节 余子式与行列式展开 一. 基本定义 二.按行(列)展开行列式 三. 例4,5,6 1. 子式, 例1 2. 余子式, 例2 3. 代数余子式, 例3 二.按行(列)展开行列式 1. 定理3.4.1 2. 定理3.4.2 3. 定理3.4.3 三. 例4,5,6

一. 基本定义 1.子式: 在行列式D中任意选定k行和k列, 位于这些行和列的相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式. 例1. 在四阶行列式 中, 取定第二行和第三行, 第一列和第四列. 则位于这些行列相交处的元素就构成D的一个2阶子式:

一. 基本定义 2.余子式: n(n >1)阶行列式D的某一元素aij的余子式Mij是指在D中去掉aij所在的第i行和第j列后所得到的n–1阶子式. 例2. 在四阶行列式 中a23的余子式是:

一. 基本定义 3.代数余子式: 设Mij是n(n >1)阶行列式D的元素aij的余子式, 则称Aij=(–1)i+jMij是aij的代数余子式. 例3. 在四阶行列式 中a23的代数余子式是:

二.按行(列)展开行列式 定理3.4.1 如果n(n >1)阶行列式D的第i行(或第j列)中的元素除aij外都是零, 则D=aijAij=(–1)i+j aij Mij. 定理3.4.2 n(n >1)阶行列式D等于它的任一行(列)的所有元素与它们的对应的代数余子式的乘积的和. 即 : 定理3.4.3 n(n >1)阶行列式D的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零. 即, 当ij时 :

三.例题 例4 计算行列式: 例6 计算行列式: 例5 计算行列式: 参阅: 行列式的性质, 按行(列)展开行列式

第五节 克莱姆规则 本节将给出当方程的个数与数的个数相等时线性方程组有唯一解的条件, 并用行列式表示出这个唯一的解. 一.线性方程组的系数行列式 设给定了一个有n个未知数n个方程的方程组: (1) 由它的系数构成的n阶行列式 称为方程组(1)的 系数行列式.

二.线性方程组有唯一解的条件(克莱姆规则) 定理3.5.1(克莱姆规则) 线性方程组(1)当它的系数行列式D0时有且仅有一个解: 其中, Dj是把行列式D中的第j列元素用方程组(1)的常数项 b1, b2, … , bn 代替后得到的行列式. 例 解线性方程组