第二讲 若干数学问题中的数学文化

第一节 毕达哥拉斯学派与

1. 毕达哥拉斯（Pythagoras约前 572年—前 500年） 毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。 毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。

2. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献 1）数学证明的起始 2）数学抽象的提出 3）毕达哥拉斯定理

3. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说 1）“万物皆数”学说 。 ①数，是世界的法则和关系 毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它 们的比 n/m ，即正分数。 ②任意两条线段都是可公度的 “可公度的”，意即有公共的度量单位。

2）实例 ① 形数 ② 多个场合下的小整数比

二、 与第一次数学危机 1. 的发现和危机的产生 1）一个不能表成整数比的数 2）不可公度的线段 3）危机产生，封锁消息 4）无理数

2. “两个量的比相等”的新定义 ——部分地消除了危机 两个量的比相等，即a /c=b/d

3. 无理数与数系的扩张 ——危机的解决 1）有理数的稠密性 定理：有理数集在数轴上是稠密的。 2）数轴 3）数系的扩张——危机的解决

[思考]： 能说任何两个有理数之间都有无理数吗？ 为什么？

三、反证法与无理数 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？

（*） 在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？ 如果是0，上式左端当 成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不是0，上式右端的 就不能任意去掉。 在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？ 因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以0，得出5=3一样的荒谬。

对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是， 贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和 都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。 这就是著名的“贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是， 贝克莱的质问是击中要害的

数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。 直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。 直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。

3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”

2．危机的实质 第一次数学危机的实质是 “ 不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。

其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比——例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”。 他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。

德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。 正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。

牛顿 莱布尼茨

3．危机的解决 1）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。

而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。

因此，进入19世纪时，一方面微积 分取得的成就超出人们的预料，另一方 面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基础，因此不能保证数学结论是正确无误的。 历史要求为微积分学说奠基。

2）严格的极限理论的建立 到19世纪，一批杰出数学家辛勤、 天才的工作，终于逐步建立了严格的极限 理论，并把它作为微积分的基础。 应该指出，严格的极限理论的建立是 逐步的、漫长的。

① 在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。 ② 达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。 ③ 19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的《无穷的悖论》一书中包含许多真知灼见。 ④ 而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西

A.L.Cauchy,1789—1857）。他在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。

柯西 波尔查诺

3）严格的实数理论的建立 ① 对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。

一件事是，1874年德国数学家魏尔斯特拉斯（K. T. W 一件事是，1874年德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，1815—1897）构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数”。 “连续函数”在直观上是“函数曲线没有间断，连在一起”，而“函数在一点可导”直观上是“函数曲线在该点有切线”。所以，在直观上“连续”与“可导”有密切的联系。 这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有“点点连续而点点不可导的函数”。

魏尔斯特拉斯(1815～1897) 德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。1842～1856年，先后在几所中学任教。1854年3月31日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，1864年升为教授。

魏尔斯特拉斯 关于 “点点连续而点点不可导的函数”的例子是 其中a是奇数，b∊(0,1) ,使得

另一件事是德国数学家黎曼 （B.Riemann，1826—1866）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。 黎曼还造出一个函数，当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。

黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学， 1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。

这些例子使数学家们越来越明白，（问？） 在为分析建立一个完善的基础方面，还需要再前进一步：即需要理解和阐明实数系的更深刻的性质。

一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确的“ ”语言。 ② 魏尔斯特拉斯的贡献 德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815—1897）的努力，终于使分析学从完全依靠运动学、直观理解和几何概念中解放出来。他的成功产生了深远的影响，主要表现在两方面， 一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确的“ ”语言。

“ε-δ ”语言的成功，表现在： 这一语言给出极限的准确描述，消除 了历史上各种模糊的用语，诸如“最终 比”、“无限地趋近于”，等等。 这样一来，分析中的所有基本概念都可以通过实数和它们的基本运算和关系精确地表述出来。

4）极限的“ε-δ ”定义及“贝克莱悖论” 的消除 ① 极限的“ε-δ ”定义

定义：设函数 f(x) 在x0 的附近都有定义(x0可能除外)，如果有一个确定的实数a, 对任意ε>0, （无论多么小的正数ε）,都存在δ>0(都能找到一个正数δ，依赖于ε），使当0<|x- x0 |< δ时（满足不等式 |x- x0 |< δ 的所有不等于x0的x ),有 |f(x)- a |<ε （这些 x对应的函数值f(x) 与a的差小于预先给定的任意小的ε）我们就说“函数 f(x)在 x趋近于 x0时 ，有极限 a” 。 记为

由极限的这个 “ ”定义，可以求 出一些基本的极限，并严格地建立一整套 丰富的极限理论。简单说，例如有 两个相等的函数，取极限后仍相等； 两个函数，和的极限等于极限的和。 等等。 由此再建立严格的微积分理论。

② “贝克莱悖论”的消除 回到牛顿的式上： （*） 这是在 （即 ）条件下，得到的等式；它表明 时间内物体的平均速度为 。 （*）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当 趋于0时的极限，即 物体在 时刻的瞬时速度= 。

下边我们对（*）式的等号两边同时取 极限 ，根据“两个相等的函数取极 限后仍相等”，得 瞬时速度= 再根据“两个函数和的极限等于极限的 和”，得 然后再求极限得

上述过程所得结论与牛顿原先的结论 是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基 础。“贝克莱悖论”的焦点“无穷小量 是 不是0？”，在这里给出了明确的回答： 。 这里也没有“最终比”或“无限趋近于” 那样含糊不清的说法。

总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）基础的“逻辑顺序”是： 实数理论—极限理论—微积分。 而“历史顺序”则正好相反。

知识的逻辑顺序与 历史顺序有时是不同的.

