~書報討論~ 國小數學教材分析 ---分數的數概念與運算 指導教授：葉啟村 老師 研究生：陳伶伶 學號：9117212

內容綱要 壹、目標導向的發展式數學教學觀對分數教材的主張 一、分數的多重意義 二、82年版部編本對分數問題情境範圍的分類 三、分數學習概念的發展 四、分數概念發展---發展新計數單位的一個階段

內容綱要 貳、目標導向的發展式數學教學觀對分數加減教材的主張 一、分數加減法概念的本質 二、如何幫助學童發展分數加減法概念 三、分數加減法問題類型 四、.分數加減運算格式紀錄的處理 五、異分母分數加減法的成人算則 六、分數問題與對等問題的解題工具： 成比例線段圖 七、最簡分數的問題

內容綱要 參、目標導向的發展式數學教學觀對於分數乘除法教材的主張 一、分數乘法教材的主張 二、分數乘法問題的難易類型及學童的可能策略 三、分數乘法成人算則 四、分數除法教材的主張 五、分數除法成人算則

分數的多重意義 壹、目標導向的發展式數學教學觀對分數教材的主張 1.分數的原始意義： 把一個或多個基準單位量（如一盒蘋果，一條繩 子）透過分割活動成為n等份，而再合成m等份， 命名為n分之m，記為 m/n。      2.分數與有理數的區別： (1)  所有等值分數所成的集合稱為等價集。 (2) 有理數是所有分數的等價集所成的集合。

分數的多重意義 3.符號m/n的雙重意義： (1)分數1/2 (2)有理數［1/2］ P.S.有理數與分數的區別，旨在幫助教師釐清觀念，勿給予學童有關有理數的任何知識。

分數的多重意義 4.分數記號的橫線就是等同於除法的運算嗎 ﹖ (1)目標導向的發展式數學教學觀主張： 國小教材中的算式，是用來紀錄某一類 情境問題的解題活動和結果。 (2)透過如「把3個西瓜平分給8個人，一人可 以分得多少個西瓜?」這問題，引入算式 「3÷8=3/8」藉已逐漸發展分數的另一意義 (即分數是除法的概念) (3)算式中的「=」只是得到的結果，而不可逆 推。

分數的多重意義 5.比與分數的轉換，可以直接定義嗎﹖ 目標導向的發展式數學主張： 國小教材儘可能的不使用抽象的直接定義， 如果要引入需找到某類情境問題。  

82年版部編本對分數問題情境範圍的分類 (一)依據分數數詞所描述的量的計數性質，82年版將分數問 題情境分為三類： 1.基準單位量是連續量的情境：如「條」繩子。 2.基準單位量是離散量的情境：在一打鉛筆有12枝的情境 下，討論「打」鉛筆。 3.基準單位量是全部的情境：在全部有12支鉛筆情境，將 12枝視為單位量1，討論「全部的」。

82年版部編本對分數問題情境範圍的分類 (二)關於這三類分數情境問題教學時須注意的事項 1.學童尚需透過等分割活動才能掌握分數的意義， 所以在布置連續量問題情境時，需提供實際的 物件(如一條繩子、一張色紙)，或使用兒童已熟 悉的物件來描述(如一個蛋糕)，讓學童在心像上 能產生一確定的量。

82年版部編本對分數問題情境範圍的分類 2.佈置離散量與全部為單位量的問題情境時，需清楚 的描述「1」單位中內容的量。 3.當1單位是離散量時，82年版又依單位分數 的內容 物個數，將分數問題情境分為三類：

82年版部編本對分數問題情境範圍的分類 單位分數內容 問題實例 實施年級 單一個物 3個蘋果裝一盒，。1/3盒有一個蘋果 二下~三下 多個個物 (單位分數內容物為整數個個物 ) 6個蘋果裝一盒，1/3盒有2個蘋果 四上 (單位分數內容物為非整數個個物) 2個蘋果裝一盒，1/3盒有2/3個蘋果 五下

