本講義為使用｢訊號與系統，王小川編寫，全華圖書公司出版」之輔助教材 講義 四 傅立葉轉換 本講義為使用｢訊號與系統，王小川編寫，全華圖書公司出版」之輔助教材 SAS-04

第四章 傅立葉轉換 4.1 非週期性離散時間訊號的傅立葉轉換 4.2 基本離散時間訊號的傅立葉轉換 4.3 非週期性連續時間訊號的傅立葉轉換 4.4 基本連續時間訊號的傅立葉轉換 4.5 離散時間傅立葉轉換的特性 4.6 連續時間傅立葉轉換的特性 4.7 逆向傅立葉轉換的計算 4.8 傅立葉轉換與傅立葉級數的對偶性 4.9 週期性訊號的傅立葉轉換 4.10 對離散時間訊號作連續時間傅立葉轉換 4.11 週期性訊號與非週期性訊號的混合演算 SAS-04

4.1 非週期性離散時間訊號的傅立葉轉換 基礎函數 的特性 從離散時間LTI系統的脈衝響應 與頻率響應 的關係， 基礎函數 的特性 從離散時間LTI系統的脈衝響應 與頻率響應 的關係， (1) 週期為 的週期性函數 延伸到任意一個離散時間訊號，得到以下演算式， (2)在一個週期內的積分具有正交特性 這就是離散時間傅立葉轉換(Discrete-time Fourier transform, DTFT) SAS-04

這就是離散時間的逆向傅立葉轉換(inverse Fourier transform) 將式中的m 改為 n， 這就是離散時間的逆向傅立葉轉換(inverse Fourier transform) 收斂條件(convergence condition) 或 (絕對可加性) SAS-04

4.2 基本離散時間訊號的傅立葉轉換 (1)矩形脈波(Rectangular wave) 離散時間的矩形脈波描述如下， 計算其傅立葉轉換 SAS-04

◆例題4.1 矩形視窗及其頻譜 SAS-04

(2)矩形頻譜(Rectangular spectrum) 計算其逆向傅立葉轉換 矩形頻譜在頻域中表示成 SAS-04

是一個週期為 2π 的函數，我們只觀察其在0到 π 這個半週期內的性質，可以知道它是低通濾波器。 ◆例題4.2 低通濾波器及其脈衝響應 是一個週期為 2π 的函數，我們只觀察其在0到 π 這個半週期內的性質，可以知道它是低通濾波器。 SAS-04

(3)指數函數(Exponential signal) SAS-04

◆例題4.3 離散時間指數函數 SAS-04

(4)脈衝函數(Impulse function) (5)常數(Constant) 是一個週期為 的函數，因此修正之後得到 SAS-04

(6)步進函數(Step function) 依據離散時間傅立葉轉換對時間累加的特性，需要加上對應在 的常數項，以反應 的平均值不等於0。 是一個週期為 的函數，因此修正之後得到 SAS-04

4.3 非週期性連續時間訊號的傅立葉轉換 用傅立葉級數來表示週期性訊號 假設我們讓 範圍內的一個週期訊號保留，只是將週期延長為 ， ，仍以傅立葉級數來表示，寫成 如果 以 代表趨近於0的 ， 這就是傅立葉轉換(Fourier transform, FT) SAS-04

這就是連續時間的逆向傅立葉轉換(inverse Fourier transform) 收斂條件 或 SAS-04

4.4 基本連續時間訊號的傅立葉轉換 (1)矩形脈波(Rectangular wave) 連續時間的矩形脈波描述如下， SAS-04

◆例題4.4 連續時間的矩形脈波 SAS-04

(2)矩形頻譜(Rectangular spectrum) 頻域上的矩形頻譜表示成 SAS-04

◆例題4.5 連續時間的低通濾波器 SAS-04

(3)指數函數(Exponential signal) SAS-04

◆例題4.6 指數函數 SAS-04

(4)脈衝函數(Impulse function) (5)常數(Constant) SAS-04

(6)步進函數(Step function) 依據連續時間傅立葉轉換對時間積分的特性，需要加上對應在 的常數項，以反應 的平均值不等於0。 SAS-04

4.5 離散時間傅立葉轉換的特性 (1)線性特性(Linearity) SAS-04

共軛對稱的(conjugate symmetric)特性 (2)對稱特性(Symmetric property) : imaginary : real SAS-04

