第三节 二项式定理

1.二项式定理 二项式定理 (a+b)n= (n∈N+) 二项式通项 Tr+1= ,它表示第____项 二项式系数 二项展开式中各项的系数为 r+1

2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 和的性质 (a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于__，即 . 2n

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1) 是二项展开式的第k项.( ) (2)通项 中的a与b不能互换.( ) (3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( ) (4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )

【解析】(1)错误.由二项展开式通项的定义可知： 应 是二项展开式的第k+1项. (2)正确.通项 中的a与b如果互换，则它将成为(b+a)n 的第k+1项. (3)正确.因为二项式(a+b)n的展开式中第k+1项的二项式系数 为 ，显然它与a,b无关. (4)正确.因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部 分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数. 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√

1.(2＋x)9展开式的二项式系数之和为( ) (A)29 (B)39 (C)1 (D)210 【解析】选A.因为(a＋b)n展开式的二项式系数之和为2n，所以(2＋x)9展开式的二项式系数之和为29.

2.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( ) (A)-20 (B)-15 (C)15 (D)20 【解析】选C.Tk＋1＝ ，k＝4时，12-3k＝0， 故第5项是常数项，T5＝(-1)4 ＝15.

3.(x+1)8的展开式中x3 的系数是________(用数字作答). 答案:56 4.在(1+x)3+(1+ )3+(1+ )3的展开式中，x的系数为_____ (用数字作答). 【解析】由条件易知(1+x)3+(1+ )3+(1+ )3展开式中x的 系数分别是 ，即所求系数是3+3+1=7. 答案：7

考向 1 求二项展开式中的项或项的系数 【典例1】(1)(2012·天津高考)在( )5的二项展开式中，x的系数为( ) (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 (2)(2012·安徽高考)(x2+2)( -1)5的展开式的常数项是 ( ) (A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3

【思路点拨】(1)可利用二项展开式的通项，求x的系数.

【规范解答】(1)选D.Tr+1=(-1)r· (2x2)5-r·x-r ∴T4=- ·22x=-40x, ∴x的系数为-40. (2)选D.第一个因式取x2，第二个因式取 得： 1× (-1)4=5； 第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得： 2×(-1)5 =-2，∴展开式的常数项是5+(-2)=3.

【互动探究】在本例题(1)中，x的整式项有几项？分别是第几项？ 【解析】由本例题(1)的解析可知：Tr+1=(-1)r· ·(2x2)5-r ·x-r=(-1)r· 25-rx10-3r. 又因为r=0,1,2,3,4,5，所以当r=0,1,2,3时，分别是x的整式项，共有4项.它们分别是第一项、第二项、第三项和第四项.

【拓展提升】求二项展开式中的项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数.解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析. (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围.

【提醒】二项展开式某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与a,b的取值有关，而二项式系数与a,b的取值无关.

【变式备选】(2013·西安模拟)(1+2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n等于__________. 【解析】∵Tr+1= (2x)r=2r xr, ∴x3的系数是23 ，x2的系数是22 . ∴ 即 ,解得n=8. 答案：8

考向 2 二项式系数和或各项系数和 【典例2】(1)(2013·景德镇模拟)若(x- )n的展开式中第3项的二项式系数为15，则展开式中所有项的系数之和为( ) (A) (B) (C) (D) (2)(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数的和为243，不含y的项的系数的和为32，则a,b,n的值可能为( ) (A)a=2,b=-1,n=5 (B)a=-2,b=-1,n=6 (C)a=-1,b=2,n=6 (D)a=1,b=2,n=5

(3)已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8 =a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8， 则a1+a2+a3+…+a8=_________. 【思路点拨】(1)根据题意，结合二项式定理可得 =15,解可 得n=6,将其代入二项式，并令x=1,计算(x- )6的值,可得答案. (2)采用赋值法，依据题意分别令x=0,y=1与x=1,y=0即可得出 a,b,n的值. (3)采用赋值法，先求出a0+a1+a2+a3+…+a8的值,再求出a0的值即 可求出所求.

【规范解答】(1)选C.由二项式定理，(x- )n的展开式中第3 项的二项式系数是 , 又由题意，其展开式中第3项的二项式系数是15，则 =15, 解得n=6, 在(x- )6中，令x=1,可得其展开式中所有项的系数之和为 ( )6= ，故选C.

(2)选D.令x=0,y=1得(1+b)n=243=35； 令x=1,y=0得(1+a)n=32=25， 因此，a=1,b=2,n=5，故选D. (3)令x=1，则a0+a1+a2+a3+…+a8=2+22+…+28=510； 令x=0，则a0=8，所以a1+a2+a3+…+a8=502. 答案:502

【拓展提升】赋值法的应用 (1)形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可. (2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.

(3)若f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0+a2+a4+…= 偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=

【变式训练】已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则|a0|+ |a1|+|a2|+…+|a9|等于( ) (A)29 (B)49 (C)39 (D)1 【解析】选B.x的奇数次方的系数都是负值， 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9| =a0-a1+a2-a3+…-a9. 所以已知条件中只需令x=-1即可，故选B.

【易错误区】某项的系数与某项的二项式系数不清致误 【典例】(2012·福建高考)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=________. 【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面 (1)误以为x3的二项式系数是x3的系数. (2)通项中字母颠倒造成失误.

【规范解答】因为(a+x)4的展开式的通项为 Tk+1= ，由题意知， 当k=3时， 所以，a=2. 答案:2

【思考点评】 1.某项的二项式系数与某项的系数 二项展开式中的二项式系数为 (k=0,1,2,…,n)，与其他字母数值无关；而展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数. 2.二项展开式的通项 (a+b)n展开式中的第k+1项为：Tk+1= 其中字母a,b的顺序不能改变，否则会出现错误.

1.(2012·四川高考)(1+x)7的展开式中x2的系数是( ) (A)42 (B)35 (C)28 (D)21 【解析】选D.由二项式定理得 ，所以x2的系 数为21，故选D.

2.(2012·广东高考)(x2+ )6的展开式中x3的系数为______(用数字作答). 【解析】Tr+1= 令12-3r=3，∴r=3,∴展开式中x3的系数为 =20. 答案:20

3.(2012·湖南高考) 的二项展开式中的常数项为 ______(用数字作答). 【解析】设常数项为第r+1项， 则Tr+1= =(-1)r·26-r 由 =0，解得r=3. ∴常数项为第四项，T4=(-1)3·23· =-160. 答案:-160

4.(2012·浙江高考)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3=________. 【解析】f(x)=x5=［(x+1)-1］5，则a3= =10． 答案:10

5.(2012·陕西高考)(a+x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为_______. 【解析】二项展开式的通项公式是Tr+1= ，当r=2时，T3= 所以10a3=10,所以a=1. 答案：1

1.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为( ) (A)1或3 (B)-3 (C)1 (D)1或-3

【解析】选D.∵(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6， 令x=1得，(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6； 令x=0得，1=a0， ∴a1+a2+…+a6=(a0+a1+a2+…+a6)-a0=(1+m)6-1, 而a1+a2+…+a6=63,∴(1+m)6-1=63, ∴(1+m)6=64,∴m=1或m=-3.

2.若a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0=x4,则a3-a2+a1= _________. 【解析】∵x4=［(x+1)-1］4= (x+1)4(-1)0+ (x+1)3(-1)1 + (x+1)2(-1)2+ (x+1)1(-1)3+ (x+1)0(-1)4 =(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1， 而a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0=x4, ∴a3=-4,a2=6,a1=-4, a3-a2+a1=-4-6-4=-14. 答案：-14