分數學習概念的發展 (一)分數學習的起點 : 由等分割再合成其數分的活動，藉此命名單位分數、 真分數、假分數，以建立分數的數詞序列。 (二)如何幫助學童分數概念的發展 1.學童需藉由實際的操作，或在心理操作等分割及再合 成數份的活動，來掌握分數的意義，因此儘量將分割份 數限制在36以內。

分數學習概念的發展 2.學童宜選用適當的表徵物，如用線段表示一條繩子， 使操作得以保留過程的痕跡。 3.進行各類情境的分數問題，以豐富分數的意義。 4.以學童能自行解題為起點，逐漸使學童的解題策略 朝向成人算則發展。

分數概念發展---發展新計數單位的一個階段 計數系統的發展上，人們先發展了比1大的計數單 位，如2、5、10---，進一步的發展了比1小的計數單 位，如1/2、1/3、1/5---，所以學童數概念的發展， 整數的單位量轉換活動概念的成熟是分數概念發展的重 要因素

分數加減法概念的本質 貳、目標導向的發展式數學教學觀 對分數加減教材的主張 對於各種類型的分數加減法問題，會引發 一個個的解題活動，而由這些解題活動所抽 出的共同性質即是分數加減法概念 。

如何幫助學童發展分數加減法概念 教材及教師應布置各種類型的分數加法 問題，由學童自行解題，隨著對分數問題解 題活動的增加，使得分數加減法概念得以發 展

分數加減法問題類型 兩分母 問題類型 例子 同分母 連續量 這是一條繩子，4/7條繩子和2/7條繩子，合起來和多少條繩子一樣長(三下) 離散量 10個蛋糕裝一盒，哥哥有5/10盒，媽媽再給他2/10盒，合起來有多少盒(三下) 異分母 一瓶鮮乳，小明喝了5/12瓶，小英喝了3/8瓶，兩人共喝了多少瓶鮮乳(六上) 一一盒巧克力有35顆。3/7盒巧克力和2/5盒巧克力，合起來是多少盒？（六上）   以全部為基準單位量「1」   家裡冰箱有40個巧克力。妹妹自己拿了全部的3/10，媽媽再給妹妹全部的7/20,妹妹的巧克力是全部的多少（82年部編本沒有活動） 一包糖包糖重2公斤。培文煮紅豆湯用了2/5包糖，做蛋糕用了3/7包 糖。算算看，培文共用了多少包糖（本問題雖是連續量情境問題， 但由於連續量離散化的結果，可視 為離散量問題。） 離散量 （單位分數內容為非整數個）

分數加減運算格式紀錄的處理 1.分數加減乘除算式填充題能成為問題紀錄的 工具，是由整數加減乘除法問題的算式填充題 紀錄能力遷移而來。 2.分數加減乘除算式填充題只引入用以紀錄其 量的情境文字題。 3.不可直接布純分數的算式填充題給學童解題。

異分母分數加減法的成人算則 82年版的課程反對用「口訣」來引入所有數學問題 的成人算則。 2.異分母的分數加減法的成人算則是指把兩異分母分 別擴分（或約分）成同分母的等值分數，加起來之後 再約成最簡分數的結果。 *目標導向的發展式數學課程主張，透過問題情境的限 制要求學童自行由解題中發展成人算則。

異分母分數加減法的成人算則 3.異分母分數之比較及加減問題的成人算則的意義為： 兩異分母分數分別使用兩個測量單位（其單位分數） 來表示兩量，二者的測量單位都不是整數了，無法比 較，所以必須尋找一個公共測量單位（最好是單位分 數）。 （例如：36顆糖果裝一盒，2/3盒、3/4盒，誰比較多？多多少盒？）

異分母分數加減法的成人算則 4.異分母分數的比較，合成及分解，學童最大的 困難是尋找公共測量單位，82年版課程建議： (1)先透過把分數所表徵的量和單位量並置限制， 培養學童製作成比例線段圖的能力 (2)把兩異分母分數及基準單量「1」製作成並置的 成比例線段圖，透過再等分割成比例線段圖(等同 於再等分割兩異分母分數)的方式，尋找公共測量 單位

