第3章 功 和 能 (4) (Work and energy) 内容提要 功、势能 功能原理 机械能守恒定律

若质点在恒力F作用下沿直线运动， 位移为S, 则力F作的功为 §3-1 功 质点动能定理 1.功—力与力作用点位移的标积 若质点在恒力F作用下沿直线运动， 位移为S, 则力F作的功为 位移元dr上的元功为 若质点受变力f 作用, 沿一曲线L从a到b, (3-1) 图3-1 a b  f L 从a到b，力f 的总功: dr (3-2)

质点动能定理说明:合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。 (1)功是标量,且有正负。 (2)功是相对量,其大小随所选参考系的不同而不同。 功率 (3-3) dA=f.dr 2.质点动能定理 (3-4) 质点动能定理说明:合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。 (1)功是标量,且有正负。 (2)功是相对量,其大小随所选参考系的不同而不同。 h m 例： 重力对m的功: 地面参考系： A=mgh 物体m参考系： A=0

功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说,功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径的形状有关。 (3)在直角坐标系中 功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说,功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径的形状有关。  (4)应当明白,动能定理只在惯性系中成立,相应的功也只能在同一惯性系中计算。 学习要点：变力的功。

m 解 将弹簧上端缓慢地提起的过程中，需要用多大的外力？ 外力: F=kx ，这是一个变力。 物体m脱离地面的条件是什么？ kxomg 例题3-1 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端连接一质量为m的物体，开始时使弹簧为原长而物体m恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直到物体m刚能脱离地面时止，求此过程中外力作的功。 解 将弹簧上端缓慢地提起的过程中，需要用多大的外力？ 图3-2 m F x (原长) o 外力: F=kx ，这是一个变力。 物体m脱离地面的条件是什么？ kxomg 所以外力作的功为

例题3-2 质量m=4kg的物体在力F=(2x+5)i (SI)的作用下, 沿x轴作直线运动, 初速 o =5i (m/s); 求物体从x=0到x=10(m)时的速度。 解 因力是坐标的函数，应用动能定理 完成积分得： = 10(m/s) 。

例题3-3 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为 (SI),式中a、b、是正值常数，且a>b。求：t=0到t=/(2)时间内合外力的功及分力Fx、Fy的功。 解 合外力: =-m2(xi+yj ) 分力：Fx=-m2x, Fy=-m 2y 因: x=acos t, y=bsin t 当t=0时，x=a, y=0; 当t= /(2)时，x=0, y=b。 合外力的功为

分力Fx、Fy的功为 Fx=-m2x Fy=-m 2y (1)显然合外力的功等于分力的功之和： (2)合外力的功也可由动能定理直接求出。

当t=0时，o=b j , 大小: o=b; 当t=/(2)时,  =-a i , 大小  =a 。 由动能定理得合外力的功为

解 滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力fr、屏障给它的支持力N, 如图3-3所示。 例题3-4 在光滑的水平桌面上，平放着如图3-3所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度0沿切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为µ。求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。 解 滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力fr、屏障给它的支持力N, 如图3-3所示。 N fr 在自然坐标系中， o  0 图3-3  法向： (1) 切向： (2) 将式(1)代入式(2), 有

由于支持力N不作功， 由动能定理得摩擦力的功为 化简后得：d = -µd o  0 图3-3  N fr 由于支持力N不作功， 由动能定理得摩擦力的功为

质点m沿曲线L从a到b(高度分别为ha和hb)，重力对质点m作的功为 §3-2 保守力和非保守力 一.几个力的功 重力的功 质点m沿曲线L从a到b(高度分别为ha和hb)，重力对质点m作的功为 - (3-6) L a b mg hb ha o y x 图3-4  重力作功只与质点的始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。 C

由此可见，弹性力的功和重力的功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。 小球由a到b的过程中，弹性力所作的功为 (3-7) 由此可见，弹性力的功和重力的功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。 xa (原长) o 图3-5 xb a b x

