利用平方差公式因式分解 利用和的平方公式因式分解 利用差的平方公式因式分解 綜合運用 自我評量

在第一章，我們學過乘法公式： （a＋b）（a－b）＝a2－b2，（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2 如果我們將上述三個公式反過來寫成： a2－b2＝（a＋b）（a－b），a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2 這樣的寫法相當於將一個a、b 的二次多項式因式分解。 乘法公式中的a、b 可代表任何文字或數字，所以我們可以利用這些乘法公式進行因式分解。

如果一個多項式可以寫成a2－b2的形式，就可以利用平方差公式a2－b2＝（a＋b）（ a－b）進行因式分解。 例如：要因式分解x2－9，可以先將x2－9 化為x2－32，再利用平方差公式分解為（x＋3）（x－3）。

平方差公式：a2－b2 ＝（a＋b）（a－b） 配合習作P34基礎題 1(1) 1 二次項係數為 1 利用平方差公式因式分解下列各式： (1) x2－4 (2) x2－1 解 (1) 平方差公式：a2－b2 ＝（a＋b）（a－b） x2－4＝x2－22＝ （x＋2）（x－2） (2) x2－1 ＝x2－12 ＝（x＋1）（x－1） 1 可以寫成12

2 二次項係數不為1 利用平方差公式因式分解下列各式： (1) 4x2－25 (2) x2－9y2 解 (1) 4x2－25 配合習作P34基礎題1(2) 2 二次項係數不為1 利用平方差公式因式分解下列各式： (1) 4x2－25 (2) x2－9y2 解 (1) 4x2－25 ＝（2x）2－52 ＝（2x＋5）（2x－5） (2) x2－9y2 ＝x2－（3y）2 ＝（x＋3y）（x－3y）

利用平方差公式因式分解下列各式： (1) x2－36 (2) 9x2－16y2 ＝x2－62 ＝（x＋6）（x－6） ＝（3x）2－（4y）2 ＝（3x＋4y）（3x－4y）

3 複合型 因式分解下列各式： (1)（x＋3）2－172 (2)（2x＋1）2－（x＋3）2 (1)（x＋3）2－172 解 配合習作P35基礎題2(1) 3 複合型 因式分解下列各式： (1)（x＋3）2－172 (2)（2x＋1）2－（x＋3）2 (1)（x＋3）2－172 ＝〔(x＋3)＋17〕〔(x＋3 ) －17〕 ＝( x＋20) ( x－14 ) 解

＝〔( 2x＋1) ＋( x＋3 ) 〕〔( 2x＋1) －( x＋3 ) 〕 ＝( 2x＋1＋x＋3 ) ( 2x＋1－x－3 ) 解 (2) ( 2x＋1 ) 2－( x＋3 )2 ＝〔( 2x＋1) ＋( x＋3 ) 〕〔( 2x＋1) －( x＋3 ) 〕 ＝( 2x＋1＋x＋3 ) ( 2x＋1－x－3 ) ＝（3x＋4 ) （x－2) 負號去括 號要變號

利用平方差公式因式分解下列各式： (1) x2－（y＋2）2 ＝〔x＋（y＋2）〕〔x－（y＋2）〕 ＝（x＋y＋2）（x－y－2） (2)（x＋2）2－49 ＝〔(x＋2)＋7 〕〔(x＋2 ) －7 〕 ＝（x＋9）（x－5）

如果一個多項式可以寫成 a2＋2ab＋b2 的形式，就可以利用和的平方公式a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2進行因式分解。 例如：x2＋6x＋9＝x2＋2 • x • 3＋32＝(x＋3)2 至於多項式x2＋3x＋4，雖然首末兩項可以寫成 x2＝（x）2，4＝22，但一次項3x不等於 2 • x • 2，所以就不能利用和的平方公式進行分解。

和的平方公式：a2＋2．a．b＋b2＝（a＋b）2 配合習作P34基礎題1(3) 4 二次項係數為 1 因式分解x2＋8x＋16。 解 和的平方公式：a2＋2．a．b＋b2＝（a＋b）2 x2＋8x＋16＝x2＋2‧x‧4＋42＝（x＋4）2

