第五章 地下水向边界井 及不完整井的运动                                                                                                      肖 长 来 吉林大学环境与资源学院 2009-12

主要内容 §5.1 镜像原理及直线边界附近的井流 §5.2 扇形含水层中的井流 §5.3 条形含水层中的井流 §5.4 地下水向不完整井运动的特点 §5.5 地下水向不完整井的稳定运动 §5.6 地下水向承压不完整井的非稳定运动

§5.5地下水向不完整井的稳定运动 5.5.1半无限厚含水层中的不完整井 1.井底进水的承压水不完整井 如井底刚好揭穿承压含水层的顶板，就构成井底进水的不完整井（图5-12）。如含水层厚度很大，则其底板对井流的影响可以略不计。这时，如井底形状为半球形，则流线为径向直线，等水头面是半个同心球面。在球坐标系中则为一维流。这种不完整井流可用空间汇点来求解。 图5-12 井底进水的承压水不完整井

在均质含水层中，如果渗流以一定强度从各个方面沿径向流向一点，并被该点吸收，则称该点为汇点。反之，渗流由一点沿径向流出，则称该点为源点。空间汇点，可以理解为直径无限小的球形过滤器，渗流沿半径方向流入球形过滤器而被吸收掉。 设离汇点距离为ρ的任意点A的降深为s，球形过水断面面积为4πρ2。按Darcy定律，流向汇点的流量Q，： 分离变量后，在和影响半径R的区间内积分上式，得：

通常， 很小，可以忽略不计，故有： 上式为空间汇点的降深表达式，即在空间汇点作用下任意点的降深。现在回过来再研究半球形井底进水的不完整井。设想在井轴和含水层顶板交界处放一空间汇点来代替井的作用，则空间汇点流量的一半相当井的流量，即 ，半径为的半球形等水头面可视为进水的井底，即令 将这些条件代入（5-41）式，即得井底进水的承压水不完整井公式 式中， 为井中水位降深； H0为抽水前的初始水头； hw为抽水井中的动水位。 （5-41） （5-42）

井壁进水的圆柱状过滤器不是一个点，其作用不能直接用 空间汇点代替。但是，可用无数个空间汇点组成的空间汇线来 2.井壁进水的承压水不完整井 井壁进水的圆柱状过滤器不是一个点，其作用不能直接用 空间汇点代替。但是，可用无数个空间汇点组成的空间汇线来 近似代替过滤器的作用，如图5-13所示。 图5-13 空间汇线示意图

假设流量Q沿长度为l的汇线均匀分布。在汇线上取一微小的汇线段Δη视为空间的汇点，流向该点的流量△Q可用下式来表示： 在此汇点作用下，相距ρ1的A点所产生的降深为Δsi，按(5-41) 式有： 对于隔水顶板附近的汇点，为了考虑隔水顶板对汇点的影响，可用镜像法在顶板上方的对称位置上映出一个等强度的虚汇点(图5-13)。

这时，A点的降深Δsi应等于实汇点和虚汇点分别产生的降 深的叠加，即： 将ρ1和ρ2换成柱坐标表示： 代入上式，即得距隔水边界为的汇点在A点产生的降深： 汇线是由无数个汇点组成的。所以汇线对A点产生的总降深s，显然等于上式无限次叠加的结果。由于汇点沿汇线是均匀连续分布的 ，故无限叠加可用沿汇线长度的积分来代替。

当过滤器和隔水顶板相接时(图5-14)，相当于汇线两端坐 标 ，代入上式有： 得： 当过滤器和隔水顶板相接时(图5-14)，相当于汇线两端坐 标 ，代入上式有： 这是半无限承压含水层中流量为Q的与隔水顶板相接的空间 汇线作用于任意点的降深。 （5-43）

分析上式可知，它所反映的等降深面是对称于Z轴的半旋转椭球面。如果选一与上述等降深面形状相同的半旋转椭球面作为假想过滤器，显然可用（5-3）式计算它所形成的降深。 如果在选择假想过滤器时，使它的水头与真实井壁的动水位相等，把它同不完整井真实过滤器套在一起时将在坐标(rw，zo)处相交，则由(5-3)式可得： 图5-14 井壁进水不完整井它形成的降深