质点m在M的引力场中,由a点到b点,万有引力对质点m所作的功为 万有引力的功 质点m在M的引力场中,由a点到b点,万有引力对质点m所作的功为 r f dr  ds m 图3-6 ra rb a b M (3-8) 注意：dscos(-)=dr。 由式(3-8)可见,万有引力的功也 只与质点始末位置有关,而与质点所 经过的实际路径形状无关。

因为保守力作的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关,故保守力F保沿任意闭合路径L所作的功总为零,亦即 二.保守力和非保守力 如果一个力的功只与质点的始末位置有关,而与路径形状无关，这种力称为保守力。相应的力场称为保守力场。否则叫做非保守力。 显然重力、弹性力、万有引力都是保守力。 因为保守力作的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关,故保守力F保沿任意闭合路径L所作的功总为零,亦即 (3-9) 上式表明：保守力的环流(沿任意闭合路径L的线积分)为零。这也是保守力的一种定义和数学判据。 见P94例3-4。

§3-3 势 能 一.保守力场中的势能 重力的功 弹性力的功 引力的功 可见，保守力的功可写为 (3-10) 定义：Epa是系统在位置a的势能; Epb是系统在位置b的势能。

(3-10)  式(3-10)的意义是: 保守力的功等于势能增量的负值。 若取b点为零势点，则由式(3-10)我们得到系统在位置a的势能为 (3-11) 式(3-11)表示，系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。 原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此势能仅具有相对的意义。

(3)物体在零势面以上,重力势能为正,否则为负。 弹性势能 二.势能零点的选择 重力势能 (1)零势面可任意选择,由问题的方便而定。 (2)重力势能为 Ep=±mgh (3-12) (3)物体在零势面以上,重力势能为正,否则为负。 弹性势能 (1)通常规定弹簧无形变(即未伸长也未压缩)时的势能为零。 (2)弹簧伸长或压缩x时的弹性势能,按定义应为 x (原长) a o 图3-7 k (3-13) (3)弹性势能总是正值。

应当注意：势能是属于相互作用着的物体所组成的系统的,不应把它看作是属于某一个物体的。 引力势能 (1)通常选取两物体相距无穷远时(此时引力为零)的势能为零。 (2)两物体M、m相距r时的引力势能, 按定义式(3-11)为 r f M 图3-8 dr m (3-14) (3)引力势能总是负值。 应当注意：势能是属于相互作用着的物体所组成的系统的,不应把它看作是属于某一个物体的。 Ep=±mgh

*三.已知保守力场F求势能函数 (3-10) 上式的微分式为 计算不定积分得 (3-14) 积分常数C可由选定的势能零点定出。

如已知弹性力场:F =-kxi ,选x=xo处为势能零点,则弹性势能函数 用x=xo处，Ep=0, 得出

如已知弹性力场:F =-kxi ,选x=xo处为势能零点,则弹性势能函数 (3-11) 另解: xo (原长) o 图3-5 x a b

*四.已知势能函数Ep求保守力场 (3-17) 引入梯度算符: 式(3-17)可简写为 如已知重力势能Ep=mgz ,则重力

质点系(系统)—作为研究对象的质点的集合。 内力—系统内各质点间的相互作用力。 外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。 二.内力的功 §3-4 内力的功 一.质点系 内力和外力 质点系(系统)—作为研究对象的质点的集合。 内力—系统内各质点间的相互作用力。 外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。 二.内力的功 这一对内力所作的元功之和为

drij是第i个质点对第j个质点的相对元位移。 可见，一对内力的元功之和仅与两质点的相对元位移有关。 这一对内力所作的元功之和为 o 图3-9 drij是第i个质点对第j个质点的相对元位移。 　　　　可见，一对内力的元功之和仅与两质点的相对元位移有关。 (1)通常　　　 ,故一对内力所作的功之和一般也不为零。 (2)因相对位移和相对元位移与参考系无关，故一对内力所作的功之和也与参考系无关。