異分母分數加減法的成人算則 (3)用此公共測量單位來描述兩異分母分數， 進行比較、合成及分解活動 (4)最後把結果透過合併分割份數的方式，約分成為簡分數。

分數問題與對等問題的解題工具 成比例線段圖 1.成比例線段圖的意義：用數條成比例的線段來表 徵問題中所描述的數量關係。 **線段圖是圖像表徵的一種，使用線段圖來表現文字描述的問題，能使問題中數量間的關係具體化，當學童能用成比例的線段圖來表現對等關係（比的具體情境）或分數問題中的數量後，可以依題意加以操作（常是進行再等分割活動）成比例線段圖，因而獲得結果。

成比例線段圖 **82年版部編本自五上開始進行一些作「成比 例線段圖」的活動，其目標在建立學童作線段圖 的能力，使線段圖成為數學問題的解題工具。 **學童需透過活動的討論與澄清製作成比例的線段圖， 在圖中，各線段的長度須符合原問題中的數量關係， 將要表徵兩數量關係具體化，這對於在分數量感上陌生的同學而言，有重要的幫助。

成比例線段圖 2.成比例線段圖的困難及其解決之道： 在分數的分數倍或異分母分數比較的問題中皆需對 分數進行等分割活動，學童才能理解其解題過程。 (1)離散量問題情境： 如果重新等分割後，其內容物仍是整數個時，可採用 訴諸內容物的策略完成解題!

成比例線段圖 (2)連續量問題情境： 如「1/5條繩子和2/7條繩子，哪一條繩子比較長？」 學童必須對分數所指示的分量進行等分割活動，但等分 割的技術有很高難度。 **82年版部編本的做法：建議教師要求學童，先考慮基準量「1」要表示成多少公分長，才能使各個分數都能用整公分的方式來表現，在這樣的限制之下，即使對分數進行等分割活動，其結果仍為1公分的整數倍，這使得線段圖成為可被等分割操作的具體物。

成比例線段圖 3.成比例線段圖是「分數意義」及「比」的 圖像表徵，透過線段圖的操作，學童可具體 地掌握分數或比的關係，並了解分數與比之 間活動轉換的意義。

最簡分數的問題 1.現階段的學童(測量運思)尚須依賴等分割活動來 掌握分數的意義，當分割份數(分母)不同時，則等 值分數具有不同的意義。 2.82年版部編本建議在五年級下學期教材中， 陸 續地進行異分母分數的比較活動，學童需 要透過 兩分數所指示的量的比較，才能確定兩異分母分 數是否等值。

最簡分數的問題 3.當學童尚需透過比較活動來判斷分數是否等值時，在概念上亦不容易瞭解分子、分母同除以一數來進行約分的程序。因此，在五年級下學期的分數問題中，皆不要求使用最簡分數來呈現解答，等待六年級時，累積較多經驗後，再開始討論最簡分數的問題。 4.在不要求使用最簡分數做答時，同一問題可能出現不同形式的答案，82年課程建議教師宜隨時進行不同答案的比較活動，一方面討論各種答案都合理且可以接受的，另一方面累積等值分數的經驗。

參、目標導向的發展式數學教學觀對於分數 乘除法教材的主張

分數乘法教材的主張 1.以「單位量轉換的觀點」處理「分數乘除法教材」 「單位量轉換觀點」是指：同一種量的情境，可以 選用不同的單位量描述。 **當學童進行分數倍的問題時，分數乘法算式 「2×1/4=1/2」的意義乃是建立在「1/4個2合起來是 1/2」上，只是此時等分割活動是學童的解題工具。