三、第三次数学危机 1．“数学基础”的曙光——集合论 到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。

其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是“以整数、分数等组成的集合”；微积分的对象可说成是“以函数等组成的集合”；几何的对象可说成是“以点、线、面等组成的集合”。这样一来，都是以集合为对象了。集合成了更基本的概念。

于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”的危机。尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在 我们可以说，完全的严格性已经达到了！”

础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数 集合加上0——现在我国中小学就把这一集合 称为自然数集合。 （算术）非负整数n→有理数 2．算术的集合论基础 1）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基 础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数 集合加上0——现在我国中小学就把这一集合 称为自然数集合。 （算术）非负整数n→有理数 实数 复数 图形

因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，全部数学都可以归结为算术了。 这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个“数学基础”的问题。 法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格 （G.Frege,1848—1925）就做了这样的工作。他写了一本名叫《算术基础》的书。

弗雷格 《算术基础》

2) 弗雷格的《算术基础》 为了使算术建立在集合论的基础上，所有的非负整数，都需要用集合论的观点和语言重新定义。 首先从0说起。0是什么？ 应当先回答0是什么，然后才有表示“0”的符号。

为此，先定义“空集”。空集是“不含元 素的集合”。例如，“ 方程 在实 数集中的根的集合 ”就是一个空集，再例 素的集合”。例如，“ 方程 在实 数集中的根的集合 ”就是一个空集，再例 如“由最大的正整数组成的集合”也是一个 空集。

所有的空集放在一起，作成一个集合的集合，（为说话简单我们把“集合的集合”称作类），这个类，就可以给它一个符号：0，中国人念“ling”，英国人念“Zero”。 空集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是一个元素了，即，0是一个元素了。由它再作成一个集合{0}，则不是空集了。

弗雷格再定义两个集合间的双射：既是满射又是单射的映射叫作双射，也称可逆映射；通俗地说，就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回地映射，所以一般称为“双射”。 弗雷格再定义两个集合的“等价”： ， 能够在其间建立双射的两个集合A、B称为“等价”。

下边可以定义“1”了。把与集合{0}等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：1。 再定义“2”。把与集合{0，1}等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就叫：2。 然后，把与{0，1，2}等价的集合作成的类，叫：3。

一般地，在有了0，1，2，…，n的 定义后，就把所有与集合{0，1，2，…， n}等价的集合放在一起，作成集合的集 合，这样的类，定义为：n+1。 这种定义概念的方法，叫作“归纳定 义”的方法。

这样，弗雷格就从空集出发，而仅仅 用到集合及集合等价的概念，把全部非负 整数定义出来了。于是根据上边说的“可 以把全部数学归结为非负整数”，就可以 说，全部数学可以建立在集合论的基础上 了。

3． 罗素的“集合论悖论”引发危机 1） 悖论引起震憾和危机 正当弗雷格即将出版他的《算术基 础》一书的时候，罗素的集合论悖论出来 了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学 已经建立起来！”之后刚刚两年，即1902 年。

伯特兰·罗素（1872-1970）Russell, Bertrand Arthur William(Third Earl Russell) 出生年月：1872-1970 国籍：英国 学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。 所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。 罗素

集合论中居然有逻辑上的矛盾！ 倾刻之间，算术的基础动摇了，整个 数学的基础似乎也动摇了。这一动摇所带 来的震憾是空前的。许多原先为集合论兴 高采烈的数学家发出哀叹：我们的数学就 是建立在这样的基础上的吗？ 罗素悖论引发的危机，就称为第三次 数学危机。

罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷 格。弗雷格在他的《算术基础》一书的末 尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的 最不愉快的事莫过于，当他的工作完成 时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗 素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境 地。”

2） 罗素悖论 在叙述罗素悖论之前,我们先注意到 下边的事实：一个集合或者是它本身的成 员(元素),或者不是它本身的成员(元素)， 两者必居其一。罗素把前者称为“异常集 合”，把后者称为“正常集合”。

例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是“正常集合”。

所有集合的集合”（所有异常集合的集合）， 而以 表示“不是它本身成员的所有集合的集 合”（所有正常集合的集合），于是任一集合 罗素悖论是：以 表示“是其本身成员的 所有集合的集合”（所有异常集合的集合）， 而以 表示“不是它本身成员的所有集合的集 合”（所有正常集合的集合），于是任一集合 或者属于 ，或者属于 ，两者必居其一，且 只居其一。然后问：集合 是否是它本身的 成员？（集合 是否是异常集合？）

如果 是它本身的成员，则按 及 的定 义， 是 的成员，而不是 的成员，即 不 是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果 是它本身的成员，则按 及 的定 义， 是 的成员，而不是 的成员，即 不 是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果 不是它本身的成员，则按 及 的定义， 是 的成员，而不是 的成员，即 是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。

罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？ 如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。

4． 危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。 人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。

这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。 罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是“自我指谓”。即，一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。 例如，悖论中定义“不属于自身的集合”时，涉及到“自身”这个待定义的对象。

为了消除悖论，数学家们要将康托 “朴素的集合论”加以公理化；并且规定构 造集合的原则，例如，不允许出现“所有 集合的集合”、“一切属于自身的集合”这 样的集合。

这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。 1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。 这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。

但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。 这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。

四、 三次数学危机与“无穷”的联系 我们过去就说过，无穷与有穷有本质 的区别。 现在我们可以总结说，三次数学危机 都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有 关。

第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。 由于当时尚未真正认识无穷，所以那时对第一次数学危机的解决并不彻底；第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的19世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差不多是与第二次数学危机同时，才被彻底解决的。

第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。 由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。

第三次数学危机的要害，是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合，人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。 以上事实告诉我们，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到无穷时，要格外地小心；而高等数学则是经常与无穷打交道的。

本节结束 谢谢

牛顿