Ideal Gas

Quasi-Static Adiabatic Process 𝑃 𝑉 𝛾 =const. 取微分： 𝑉 𝛾 d𝑃+𝛾𝑃 𝑉 𝛾−1 d𝑉=0 𝜕𝑃 𝜕𝑉 𝑆 =−𝛾 𝑃 𝑉 𝛾−1 𝑉 𝛾 =−𝛾 𝑃 𝑉 Quasi-Static Isothermal Process 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇=const. 𝑃 d𝑉+𝑉 d𝑃=0 𝜕𝑃 𝜕𝑉 𝑇 =− 𝑃 𝑉

Rüchhart’s Method of Measuring 𝛾

因為容積與壓強變化都非常小，所以 quasi-static 因為振盪非常快速，熱來不及傳輸，所以adiabatic

忽略不計摩擦力 瓶內氣體壓強等於 𝑃= 𝑃 0 + 𝑚𝑔 𝐴 小球位移量為 𝑦，造成的容積變化等於 d𝑉=𝑦𝐴 小球所受的回復力為 𝐹，來自於壓強變化 d𝑃= −𝐹 𝐴 絕熱過程方程式為 𝑃 𝑉 𝛾 =const. 其微分為 𝛾𝑃 𝑉 𝛾−1 d𝑉= 𝑉 𝛾 d𝑃

𝛾𝑃 𝑉 𝛾−1 d𝑉= 𝑉 𝛾 d𝑃 d𝑉=𝑦𝐴，d𝑃= −𝐹 𝐴 由此求出回復力 𝐹： 𝐹=−𝐴 d𝑃=−𝐴𝛾𝑃 𝑉 −1 d𝑉=−𝐴𝛾𝑃 𝑉 −1 𝑦𝐴 𝐹=−𝛾 𝑃 𝐴 2 𝑉 𝑦 由基本力學知：振盪頻率 𝜔 為 𝜔 2 =𝛾 𝑃 𝐴 2 𝑚𝑉 週期 𝜏 等於 𝜏= 2𝜋 𝜔 =𝐴 𝛾𝑃 𝑚𝑉

𝜏= 2𝜋 𝜔 =2𝜋𝐴 𝛾𝑃 𝑚𝑉 其中週期𝜏、壓強 𝑃、容積 𝑉、截面積 𝐴 都可以測量，因此 𝛾= 4 𝜋 2 𝑚𝑉 𝐴 2 𝑃 𝜏 2

Velocity of a Longitudinal Wave

Wave front

Newton 推導聲音縱波速度 Newton’s second law of motion Force = d d𝑡 Momentum d Momentum =d Mass ∙ Velocity 在時間 𝑡 內增入的質量為容積 𝑉 內的氣體質量： d Mass =𝜌𝐴𝑤 Velocity = 𝑤 0 因此 d d𝑡 Momentum = d Mass ∙ Velocity 𝑡 =𝜌𝐴𝑤 𝑤 0

Force =𝐴 𝑃+∆𝑃 −𝐴𝑃=𝐴∆𝑃 因此 𝐴∆𝑃=𝜌𝐴𝑤 𝑤 0 ∆𝑃=𝜌𝑤 𝑤 0 氣體原容積為 𝑉=𝐴𝑤𝑡 由於活塞壓縮，容積減少了 ∆𝑉=−𝐴 𝑤 0 𝑡 − ∆𝑉 𝑉 = 𝑤 0 𝑤 𝑤 0 =−𝑤 ∆𝑉 𝑉

因此 ∆𝑃=𝜌𝑤 𝑤 0 =−𝜌𝑤𝑤 ∆𝑉 𝑉 𝑤 2 =− 𝑉 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑉 = 1 𝜌 1 − 1 𝑉 𝜕𝑃 𝜕𝑉 此式分母雖然是氣體，但是未確定過程。 牛頓認為是等溫過程，因此分母是等溫壓縮率。 Laplace認為是絕熱過程，因此分母是絕熱壓縮率。

假設聲波波長為 𝜆，因為聲波為縱波，在一個波長之內，大約半波長內的氣體稠密，另半波長內的氣體稀疏。 假設半波長範圍兩端溫差為 ∆𝑇。 由熱傳導的熱量傳輸率為 𝐾𝐴 ∆𝑇 𝜆 2 傳輸時間為 𝜆 2 𝑤 因此所能傳輸的熱量為 𝐾𝐴 ∆𝑇 𝜆 2 ∙ 𝜆 2 𝑤 = 𝐾𝐴∆𝑇 𝑤