: real and even : real and odd : imaginary : real SAS-04

(3)時間偏移(Time Shifting) 在時域上的時間偏移，對應在頻域上造成頻譜的相位改變。 SAS-04

◆例題4.7 離散時間訊號的時間提前 SAS-04

SAS-04

(4)頻率偏移(Frequency Shifting) 在頻域上作相位偏移，即造成時域上的波形乘上弦波函數。 SAS-04

◆例題4.8 以頻率偏移方式得到高通濾波器 LPF HPF SAS-04

HPF LPF SAS-04

在時域中兩個訊號作捲加演算，在頻域中就是兩個傅立葉轉換相乘。 (5)捲迴特性(Convolution) 在時域中兩個訊號作捲加演算，在頻域中就是兩個傅立葉轉換相乘。 SAS-04

◆例題4.9 兩個離散時間訊號作捲加演算 SAS-04

SAS-04

SAS-04

(6)乘法特性(Multiplication) 兩個訊號在時域中相乘，對應在頻域中是兩個傅立葉轉換作捲積演算。 SAS-04

(7)對時間的差分(Difference in time) ◆例題4.10 時間的差分 ◆例題4.10 時間的差分 SAS-04

(8)對時間的累加(Time Accumulation) 差分演算，會讓 所含有的常數項被消掉，這個時域中的常數項對應在頻域中 的位置。因為 是週期為2 的函數，時域中的常數項也對應在頻域中 的位置，因此應該修改成 SAS-04

◆例題4.11 驗證步進函數的傅立葉轉換 另一個做法 SAS-04

SAS-04

(9)對頻率的微分(Differentiation in frequency) ◆例題4.12 對頻率的微分 ◆例題4.12 對頻率的微分 SAS-04

(10)時間比例調整(Time Scaling) ◆例題4.13 時間比例調整 ◆例題4.13 時間比例調整 在時域中序號 n 除以 p，即造成頻域中的角頻率乘上 p。 SAS-04

SAS-04

(11)帕沙夫關係式(Parseval’s Relationship) 在時域中計算的訊號平均功率等於在頻域中計算的訊號平均功率。 SAS-04

◆例題4.14 帕沙夫關係式的應用 計算以下訊號的能量 SAS-04

4.6 連續時間傅立葉轉換的特性 (1)線性特性(Linearity) SAS-04

共軛對稱的(conjugate symmetric)函數 (2)對稱特性(Symmetric property) : imaginary : real SAS-04

: real and even : real and odd : real : imaginary SAS-04

(3)時間偏移(Time Shifting) 在時域上的時間偏移，對應在頻域上造成頻譜的相位改變。 SAS-04

◆例題4.15 連續時間訊號的時間延遲 SAS-04

SAS-04

(4)頻率偏移(Frequency Shifting) 當一個訊號被乘上弦波函數時，其頻譜會被移到弦波的頻率，這也就是訊號調變(modulation)的原理。 SAS-04

◆例題4.16 低通濾波器的頻率偏移 SAS-04

SAS-04

在時域中兩個訊號作捲積演算，在頻域中就是兩個傅立葉轉換相乘。 (5)捲迴特性(Convolution) 在時域中兩個訊號作捲積演算，在頻域中就是兩個傅立葉轉換相乘。 SAS-04