利用和的平方公式因式分解下列各式： (1) x2＋10x＋25 ＝x2＋2 • x • 5＋52 ＝（x＋5）2 (2) x2＋4x＋4 ＝x2＋2 • x • 2＋22 ＝（x＋2）2

和的平方公式：a2 ＋2．a． b ＋b2＝(a＋b)2 5二次項係數不為 1 因式分解9x2＋24x＋16。 解 和的平方公式：a2 ＋2．a． b ＋b2＝(a＋b)2 9x2＋24x＋16＝(3x)2＋2‧3x‧4＋42＝(3x＋4)2

利用和的平方公式因式分解下列各式： (1) 4x2＋12x＋9 ＝(2x) 2＋2‧2x‧3＋32 ＝(2x＋3) 2 (2)16x2＋8x＋1 ＝(4x) 2＋2‧4x‧1＋12 ＝(4x＋1) 2

設x＋1＝A，則原多項式可以寫成A2＋12A＋36。 A2＋12A＋36＝（A＋6）2 ＝〔（x＋1）＋6〕2 ＝（x＋7）2 配合習作P35基礎題2(1) 6 代換型 因式分解（x＋1）2＋12（x＋1）＋36。 解 設x＋1＝A，則原多項式可以寫成A2＋12A＋36。 A2＋12A＋36＝（A＋6）2 ＝〔（x＋1）＋6〕2 ＝（x＋7）2

因式分解 36（y－2）2＋12（y－2）＋1。 設 y－2＝A，則多項式可以寫成 36A2＋12A＋1 36A2＋12A＋1＝（6A＋1） 2 ＝〔6（y－2）＋1〕2 ＝（6y－11）2

如果一個多項式可以寫成a2－2ab＋b2的形式，就可以利用差的平方公式a2－2ab＋b2＝（a－b）2進行因式分解。 例如： x2－6x＋9＝x2－2‧x‧3＋32＝（x－3）2

差的平方公式： a2 －2． a． b ＋ b2 ＝（a－b）2 配合習作P34基礎題1(4) 7二次項係數為 1 因式分解x2－24x＋144。 解 差的平方公式： a2 －2． a． b ＋ b2 ＝（a－b）2 x2－24x＋144＝ x2 －2‧ x‧12 ＋ 122 ＝(x－12)2

差的平方公式：a2 －2． a． b ＋ b2 ＝（a－b）2 配合習作P34基礎題1(6)(9) 8 二次項係數不為1 因式分解4x2－12xy＋9y2。 解 差的平方公式：a2 －2． a． b ＋ b2 ＝（a－b）2 4x2－12xy＋9y2 ＝(2x)2－2‧2x‧3y＋(3y)2＝(2x－3y)2

利用差的平方公式因式分解下列各式： (1) x2－12x＋36 ＝x2－2‧x‧6＋62 ＝（x－6）2 (2) 9x2－30xy＋25y2 ＝（3x）2－2‧3x‧5y＋（5y）2 ＝（3x－5y）2

如果一個多項式可以整理成（a＋b）2或（a－b）2的形式，我們就稱此多項式為完全平方式。例如，x2＋24x＋144與9x2－30xy＋25y2可以分別整理成（x＋12）2與（3x－5y）2的形式，所以它們都是完全平方式。

接下來，我們將綜合運用兩種以上的方法，進行下列題目的因式分解。 配合習作P35基礎題 2(3) 9先提公因式再用乘法公式 因式分解下列各式： (1) 4x3－9xy2 (2) x2（y＋1）－16（y＋1） (1) 4x3－9xy2 ＝x（4x2－9y2） ＝x（2x＋3y）（2x－3y） 解 提出公因式x後，4x2－9y2 可利用平方差公式分解

解 (2) x2（y＋1）－16（y＋1） ＝（y＋1）（x2－16） ＝（y＋1）（x＋4）（x－4）

因式分解x2（y－5）－4y2（y－5）。 x2（y－5）－4y2（y－5） ＝（y－5）（x2－4y2） ＝（y－5）〔x2－（2y）2〕 ＝（y－5）（x＋2y）（x－2y）

