指 數 記 法 指 數 律 自我評量

有一個細菌，第 1 天後分裂為 2 個；第 2 天後又分別分裂為 2 個，總共分裂為 2 × 2＝4 個；第 3 天後又分別分裂為 2 個，總共分裂為 2 × 2 × 2＝8 個。照這樣的分裂方式繼續下去，第 10 天後，總共會有多少個細菌呢？

當然是 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2＝1024 （個）

為了讀寫的方便，我們將連續 10 個 2 相乘簡記成 210，讀做 「二的十次方」。在數學上，當同一個數 a 連乘 m 次時，我們可簡記成 am，讀做「a的 m 次方」，其中 a 為底數，m 為指數。 又如：(－3) × (－3) × (－3) × (－3)，簡記成(－3) 4 ，讀做「負三的四次方」，其中－3 為底數，4 為指數。

當指數為 1 時，通常省略不寫。例如，51 一般僅記為 5。 當底數為 0 時，01、02、03......、0n 的值都是 0 ，但是在國中階段，學習指數各種運算時，除非特別強調，一般都不討論底數等於 0 的情形。

(2)（－6）×（－6）×（－6）＝_________ 75 (－6 ) 3 搭配習作P16 基礎題 1 以指數記法簡記下列各式： (1) 7 × 7 × 7 × 7 × 7＝_________ (2)（－6）×（－6）×（－6）＝_________ 75 (－6 ) 3

(2)(－3)4 ＝(－3) × (－3) × (－3) × (－3)＝81 (3)－34＝－（3 × 3 × 3 × 3）＝－81 解 搭配習作P16 基礎題 2、3 1 指數的值 求下列各式的值： (1)27 (2)（－3） 4 (3)－34 (1)27＝2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2＝128 (2)(－3)4 ＝(－3) × (－3) × (－3) × (－3)＝81 (3)－34＝－（3 × 3 × 3 × 3）＝－81 解

求下列各式的值： (1) 36 (2)（－2）5 (3)－25 －32 729 －32

在 1-3 節我們學過：偶數個負數相乘，其積為正數；奇數個負數相乘，其積為負數。因此， 當 a＜0 時，若 m 為偶數，則 am 為正數；若 m 為奇數，則 am 為負數。

2 指數的應用 (1) 正方形的一邊長為 a 公分，求其面積是多少平方公分？ 解 (1)正方形的一邊長為 a 公分， 其面積是a × a＝a2（平方公分）。 a

2 指數的應用 (2) 正立方體的一邊長為 a 公分，求其體積是多少立方公分？ 解 (2)正立方體的一邊長為 a 公分， 其體積是 a × a × a＝a3（立方公分）。

(1)圓的半徑為 a 公分，則其面積是______平方公分。（圓周率用近似值 3.14 表示）

3 am×an＝am＋n (1)求 22×23 等於2的幾次方？ 解 搭配習作P17 基礎題 4(1) 3 am×an＝am＋n (1)求 22×23 等於2的幾次方？ 解 (1) 22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝2×2×2×2×2＝25 2個 3個 2＋3個

＝(－5) × (－5) × (－5) × (－5) × (－5) × (－5) 搭配習作P17 基礎題 4(1) 3 am×an＝am＋n (2)求 (－5)2×(－5)4 等於 －5 的幾次方？ 解 (2) (－5）2 ×（－5）4 ＝(－5) × (－5) × (－5) × (－5) × (－5) × (－5) ＝(－5)6 2個 4個 2＋4個

由例題3我們發現底數相同的兩數相乘，其積的底數不變，指數則為原兩指數的和。也就是說， 如果 m、n 是任意兩個正整數，a 是不等於 0 的整數，則 am×an＝am＋n。

在下列空格中填入適當的數： (1) 32×36＝3□ (2)（－7）4 ×（－7）3 ＝（－7）□ 8 7

4 am÷an＝am-n (1)求35÷33等於3的幾次方？ (2)求（－2）6÷（－2）2等於 －2 的幾次方？ (1) 35÷33＝ 解 搭配習作P17 基礎題 4(2) 4 am÷an＝am-n (1)求35÷33等於3的幾次方？ (2)求（－2）6÷（－2）2等於 －2 的幾次方？ (1) 35÷33＝ 解 5個 剩下5－3個 ＝ ＝ ＝ ＝35-3 ＝32 ＝ 3個

(2) (－2)6 ÷(－2)2 ＝ 解 剩下6－2個 ＝ ＝(－2)6-2 ＝(－2)4

由例題 4 我們發現底數相同的兩數相除，其商的底數不變，指數則為被除數的指數減去除數的指數。也就是說， 如果 m、n 是任意兩個正整數，m＞n，a 是不等於 0 的整數，則 am÷an＝am-n。