分數乘法教材的主張 2.分數乘法問題格式紀錄的引入重要觀點 (1)在學童有若干次解決「分數乘法情境文字題」成功之後，再引入分數乘法算式摘要紀錄 (2)分數的整數倍(較簡單)和整數的分數倍，是不同的解題活動方式，因此學童視為不同類型問題，建議教師應分別引入其算式摘要紀錄 (3)教師可隨時要求學童紀錄其解題過程以加速分 數乘法概念的形成，

分數乘法教材的主張 (4)有了分數乘法算式後，藉學童「整數乘法問題 紀錄」的經驗，直接要求學童對「分數乘法情境 文字題」進行「先把問題用算式填充題記下來」 後再算算看； (5)分數的所有加減乘除算式填充題只用來記錄分數 情境文字題，不布純分數的算式填充題給予學童 解題。

分數乘法問題的難易類型及學童的可能策略 1.分數乘法問題的難易分類 分數乘法問題類型由其對學童解題活動的難易可概略分為三類 (1)分數乘以整數；(2)整數乘以分數；(3)分數乘以分數； 2.「分數的整數倍問題」兒童可能的解題策略 3.「整數或分數的分數倍問題」學童可能的解題策略 (1)訴諸內容物的觀點來進行解題； (2)嘗試由等分割或再等分割份數的觀點來解題

分數乘法成人算則 1.分數乘法成人算則是指：「分子乘以分子，分母乘以分母」的解題策略 2.透過使用未定數值的基準單位量「1」的問題情 境，迫使學童無法使用訴諸內容物的解題策略， 不得不使用訴諸分割份數的觀點來解題。 3. 82年版課程的重點是幫助學童透過由等分割份 數的觀點解題後，透過反省及重述其解題過程， 經驗「分母 ×分母 ，分子 ×分子」的意義。

分數除法教材的主張 1.由「單位量轉換」到「當量轉換」觀點 (1) 「單位量轉換」觀點 包含除：總量÷新單位量=新單位數 等分除：總量÷新單位數=新單位量 (2) 「當量轉換」觀點 當量除：當量值÷單位當量=當量數 當量值÷當量數=單位當量 2.分數及小數除法中「相當於」的意義

分數除法成人算則 1.分數除法成人算則 「被乘數乘以除數的分子分母顛倒後的分數」 的策略來解題 2.希望由學童自行解題的情境中，透過限制使 用把「被除數與除數同時轉換成以除數為新單 位」的方法來引入分數除法成人算則，並建立 其意義。（不引入顛倒相乘的算法）  

分數除法成人算則 2. 被除數與除數同時轉換成新單位 （1）對於「分數÷分數」包含除語意的情境文字題，例如 「一包糖重1/20公斤，老闆買了18/20公斤的糖，然後 把3/20公斤裝成一罐，全部裝完，可以裝成多少 罐？」，初步布題仍建議給予自然單位「一包糖重1/20 公斤」，引導學童選用新單位「一包」或「1/20公斤」 來進行將被除數與除數同時轉換單位，如此可將「分數÷ 分數」問題轉成「整數÷整數」的問題。

分數除法成人算則 （2）82年版部編本只進行「把被除數除與除數同時 轉換為引『被除數與除數的公共測量單位（即 通分後的單位分數）為新單位』」的解題活動， 也就是說，82年版部編本只進行透過通分來解 決異分母的除法問題，而未引入現今大人們所使 用的分數除法成人算則（顛倒相乘），其理由應 是大部分學童不能理解。

分數除法成人算則 (3)透過被除數與除數同時轉換成另一新單位的方式來解 決上述的這些國小數學問題，其過程並未改變原問題中被除數與除數所描述的量，只是改變了計算單位， 故學童也可理解所得到的答案（商和餘數）也應是原問題的答案。 (4)但如果教師使用把被除數與除數同乘或同除若干倍的觀點來解題，例如原問題「196000÷3000」和新問題「196÷3」，教師恐難以說明這樣的規 則「被除數與除數同乘n倍，其商不變，餘數也變成n倍」，因為這是高中數學課本中的定理。

~The End~