式中，sw为真实井壁的降深，rw为真实过滤器的半径，z0为待定坐标。 为了能用(5-44)式计算，还要确定z0值，使计算出的流量和通过真实过滤器的流量相等，显然z0值应在0-L区间变化。经В.Д.Бабушкин的大量实验证实，当z0=0.75L时，按(5-44)式计算出的流量才与真实不完整井的流量相等。将这个条件代入（5-44）式，最后得井壁进水不完整井的流量为： 上式称为ВДБабушкин（巴布什金）公式。 （5-45）

当x>>1时，Arshx= ln( ) =ln2x。 因此，应用(5-45)式时，应满足上述假设。通常要求是L/rw>5。 推导时，利用关系式： 当x>>1时，Arshx= ln( ) =ln2x。 因此，应用(5-45)式时，应满足上述假设。通常要求是L/rw>5。 理论上导出（5-45）式的条件是半无限厚含水层。但在实 际上，在L<0.3M的有限厚含水层中，当R<<（5-8）M时，仍可应用，误差只有10%(Вдбабушкин)。 H.K.Γиρинский根据假想过滤器与真实过滤器表 面积相等的原则，将半椭球面换算成圆柱面后也得到类似的公 式： 上式称为Γиρинский（吉林斯基）公式。其差别 是系数不同。但将1.32和1.6取对数后，数值相近，实际上不 影响计算精度。 （5-46）

3.井壁进水的潜水不完整井 ВДБабушкин在砂槽中研究过潜水向不完整井的运动。他发现，流线有明显的对称弯曲。在过滤器上下两端流线的弯曲程度较大，当从两端移向过滤器中线时，流线弯曲逐渐变缓，流线与过滤器中线N-N近似重合，流面几乎是水平面，如图5-15所示。 图5-15 潜水不完整井

根据流面上水头的法向导数为零的特点，N-N流面可视为不 透水面。它把过滤器未淹没的潜水不完整井分成上下两段（分段法）。上段可视为潜水完整井，下段看成是半先限厚含水层中的承压水不完整井。 而潜水不完整井的流量，应等于上下两段流量之和。这样计算所得的上段流量偏大些，下段流量偏小些。但两段流量之和可以抵消部分误差。 上段按潜水完整井计算，根据Dupuit公式有： 下段，当L/2<0.3m0时（m0为由N-N中线到隔水底板的距离），可以认为含水层厚度是无限的。

于是，当过滤器埋藏相对较浅，L/2<0.3mo时，潜水不完整井 流量有： 按(5-46)式有： 于是，当过滤器埋藏相对较浅，L/2<0.3mo时，潜水不完整井 流量有： （5-47）

当含水层厚度有限时，不仅要考虑隔水顶板对水流的影响，还要考虑隔水底板的影响。 2.有限厚含水层中的不完整井 当含水层厚度有限时，不仅要考虑隔水顶板对水流的影响，还要考虑隔水底板的影响。 Muskat研究了有限厚含水层中井过滤器与隔水顶板相接时 稳定流的水头分布，采用汇线无限次映像得承压水不完整井的 流量为： 上式称为Muskat共识。式中： ，称为不完整程度； 可由图5-16直接查出。 其中，Γ——伽马函数； R——影响半径。 当α=1时，A=0，（5-46）式变为完整井公式，说明上式是合理的。 （5-48）

但当α很小时，A变得很大，就可能使(5-48)式分母中的第一项趋于零，使该式计算出的流量与半径为M的完整井流量相等。这显然是不合理的。这说明，当α很小时，该式失去意义，应予注意。 实验证实，在 的条件下（5-48）式可给出较满意结果，误差不超过10%。这样的条件是不难满足的。 如过滤器不与隔水顶板接触，且其底部位于含水层中部以 下时，由于过滤器中部流面接近于水平面，可近似地通过过滤 器中线把过滤器分为上下两部分，即把这种类型的不完整井分 成两个过滤器与隔水顶板接触的不完整井来处理，流量等于二 者之和。

m1,m2一分别为过滤器中部至隔水顶、底板的距离。 于是有： 式中： m1,m2一分别为过滤器中部至隔水顶、底板的距离。 （5-49） 由图5-16确定； 由图5-16确定；

对于有限厚含水层中的潜水不完整井，如前述，当过滤器 埋藏相对较浅时，L/2>0.3mo时，可用(5-47)式计算。当过滤 影响。 图5-16 A与a的关系曲线

为此，采用分段法计算时，下段宜用(5-48)式，上段则仍 按潜水完整井计算，于是有： 式中，m0为过滤器中部至隔水底板的距离。 （5-50）