A内 + A外 = Ek — Ek0 §3-5 功能原理 机械能守恒定律 一.系统动能定理 设系统由n个质点组成, 对mi 应用动能定理,有 §3-5 功能原理 机械能守恒定律 图3-10 f1n fn1 fi1 f1i Fi F1 mi m1 Fn fni fin mn 一.系统动能定理 设系统由n个质点组成, 对mi 应用动能定理,有 式中：i=1,2,3,……。对上式求和得 写成： A内 + A外 = Ek — Ek0 (3-19) 这就是系统动能定理：外力的功与内力的功之和等于系统动能的增量。

A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 二.功能原理 内力的功A内也可以写成 A内=A保守内力+A非保守内力 (3-10) 将上述结果代入动能定理: A内+A外 = Ek- Ek0 A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) (3-20) 式中:E=Ek+Ep是系统的机械能。式(3-20)表明:系统外力和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量。这一结论称为系统的功能原理。

三.机械能守恒定律 A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 如果外力的功与非保守内力的功之和为零(即A外+A非保守内力=0)时, 则  Ep+Ek=恒量 (3-18) 这一结论称为机械能守恒定律。 应当指出，机械能守恒的条件是A外+A非保守内力=0,这当然是对惯性系而言的。 还应看到,在某一惯性系中系统的机械能守恒,并不能保证在另一惯性系中系统的机械能也守恒,因为A非保守内力虽然与参考系的选择无关,但A外却取决定于参考系的选择。

解 链条受三个力作用：摩擦力、重力(保守力)以及桌面对它的支持力(此力不作功)。此题宜用功能原理求解。 例题3-5 如图3-11所示，一链条总长为L、质量为m，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为a，链条与桌面之间的滑动摩擦系数为µ,令链条由静止开始运动，求链条末端离开桌面时的速率。 解 链条受三个力作用：摩擦力、重力(保守力)以及桌面对它的支持力(此力不作功)。此题宜用功能原理求解。 建立如图所示的坐标ox, 先求摩擦力(变力)的功： L-a a 图3-11 o x

A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 取桌面为零势面，由功能原理: A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 解得 L-a a 图3-11 o x 对链条、细棒这样一些有一定长度的物体，计算重力势能和重力的力矩时可将其质量集中在质心，从而当作一个质点处理。

例题3-6 若从地面以一定初速度o发射一质量为m的卫星,并使卫星进入离地心为r的圆轨道。设地球的质量和半径分别为me和Re，不计空气阻力，则o =？ 解 圆轨道： 机械能守恒：

讨论：(1)当r=Re时, =7.9km/s, 称为第一宇宙速度。若以这个速度垂直地球半径方向发射，卫星将贴近地面沿圆轨道飞行。 称为第二宇宙速度。以此速度发射的卫星将飞离地球。 (2)当r时，

例题3-7 在光滑水平面上,质量分别为m和3m 的物体A、B用一根倔强系数为k的轻弹簧连接起来，并使物体A紧靠墙壁。现用力推B，使弹簧压缩xo，然后静止释放。求：释放后弹簧的最大伸长量，以及此时物体A、B的速率。 解 何时弹簧伸长最大？ A、B的速率相等时。 压缩xo 原长: k o 图3-12 B A xo m 3m

原长弹簧伸长最大(A、B的速率相等时): 解得 k o 图3-12 B A xo m 3m

例题3-8 质量为m1的物体A与倔强系数为K的轻弹簧相连,静止在光滑水平桌面上，A右边结一细绳饶过光滑的轻滑轮悬挂一质量为m2的物体B,计算将B轻轻挂上后所能达到的最大速度。 由机械能守恒： 图3-13 k A B a x

例题3-9 一质点在方向指向园心的力 (式中k为常量)的作用下，沿半径为r的园周运动，取无穷远为零势点，求该质点的机械能。 解 机械能