(6)乘法特性(Multiplication) 兩個訊號在時域中相乘，對應在頻域中是兩個傅立葉轉換作捲積演算。 SAS-04

(7)對時間的微分(Differentiation in time) SAS-04

◆例題4.17 對時間的微分 SAS-04

SAS-04

(8)對時間的積分(Integration in time) 微分演算中，原來 所含有的常數項被消掉了，這個時域中的常數項對應在頻域中 的位置，當 的平均值不是0時，這個常數項就存在，因此應該修改成 SAS-04

◆例題4.18 驗證布步進函數的傅立葉轉換 另一個做法 SAS-04

(9)對頻率的微分(Differentiation in frequency) ◆例題4.19 對頻率的微分 ◆例題4.19 對頻率的微分 SAS-04

(10)時間比例調整(Time Scaling) SAS-04

SAS-04

◆例題4.20 時間比例調整的結果 SAS-04

SAS-04

(11)帕沙夫關係式(Parseval relationship ) 在時域中計算的訊號平均功率等於在頻域中計算的訊號平均功率。 SAS-04

4.7 逆向傅立葉轉換的計算 在許多情況下，已知離散時間傅立葉轉換是一個分數多項式， 解出分母多項式的根 SAS-04

因為傅立葉轉換是線性演算，所以有以下的對應關係， 的逆向傅立葉轉換就是 。 因為傅立葉轉換是線性演算，所以有以下的對應關係， SAS-04

◆例題4.21 從系統的頻率響應計算系統的脈衝響應 ◆例題4.21 從系統的頻率響應計算系統的脈衝響應 一個離散時間系統表示成如下的差分方程式， 作離散時間傅立葉轉換， 系統的頻率響應為 SAS-04

一個連續時間訊號的傅立葉轉換，其分數多項式為 對分母部分的多項式解根 SAS-04

因為傅立葉轉換是線性演算，所以有以下的對應關係， 的逆向傅立葉轉換就是 。 因為傅立葉轉換是線性演算，所以有以下的對應關係， SAS-04

◆例題4.22 逆向傅立葉轉換 SAS-04

4.8 傅立葉轉換與傅立葉級數的對偶性 傅立葉轉換與傅立葉級數的演算式，可以看到許多相似之處，據此我們可以歸納出它們之間的對偶性(duality)，利用對偶性我們可以簡化某些運算。 傅立葉轉換之對偶性 以兩個函數 與 取代 與 SAS-04

已知有 與 這對傅立葉轉換關係，若是在時域中有相同於 函數的波形 ，則其頻域就有相同於 函數的頻譜 。 已知有 與 這對傅立葉轉換關係，若是在時域中有相同於 函數的波形 ，則其頻域就有相同於 函數的頻譜 。 SAS-04

◆例題4.23 利用對偶性計算傅立葉轉換 SAS-04

SAS-04

離散時間傅立葉級數之對偶性 這一對演算式具有相同的運算， SAS-04

如果已知有 與 這對傅立葉級數關係，若是在時域中有相同於 函數的波形 ，則其頻域就有相同於 函數的頻譜 。 如果已知有 與 這對傅立葉級數關係，若是在時域中有相同於 函數的波形 ，則其頻域就有相同於 函數的頻譜 。 SAS-04

◆例題4.24 對偶性的應用 SAS-04

SAS-04

離散時間傅立葉轉換與傅立葉級數之對偶性 這一對演算式具有相同的運算， SAS-04

如果已知有 與 這對離散時間傅立葉轉換關係，若是在時域中有相同於 函數的波形 ，則其頻域就有相同於 函數的傅立葉級數係數 。 如果已知有 與 這對離散時間傅立葉轉換關係，若是在時域中有相同於 函數的波形 ，則其頻域就有相同於 函數的傅立葉級數係數 。 SAS-04

◆例題4.25 對偶性的應用 SAS-04

4.9 週期性訊號的傅立葉轉換 週期性離散時間訊號以傅立葉級數表示， 視為 的線性組合 其傅立葉轉換也是以 為組合係數的一組 作線性組合 視為 的線性組合 其傅立葉轉換也是以 為組合係數的一組 作線性組合 因為 是週期為 的週期性函數，所以 也會以 的間隔在頻域中重複出現。 SAS-04