讓溫度上升 ∆𝑇 所需的熱量為 𝑐 𝑉 𝜌𝐴 𝜆 2 ∆𝑇 如果所傳輸的熱遠遠不及所需的熱，就是絕熱過程。 傳輸的熱 所需的熱 = 𝐾𝐴∆𝑇 𝑤 𝑐 𝑉 𝜌𝐴 𝜆 2 ∆𝑇 = 2𝐾 𝑤 𝑐 𝑉 𝜌 𝜆

Kinetic Theory of Ideal Gas

用力學及統計方法推導理想氣體狀態方程式： 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇 原則： 𝑃= force area = ∆𝑝 ∆𝐴 ∆𝑡 為甚麼用到統計？ 在一定容積 𝑉 內的氣體分子共有 𝑁 個分子，有快有慢，各有各的運動速率 𝑤，可以從零到無限大。 令 d 𝑁 𝑤 表示速率在 𝑤 與 d𝑤 範圍內的分子數，總數等於總分子數： d 𝑁 𝑤 =𝑁

統計的觀念就在這裡： d 𝑁 𝑤 =𝑁 𝑤 2 d 𝑁 𝑤 =𝑁 𝑤 2 其中 𝑤 2 是速率平方的平均值。

在一定容積 𝑉 內的 𝑁 個氣體分子分子，除了各有各的運動速率，也各有個的運動方向。 某一個分子運動速率為 𝑤，撞擊容器時與器壁法線夾角為 𝜃，反彈之後動量變化為 2𝑚𝑤 cos 𝜃 所有的分子的動量變化合起來，會對器壁施力，因此而造成壓強。

能夠在時間 d𝑡 內以速率 𝑤、方向 𝜃 撞到氣壁的分子會撞擊在器壁的 d𝐴 面積範圍內；這樣的分子必須在一定的容積範圍 d𝑉 之內。 因此能夠以特定速率 𝑤、特定方向 𝜃 撞擊容器器壁的分子數為 d 3 𝑁 𝑤 d𝑉 𝑉 這些分子都貢獻 2𝑚𝑤 cos 𝜃 的動量變化。 因此特定方向 𝜃 撞擊貢獻的動量變化為 d 3 𝑁 𝑤 d𝑉 𝑉 2𝑚𝑤 cos 𝜃

容積 𝑉 內的氣體分子各有各的運動速率 𝑤 ，與運動方向 𝜃、𝜙。 令 d 𝑁 𝑤 表示速率在 𝑤 與 d𝑤 範圍內的分子數。 令 d 3 𝑁 𝑤,𝜃,𝜙 表示速率在 𝑤 與𝑤+d𝑤 範圍內、方向角在 𝜃 與 𝜃+d𝜃 範圍內、𝜙 與 𝜙+d𝜙 範圍內的分子的數目。 因為 d 3 𝑁 𝑤,𝜃,𝜙 是特定方向的分子數，而 d 𝑁 𝑤 是不限方向的分子數，其關係為 d 3 𝑁 𝑤,𝜃,𝜙 = sin 𝜃 d𝜃 d𝜙 4𝜋 d 𝑁 𝑤

再把所有方向的貢獻加總，省略計算細節，則以特定速率 𝑤 貢獻的總動量變化為 𝑚 𝑤 2 3𝑉 d 𝑁 𝑤 d𝐴 d𝑡 因此其壓強為 d 𝑃 𝑤 = 𝑚 𝑤 2 3𝑉 d 𝑁 𝑤 力學能算的到此為止。 最後剩下的 d 𝑁 𝑤 屬於統計分布；總壓強為 𝑃= d 𝑃 𝑤 = 𝑚 𝑤 2 3𝑉 d 𝑁 𝑤 = 𝑚 3𝑉 𝑤 2 d 𝑁 𝑤 = 𝑚 3𝑉 𝑁 𝑤 2

以上是從統計觀點所得的結果： 𝑃= 𝑚 3𝑉 𝑁 𝑤 2 從熱力學所知： 𝑃= 𝑛𝑅𝑇 𝑉 兩相對照，可以得到溫度的統計公式： 𝑇= 𝑚 𝑁 𝑤 2 3𝑛𝑅 = 2 𝑁 3𝑛𝑅 1 2 𝑚 𝑤 2