3．2.2 复数代数形式的乘除运算
学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．理解共轭复数的概念．
3．2.2 复数代数形式的乘除运算 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
2．对于两个非零复数z1和z2，|z1±z2|___|z1|＋|z2|. 课前自主学案 温故夯基 1．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，类似于把i看成未知数的多项式的加减运算． 2．对于两个非零复数z1和z2，|z1±z2|___|z1|＋|z2|. ≤
知新益能 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_________________. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有 ac－bd＋(ad＋bc)i z2·z1 交换律 z1·z2＝______ 结合律 (z1·z2)·z3＝_______ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__________ z1·(z2·z3) z1z2＋z1z3
实部相等，虚部互为相反数 a－bi
问题探究 2．z2与|z|2有什么关系？ 提示：当z∈R时，z2＝|z|2，当z为虚数时，z2≠|z|2，但|z|2＝|z2|. 3．对于复数z，z·0＝0成立吗？ 提示：仍然成立．
(1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等． 课堂互动讲练 考点突破 复数的乘除法 (1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等． (2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．
【思路点拨】 前2个小题按复数的乘法法则，能用乘法公式的要利用乘法公式，第(3)题是含幂运算的问题，可用i的性质． 例1 【思路点拨】 前2个小题按复数的乘法法则，能用乘法公式的要利用乘法公式，第(3)题是含幂运算的问题，可用i的性质．
【思维总结】 对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算括号．
解：原式＝－2i＋2i＋3－i－i＝3－2i.
共轭复数 例2
【思维总结】 本题充分利用了共轭复数的有关性质，使问题直接化简为2x＋1＝0而不是直接把z＝x＋yi代入等式．
i的运算性质及应用 虚数单位i的周期性： (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． n也可以推广到整数集．
计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010. 【思路点拨】 解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简． 例3
法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0， ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)， ∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010) ＝i－1＋0＝－1＋i. 【思维总结】 等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
变式训练3 计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值．
方法感悟 方法技巧 1．复数的乘法运算法则的记忆 复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简． 2．复数的除法运算法则的记忆 复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.如例1(3)
失误防范 1．z1＋z2＝0只是z1与z2共轭的必要条件． 2．在复数的乘除法中，注意要把i2化为－1后再化简．
知能优化训练
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