在下列空格中填入適當的數： (1) 28 ÷ 23＝2□ (2)（－5）5÷（－5）2＝（－5）□ 5 3

由前面所學的指數計算與指數律，當m為大於1的正整數時，2m÷2＝2m－1 。例如： 24÷2＝24－1＝23＝8 23÷2＝23－1＝22＝4 22÷2＝22－1＝21＝2 上面這些式子中的指數都是正整數，如果指數為 0 時，仍然要符合指數計算與指數律，則必須滿足 21÷2＝21－1＝20，因此，我們規定 20＝1。 ＝1

同樣的，如果指數為負整數時，也要符合指數計算與指數律，則必須滿足 20÷2 ＝ 20－1＝2－1 2－1＝ ＝1÷2 ＝ ＝ 1 2－1÷2 ＝ 2 (－1) －1 ＝2－2 2－2＝ ＝ ÷2 ＝ ＝ 2 2－2÷2 ＝ 2 (－2) －1 ＝2－3 2－3＝ ＝ ÷2 ＝ ＝ 3

因此，我們規定：當n是正整數時，2－n＝ 由上面例子的說明，我們可以規定： 若 a 為不是 0 的整數，且 n 為正整數，則 (1) a0＝1 (2) a －n＝

在下列空格中填入適當的數： (1) 32÷32＝3△＝□ (2) 72÷75＝7△＝ □ △＝0，□＝1 △＝－3，□＝3

5 指數為負整數的計算 計算下列各式的值： (1) 3－2 (2) (－2)－3 解 (1) 3－2＝ ＝ ＝ 搭配習作P17 基礎題 4(2) 5 指數為負整數的計算 計算下列各式的值： (1) 3－2 (2) (－2)－3 解 (1) 3－2＝ ＝ ＝ (2) (－2)－3＝ ＝ ＝

計算下列各式的值 (1) 5－3 (2) (－3)－4

因為23÷23＝ ＝ ＝1，而 23－3＝20＝1，所以23÷ 23＝23－3。從上面的例子可知，當m＝n時，am÷an＝am－n 仍然成立。 又因為33÷37＝ ＝ ＝ ，而 33－7＝3－4＝ ，所以 33÷37＝33－7。 從上面的例子可知，當m＜n時，am÷an＝am－n仍然成立。

計算下列各式的值，並比較(1)、(2)兩式的結果是否相等。 (1)10－4 (2)（0.1）4 搭配習作P17 基礎題 5(4) 6 指數為負整數的計算 計算下列各式的值，並比較(1)、(2)兩式的結果是否相等。 (1)10－4 (2)（0.1）4 10－4＝ ＝ ＝ (2)( 0.1 )4＝（0.1）×（0.1）×（0.1）×（0.1） ＝ ＝ 所以 (1)、(2) 兩式計算的結果相等 解

計算下列各式的值，並比較 (1)、(2)兩式的結果是否相等。 (1)10－3 (2)（0.1）3 相等 由例題 6 與隨堂練習，我們發現： 如果 n 是任意正整數，則10－n＝（0.1）n。

7 （am）n ＝am×n (1)求（23）4等於2的幾次方？ (2)求〔（－3）2〕3等於－3的幾次方？ 搭配習作P17 基礎題 5(3) 7 （am）n ＝am×n (1)求（23）4等於2的幾次方？ (2)求〔（－3）2〕3等於－3的幾次方？ (1)（23）4 ＝23×23×23×23 ＝23＋3＋3＋3 ＝23×4 ＝212 (2)〔（－3） 2〕3 ＝（－3）2 ×（－3）2 ×（－3）2 ＝（－3）2＋2＋2＝（－3）2×3＝（－3）6 解

由例題 7 我們發現： 如果 m、n 是任意兩個正整數，a 為不等於 0 的整數，則（am）n ＝am×n 。

(1)求( 32 )5等於 3 的幾次方？ (2)求〔(－5)3〕3等於 －5 的幾次方？ 10 9

8 （a × b）m＝am × bm 求下列各式的值： (1)（2 × 3） 4 (2) 24 × 34 解 搭配習作P17 基礎題 5(6) 8 （a × b）m＝am × bm 求下列各式的值： (1)（2 × 3） 4 (2) 24 × 34 解 (1) （2 × 3）4＝64＝6 × 6 × 6 × 6＝1296 (2) 24 × 34 ＝（2 × 2 × 2 × 2）×（3 × 3 × 3 × 3） ＝16 × 81＝1296

由例題 8 我們發現：（2 × 3）4 ＝24 × 34 。 事實上， (2 × 3)4＝（2 × 3）×（2 × 3）×（2 × 3）×（2 × 3） ＝ 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 ＝（2 × 2 × 2 × 2）×（3 × 3 × 3 × 3） ＝ 24 × 34

