素数分布定理 与 系列猜想证明 谭善光
内容 （1）素数分布定理 （2）Lemoine猜想 （3）Legendre's conjecture （4）Mills‘ 常数计算 （5）Andrica's conjecture
素数分布定理（主定理） 存在一个有限正整数n0，使得任何大于2n0 +1的奇数2n+1可以表示为一个奇素数p与一个偶数semiprime 2q之和，其中q小于 ，p大于 。
证明思路（１－２） （1）对于任何一个大于15的奇数2n+1，取小于 的一组奇素数{q}，则此奇数可以表示为一个奇素数q的两倍和一个奇数d=2n+1-2q之和。 （2）如果所有奇数d都是合数，则任一个奇数d可表示为一个奇数与小于 的此组奇素数{q}中某个不等于q的奇素数之乘积，从而可形成一组线性代数方程。并且此线性代数方程组的期望解，就应该是此组奇素数{q}。
证明思路（３－４） （3）通过分析上述线性代数方程组及其解的性质，以及通过变换矩阵和证明三个引理，可以证明：存在一个有限正整数n0，当n>n0时，此线性代数方程组的实际解，并不等于此组奇素数{q}。 （4）由此矛盾，证明了“所有奇数d都是合数”这一假设不成立。因此，当n>n0时，至少有一个奇数d不是合数，而是大于 的奇素数。从而证明了素数分布定理。
定义一组奇素数 (1) 定义小于n的奇素数集合P (2) 定义2n+1的奇素数因子集合Ps (3) 定义集合Q=P\Ps={q1,q2,…,qm} (4) 取Q中小于 的前r个元素, 定义集合Qr ={q1,q2,…,qr} ，r满足不等式 qr< <qr+1.
定义线性代数方程组 (1) 2qi+di=2n+1, i=1,2,…,r (2) 将di表示为di=aijqj_{i} (3) 因此有:2qi+aijqj_{i}=2n+1 (4) 令xi=qi,则有2xi+aijxj=2n+1。 可以证明：aij＞ 。
交换行列，变换矩阵 2xi+aijxj=2n+1 2xi+ai,i-1xi-1=2n+1 由此线性代数方程组的特点，通过交换行列，可变换为三种形式之一的矩阵。每种矩阵均包含至少一个如下子矩阵（第一种形式） 2xi+ai,i-1xi-1=2n+1 因此，不失一般性，将以此矩阵进行分析。
变换矩阵的第一种形式 定义：a1=a2,1,a2=a3,2,…,ar=a1,r
变换矩阵的第二种形式 其中，子矩阵As为第一种形式。
变换矩阵的第三种形式 其中，各子矩阵Ai为第一或第二种形式。
引理1--线性代数方程组的解
引理2--当n趋于无限大时 可以证明： 因此有 由于xi不能是2n+1的素因子，所以不能为整数。
引理3--当n为有限值时（1） 定义误差： 则有 对于任意小于 的正值 ,存在一个正整数 , 使得当 时，至少有一个下列不等式成立 对于任意小于 的正值 ,存在一个正整数 , 使得当 时，至少有一个下列不等式成立 因此当 时，必至少有一个xi不等于qi。
引理3--当n为有限值时（2） S={n|xi-qi=0 for i=1,2,…,r} n0=max S 定义集合 由上所述 >0，因此正整数 n0=max S 为有限值。当n>n0时，必至少有一个xi不等于qi。
素数分布定理证明 S={n|xi-qi=0 for i=1,2,…,r} 由“所有奇数d都是合数”这一假设，应有 为无限集合。但由引理(1-3)，S为有限集合，二者矛盾。因此，“所有奇数d都是合数”这一假设不成立。所以当n>n0时，必至少有一个di为大于 的奇素数。
Lemoine猜想 定理（ Lemoine猜想）：对于大于5的任意奇数，可以表示为一个奇素数与一个偶数semiprime之和。 证明：当n>n0时，可由主要定理推出，其余可验证。由计算，n0=19875。
Legendre's conjecture 定理：两个连续自然数的平方之间至少有一个素数。证明： 令 因此有 由主要定理得 和
Mills‘ 常数计算 定理：两个连续自然数的立方之间至少有三个素数。 第一个在m^3和m^2(m+1)之间， 第二个在m^2(m+1)和m(m+1)^2之间， 第三个在m (m+1) ^2和(m+1)^3之间。 证明：与上一定理证明类似。
Andrica‘s conjecture 定理：两个连续素数的平方根之差小于1。 证明：由主要定理可得定理：当n>n0时有 其中 。令 ，因此有
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