第二节 Poisson分布及其应用 一、Poisson分布及其特征 Poisson分布(Poisson distribution)是一种离散分布。常用于研究单位时间或单位空间内某罕见事件发生次数的分布。

一、Poisson分布及其特征 Poisson分布(Poisson distribution)是一种离散分布。常用于研究单位时间或单位空间内某罕见事件发生次数的分布。

常见的Poisson分布现象有：每滴海水中浮游生物数量的分布；用显微镜观察片子上每一格子上细菌繁殖数的分布；某些野生生物或昆虫数在单位空间中的分布；某种患病率或死亡率很低的非传染性疾病的患病人数或死亡人数的分布等。

(一)Poisson分布的定义 如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量X所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概 率为 (5.14)

则称X服从参数为μ的Poisson分布，记为X~P(μ)。其中X为单位时间(或面积、容积等)某稀有事件发生数，e= 2 则称X服从参数为μ的Poisson分布，记为X~P(μ)。其中X为单位时间(或面积、容积等)某稀有事件发生数，e= 2.7183，μ是Poisson分布的总体均数。

例5.11 若某非传染性疾病的患病率为18／万，试根据Poisson分布原理求1 000人中发生 k=0，1，2阳性数概率。

(二)Poisson分布的图形

由图可见，Poisson分布图形形状完全取决于μ的大小。当μ=10时，图形基本对称，随着μ增大，图形渐近于正态分布

(三)Poisson分布的性质 1. Poisson分布的方差等于均数，即 σ2=μ。 2. Poisson分布的可加性。对于服从Poisson分布的 m个相互独立的随机变量Xl，X2，…, Xm它们之和X1+X2+…+Xm也服从Poisson分布，且均数为m个随机变量的均数之和。

例5. 12 某放射性物质每0. 1 s放射粒子数服从均数为2. 2的Poisson分布，现随机取3次观测结果为2，3及4个粒子数，请问每0 例5.12 某放射性物质每0.1 s放射粒子数服从均数为2.2的Poisson分布，现随机取3次观测结果为2，3及4个粒子数，请问每0.3 s放射粒子数为多少? 利用Poisson分布的可加性原理得到， Xl+X2+X3=2+3+4=9个 均值为2.2+2.2+2.2=6.6 每0.3s放射粒子数为9个。

(四)Poisson分布与二项分布及正 态分布的关系 1.Poisson分布可视为二项分布的特例 若某现象发生率π小，而样本例数多时，则二项分布逼近Poisson分布。

2. Poisson分布的正态近似 一般在实际应用中，当μ≥20时，Poisson分布近似正态分布。

二、Poisson分布的应用 1. 点估计 直接用单位时间(空间或人群)内随机事件发生数X(即样本均数)作为总体均数μ的估计值。 (一)总体均数的估计 1. 点估计 直接用单位时间(空间或人群)内随机事件发生数X(即样本均数)作为总体均数μ的估计值。

2. 区间估计 （1）正态近似法（X>50） 当Poisson分布的观察单位为n=1时，

当Poisson分布的观察单位为n>l时

即该放射物质每30min平均脉冲数(个) 的95％可信区间为(322.8，397.2)。

(2)查表法 如果X≤50时，样本资料呈Poisson分布，可查阅附表4。

本例，X=2<50，查附表4，95％可信区间为(0.2，7.2)；99％可信区间为(0.1，9.3)。 例5.15 对某地区居民饮用水进行卫生学检测中，随机抽查1 mL水样，培养大肠杆菌2个，试估计该地区水中平均每毫升所含大肠杆菌的95％和99％可信区间。 本例，X=2<50，查附表4，95％可信区间为(0.2，7.2)；99％可信区间为(0.1，9.3)。

(二)单个总体均数的假设检验 1.直接计算概率法 根据Poisson分布的概率分布列计算概率或累积概率，并依据小概率事件原理，作出统计推断。

例5.16 某罕见非传染性疾病的患病率一般为15／10万，现在某地区调查1000人，发现阳性者2人，问此地区患病率是否高于一般。 H0：此地区患病率与一般患病率相等；H1：此地区患病率高于一般患病率； 单侧α=0.05

本例，n=1000，π0=15／10万，μ0=nπ0=0.15，则在Ho成立前提下，所调查的1000人中发现的阳性数X~P(0.15)，则有 P(x≥2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1- (0.860 7+0.129 1)=0.010 2 故：1000人中阳性数不低于2人属于小概率事件。

2.正态近似法 当μ≥20，Poisson分布近似正态分布，可利用正态近似原理分析资料。

例5.17 某种儿童化妆晶含细菌数不超过500个／ml为合格品，现检测此种儿童化妆晶1 ml菌数450个，问此种化妆品是否合格。

Ho：此种化妆品不合格，即μ=μ0 H1：此种化妆品合格，即μ<μ0 单侧 α =0.05

本例以1 mL儿童化妆晶为一个Poisson分布观察单位。按式(5.21)得： 按单侧α =0.05水平拒绝Ho，接受H1， 认为此种化妆品合格。