同樣地， 〔(－2) × －3)〕4 ＝〔(－2) × (－3)〕×〔(－2) × (－3)〕×〔(－2) × (－3)〕×〔(－2) × (－3)〕 ＝〔 (－2) ×(－2) × (－2) × (－2)〕×〔(－3) × (－3) × (－3) × (－3)〕 ＝ (－2) 4 × (－3) 4

一般來說， 如果m是任意正整數，a、b皆為不等於0的整數， 則（a × b）m＝am × bm 。

在下列空格中填入適當的數： (1) (5 × 4)3 ＝5□ × 4□ (2)〔(－3) × 6〕5 ＝(－3)□ × 6□ (3)〔(－7) × (－9)〕4 ＝(－7)□ × (－9)□ □＝3 □＝5 □＝4

9 含指數的運算 求下列各式的值： (1)125÷52＋43÷(－2)3 (2)36÷(－3)2＋(－42)×5 搭配習作P17 基礎題 6 9 含指數的運算 求下列各式的值： (1)125÷52＋43÷(－2)3 (2)36÷(－3)2＋(－42)×5 (1)125 ÷52＋43÷(－2)3 ＝125÷25＋64÷(－8) ＝5＋(－8)＝－3 (2) 36 ÷(－3)2 ＋(－42) ×5＝36÷9＋(－16)×5 ＝4＋(－80)＝－76 解

求下列各式的值： (1)128÷(－2)4 ÷(－23) (2)32 ÷(－4)2 －(－125)÷52 ＝－1 ＝7

10 指數的應用 假設於某項生物實驗中，細菌的數目原有7個，細菌數每經過1分鐘後增加為原來的2倍。問： (1) 3分鐘後的細菌數是多少個？ (2) 用指數表示10分鐘後的細菌數 是多少個。 (3) 用指數表示15分鐘後的細菌數是多少個。 (4) 15分鐘後的細菌數是10分鐘後細菌數的多少 倍？

(1)因為細菌數1分鐘後增加1倍，所以3分鐘後的細菌數有7 × 2 × 2 × 2＝7 × 23＝ 56 個。 (2)10分鐘後的細菌數有 7×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝7 × 210個。 (3)同理，15分鐘後的細菌數有7 × 215個。 (4) 所以15分鐘後的細菌數是10分鐘後細菌數的32倍。 解

假設於某項新實驗中，細菌的數目原有5個，細菌數每經過 1分鐘後增加為原來的3倍，試問： (1) 2分鐘後的細菌數是多少個？ (2)用指數表示20分鐘後的細菌數是多少個。 (3)用指數表示24分鐘後的細菌數是多少個。 (4) 24分鐘後的細菌數是20分鐘後細菌數的多少倍？ (1) 5×32＝45（個） (2) 5×320（個） (3) 5×324（個） (4) 81倍

1.指數記法：同一個數 a 連乘 m 次時，我們可簡記成 am，讀做「a 的 m 次方」，其中 a 為底數，m 為指數。 2.指數律： 如果 m、n 是任意兩個正整數，a、b 皆為不等於 0 的整數，則 (1) am × an＝am＋n (2) am ÷ an＝am－n (3)（am） n ＝am×n (4)（a×b）m＝am×bm

3.指數為0：若 a 為不是 0 的整數，則 a0 ＝1。 4.指數為負整數：若 a 為不是 0 的整數，且 n 為正整數，則 a－n＝ 。 5.10－n ：如果 n 是任意正整數，則 10－n＝( 0.1 )n 。

1-4 自我評量 1下列左右兩邊相等的值連起來： • 243 • －243 • 16 • －16 • • － • ( 0.1 ) 5 • －105 (1)( －3 )5 • (2)( －2 )4 • (3) 4－3 • (4) 10－5 •

2.求下列各式的值： (1) 210 (2) ( －4 )－2 (3) ( －7 )－3 1024 3.下列左右兩邊相等的值連起來： 35÷32 • ( 35 )2 • 35×32 • • 33 • 37 • 310

4.計算下列各式的值： (1) 63÷（－32） (2)（－5）2× 3 (3)（－2）5× 4＋52 (4)〔（－2）2〕3÷ 4 ＝－7 ＝75 ＝－103 ＝16 5.計算下列各式的值： (1) 36÷（－22）×（－3）2＋81÷（－3）3 (2) 43 ÷（－2）4 －56÷（－23） ＝－84 ＝11

6. (1)已知一正方形的邊長為8公分，若其面積是 2m平方公分，則 m＝？ (2)已知一正方體的邊長為8公分，若其體積是 2n立方公分，則 n＝？ (1) m＝6 (2) n＝9