因式分解x4－1。 x4－1 解 ＝（x2）2－12 ＝（x2＋1）（x2－1） ＝（x2＋1）（x＋1）（x－1） x2－1 可以再分解 配合習作 P35 基礎題 2(4) 10 運用兩次平方差公式 因式分解x4－1。 x4－1 ＝（x2）2－12 ＝（x2＋1）（x2－1） ＝（x2＋1）（x＋1）（x－1） 解 x2－1 可以再分解

11 綜合運用乘法公式 因式分解下列各式： (1) x2－10x＋25－xy＋5y (2) x2－6x＋9－4y2 解 (1) x2－10x＋25－xy＋5y ＝( x2－10x＋25 )－( xy－5y ) ＝( x－5 ) 2－y（x－5) ＝( x－5 ) ( x－5－y )

解 (2) x2－6x＋9－4y2 ＝( x2－6x＋9 ) －4y2 ＝( x－3) 2－( 2y ) 2 ＝( x－3＋2y ) ( x－3－2y )

因式分解下列各式： (1) x4－16 ＝(x2)2－42＝(x2＋4) (x2－4) ＝(x2＋4) (x＋2) (x－2) (2) x2－4y2＋12y－9 ＝x2－(4y2－12y＋9) ＝x2－(2y－3) 2 ＝(x＋2y－3) (x－2y＋3)

在因式分解一個多項式的過程中，我們有時會運用兩種以上的方法，如例題9，提公因式後發現多項式符合乘法公式的形式，可以繼續分解；或者如例題10、例題11，連續運用兩次乘法公式。要能熟練運用各種不同的因式分解方法解題，除了勤加練習之外，對題目多做分析和嘗試也都是必要的。

1.利用平方差公式因式分解 ：利用平方差公式可將形如a2－b2的多項式因式分解為（a＋b）（a－b）的形式。 2.利用和的平方公式因式分解：利用和的平方公式可將形如a2＋2ab＋b2的多項式因式分解為（a＋b）2的形式。 3.利用差的平方公式因式分解：利用差的平方公式可將形如a2－2ab＋b2的多項式因式分解為（a－b）2的形式。

因式分解下列各式： (1) x2－196 (2) 36x2－25 ＝( 6x )2－52 ＝x2－142 ＝（x＋14）（x－14） 3-2 自我評量 因式分解下列各式： (1) x2－196 (2) 36x2－25 ＝x2－142 ＝（x＋14）（x－14） ＝( 6x )2－52 ＝( 6x＋5 ) ( 6x－5 ) (3)4x2＋24x＋36 (4) x2－18x＋81 ＝4（x2＋6x＋9） ＝4（x2＋2‧x‧3＋32） ＝4（x＋3）2 (或(2 x+6)2) ＝x2－2‧x‧9＋92 ＝（x－9）2

(5) 4x2－36x＋81 ＝( 2x ) 2－2‧2x‧9＋92 ＝( 2x－9 ) 2 (6) (x－1)2＋24(x－1)＋144 ＝( x－1 ) 2＋2‧( x－1 )‧12＋122 ＝〔( x－1）＋12〕2 ＝( x＋11）2

(7)（x＋2）2－（y－1）2 ＝〔( x＋2 )＋( y－1 )〕．〔( x＋2 )－( y－1 )〕 ＝〔x＋2＋y－1〕〔x＋2－y＋1〕 ＝（x＋y＋1）（x－y＋3）

(8) x2＋6x＋9－16y2 ＝（x2＋2‧x‧3＋32）－（4y）2 ＝（x＋3）2－（4y）2 ＝〔（x＋3）＋4y〕〔（x＋3）－ 4y〕 ＝（x＋4y＋3）（x－4y＋3） (9) x8－256 ＝（x4）2－162＝（x4＋16）（x4－16） ＝（x4＋16）〔（x2）2－42〕 ＝（x4＋16）（x2＋4）（x2－4） ＝（x4＋16）（x2＋4）（x2－22） ＝（x4＋16）（x2＋4）（x＋2）（x－2）