這就是對週期性離散時間訊號作傅立葉轉換，以傅立葉級數係數表示。 合併簡化成 這就是對週期性離散時間訊號作傅立葉轉換，以傅立葉級數係數表示。 SAS-04

◆例題4.26 週期性訊號的傅立葉轉換 SAS-04

SAS-04

離散時間弦波訊號 是一個週期性訊號，對應常數 1 的傅立葉轉換是 ， 等於是 在頻域中作了頻率偏移。 離散時間弦波訊號 是一個週期性訊號，對應常數 1 的傅立葉轉換是 ， 等於是 在頻域中作了頻率偏移。 會以 的間隔在頻域中重複出現。 SAS-04

◆例題4.27 餘弦訊號的傅立葉轉換 SAS-04

◆例題4.28 正弦訊號的傅立葉轉換 SAS-04

對週期性訊號 作傅立葉轉換，其在頻域中 點上的值為 ， 連續時間週期性訊號以傅立葉級數表示， 視為 的線性組合 其傅立葉轉換也是 的線性組合， 對週期性訊號 作傅立葉轉換，其在頻域中 點上的值為 ， SAS-04

對連續時間的週期性訊號 作傅立葉轉換， 延伸到弦波訊號， SAS-04

◆例題4.29 對弦波訊號作傅立葉轉換 SAS-04

◆例題4.30 對週期性脈衝訊號作傅立葉轉換 SAS-04

4.10 對離散時間訊號作連續時間傅立葉轉換 離散時間訊號 是連續時間訊號 上時間點在 的值。 離散時間訊號 是連續時間訊號 上時間點在 的值。 只在時間 時才有值，這個訊號可以改寫成以脈衝訊號表示， 傅立葉轉換 SAS-04

一個週期性離散時間訊號 的傅立葉級數係數為 ，在 作傅立葉轉換時， 就是 Ω 取樣在 上的值， 一個週期性離散時間訊號 的傅立葉級數係數為 ，在 作傅立葉轉換時， 就是 Ω 取樣在 上的值， 將 代入，可以得到 SAS-04

依據脈衝函數的定義，積分結果要等於1，則等於是要求 以 來表示 將離散時間訊號以脈衝訊號表示，傅立葉轉換後在頻域中是取樣在 上。 SAS-04

◆例題4.31 對離散時間訊號作傅立葉轉換 SAS-04

SAS-04

4.11 週期性訊號與非週期性訊號的混合演算 一個離散時間系統的脈衝響應 輸入 是週期性訊號 系統的輸出就是捲加演算 其傅立葉級數係數為 輸入 是週期性訊號 系統的輸出就是捲加演算 其傅立葉級數係數為 對 的傅立葉轉換是 系統的脈衝響應 是非週期性訊號 SAS-04

一個連續時間系統的脈衝響應 輸入 是週期性訊號 系統的輸出就是捲積演算 其傅立葉級數係數為 對 的傅立葉轉換是 輸入 是週期性訊號 系統的輸出就是捲積演算 其傅立葉級數係數為 對 的傅立葉轉換是 系統的脈衝響應 是非週期性訊號 SAS-04

在時域中就是將週期性訊號 乘上非週期性的視窗訊號 ， 頻域中是其傅立葉轉換 與 的捲積演算， 在時域中就是將週期性訊號 乘上非週期性的視窗訊號 ， 頻域中是其傅立葉轉換 與 的捲積演算， SAS-04

同理，週期性連續時間訊號 被乘上一個非週期性的視窗訊號 ，在頻域中是傅立葉轉換的捲積演算， 同理，週期性連續時間訊號 被乘上一個非週期性的視窗訊號 ，在頻域中是傅立葉轉換的捲積演算， SAS-04