4.1 立体表面的截交线  因截平面的截切，在物体上形成的平面——截断面  用平面与立体相交，截去体的一部分——截切  用以截切立体的平面——截平面  截平面与立体表面的交线——截交线  因截平面的截切，在物体上形成的平面——截断面

截交线的性质： ⒈ 是一封闭的平面图形。 ⒉ 截交线的形状取决于被截立 体的形状及截平面与立体的 相对位置。 截交线的投影的形状取决于 截平面与投影面的相对位置。 ⒊ 截交线是截平面与立体表面 的共有线。

平面截切的基本形式 截平面 截断面 截交线 截交线与截断面

一、平面体表面的截交线  截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。  截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 线的形状 ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 的投影特性 分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。

例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 ★ 空间分析 ★ 投影分析 ★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 Ⅰ Ⅳ 1 1 ● (4) 4 ● 2 ● Ⅱ 2 Ⅲ 3 3 ● ★ 空间分析 4 ● 截平面与体的几个棱面相交？ ★ 投影分析 交线的形状？ 3 ● 1 ● ★ 求截交线 截交线在俯、左视图上的形状？ 2 ● ★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性

例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 棱线法！ 我们采用的是哪种解题方法？

例2:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影 1 ׳ 2 1 ״ 2 作图方法: 3 ׳ 4 ״ 1 求棱线与截平面 的共有点 5 ׳ 6 ״ 7 ׳ ״ 2 连线 3分析棱线的投影 5 3 1 2 7 6 4

例3 ：补全俯视图和左视图的投影 1’ 1” 2’(3’) 3” 2” 5” 4” 4’(5’) 7’(6’) 6” 7” 6 7

例4： 求三棱锥立体被截切后的投影 1’ 1” 2’ 3’(4’) 4” 3” 4 2 1 3

例5:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。 检查截交线的投影 求截交线 P 截交线的投影特性？ 分析棱线的投影 截交线的形状？ 4≡5 5 4 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 7 6 3 2 2≡3≡6≡7 1≡8 8 1 7 8 5 6 截交线的投影特性？ 检查截交线的投影 分析棱线的投影 截交线的形状？ 求截交线 3 4 1 2

例5:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。

例6:求作俯视图。 1′ 1″ 正垂面 侧垂面 2″ 2′ 1 ● Ⅰ 2 ● Ⅱ

例7：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 三面共点： Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。 注意： 1(2) 2 ● 1 ● 注意： 要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。 三面共点： 2 Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。 1

例7：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。

二、回转体的截交线  截交线是截平面与回转体表面的共有线。  截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 ⒈ 求截交线的方法： 求截平面与回转体表面的共有点。 ⒉ 求截交线的步骤：  空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明 确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。 找出截交线的已知投影，予见未知投影。

 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，再补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。

㈠ 圆柱体表面的截交线 截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。 平行 垂直 倾斜 两平行直线 圆 椭圆

同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。 例1：求左视图 同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。 解题步骤： ● ★空间及投影分析 ● 截交线的形状 截交线的投影特性 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影

例1：求左视图 解题步骤： ★空间及投影分析 截交线的形状 截交线的投影特性 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影

例2：求左视图 ● ●

例2：求左视图

分析、比较

例3：求俯视图 ● ● ● ●

例3：求俯视图

例4：求俯视图

例4：求俯视图

分析、比较

例4：求左视图 ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影 截交线的空间形状？ 截交线的已知投影？ ● ● 截交线的侧面投影是什么形状？ ● ● ● ● ● ● ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影

椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。 45° 什么情况下投影为圆呢？ 截平面与圆柱轴线成45°时。

例5：求左视图 例5：求左视图

㈡ 圆锥体表面的截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。 过锥顶 θ =90° α θ ＞ ＞ 90° θ＝α 0° ≤θ＜α 两相交直线 圆 椭圆 抛物线 双曲线

截交线的空间形状？ 截交线的投影特性？ 例1:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 如何找椭圆另一根轴的端点？ ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影

例1:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影

例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。 平面与圆锥相交 具体步骤如下： 3’ 2’ 1’ 5” 4” 3” 2” 1” (4’) (5’) （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。 3 1 5 2 4 5 4 3 2 1

例3:圆锥被正平面截切，补全主视图。 截交线的空间形状？ 截交线的投影特性？ E e′ B D C c′ d′ A a′ b′ e a c ● 截交线的投影特性？ B D C c′ ● d′ ● A a′ ● b′ ● e ● a ● c ● d ● b ●

例4:已知立体的正面投影，试完成另外两面投影 (4)’ 2” 4” 1’ 3” 1” (2)’ 3’ (8)’ (12)’ 12” 5’ 6” 5” 11” 7’ 11’ (6)’ 8” 7” 9’ (10)’ 10” 9” 10 6 8 12 4 3 11 7 5 9

㈢ 圆球表面的截交线 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 两个侧平面与圆球面的交线的投影，在侧视上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。 水平面与圆球面的交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。

㈢ 圆球表面的截交线 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 两个侧平面与圆球面的交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。 水平面与圆球面的交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。

例2:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影 分析:球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。 轮廓线怎样处理? 轮廓线要不要?