21.2 降次——一元二次方程的解法

走进生活 工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的长AB=5米,墙高AC=4米,问梯子底端点离墙的距离是多少? 4

设BC=x,根据勾股定理，得　x2+42=52. 化简，得　x2-9=0, ∴ (x-3) (x+3) =0, 解得x1=3,x2=-3 (不合题意，舍去）． 另解：x2=9, ∴x1= =3, X2=- =-3 (不合题意，舍去）．

概念 一般地,对于形如x2=d(d≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.

例1：用开平方法解方程 9x2=4 解：两边同除以9，得 利用开平方法，得 所以，原方程的根是

例2：用开平方法解方程 3x2=-4 解：两边同除以3，得 因为任何一个实数的平方根不可能是负数，所以原方程没有实数根。

一般来说，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二次方程，其步骤是： （2）根据平方根的意义，可知

例3：用开平方法解方程 -7x2+21=0 解：移项，得 两边同除以-7，得 利用开平方法，得 所以，原方程的根是

练一练 x1=0.5, x2=-0.5 (1)方程x2=0.25的根是 ； (2)方程2x2=18的根是 ； x1=3, x2=-3

上面这种解法中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。 例4：怎样解方程 (x+1)2=16 ? 解：利用开平方法，得 可得 所以，原方程的根是 上面这种解法中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。

用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0; (2)(x＋1)2=4 (3)(2x－3)2=7

合作探究 你能用开平方法解下列方程吗? x2－10x＋16=0

填空 (1)x2＋8x＋ =(x＋4)2 (2)x2－3x＋ =(x－ )2 (3)x2－12x＋ =(x－ )2 42 ( )2 62 6

变形为 x2－10x+25=9 x2－10x+16=0 这种方程怎样解？ 变形为 的形式．（ａ为非负常数）

概念 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法 叫做配方法.

用配方法解一元二次方程的步骤: 移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.

例题1. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0 解：移项，得 两边同时加上“一次项 系数一半的平方”，得 利用开平方法，得 两边同时加上“一次项 系数一半的平方”，得 利用开平方法，得 所以，原方程的根是

例2. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0 解：移项并且两边同除以2，得 两边同时加上“一次项 系数一半的平方”，得 利用开平方法，得 两边同时加上“一次项 系数一半的平方”，得 利用开平方法，得 所以，原方程的根是 18

A C 1.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）． （A）(x+3)2=14 （B） (x-3)2=14 （C） (x+6)2=14 （D）以上答案都不对 2.用配方法解下列方程，配方有错的是（ ） （A）x2-2x-99=0 化为 (x-1)2=100 （B） 2x2-3x-2=0 化为 (x- 3/4 )2=25/16 （C）x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25 （D） 3x2-4x=2 化为(x-2/3)2=10/9 A C

D B 3.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0， 则x+y的值为（ ）． （A）1 （B）－2 （C）2或－1 （D）－2或1 4.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ） （A）非负数 （B）正数 （C）整数 （D）不能确定的数 D B

做一做 用配方法解下列方程: (1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3) －x2＋4x－3=0 如果方程的二次项系数为负,则先把二次项系数化为正.

用配方法解一般形式的一元二次方程 把方程两边都除以 解: 移项，得 配方，得 即

当 时 特别提醒 即 一元二次方程的求根公式 (a≠0, b2-4ac≥0)

例1.用公式法解方程 （1）3x2+5x-1=0 （2）x2+2x+2=0 （3）2x2-7x=0 （4）4x²+1=-4x

（1）3x2+5x-1=0 解：a=3，b=5，c=-1， b²-4ac=5²-4×3×（-1）=37>0 X= = Х1= Х2=

（2）x2+2x+2=0 解：a=1，b=2，c=2 ∵b²-4ac=2²-4×1×2=-4<0 ∴此方程无实数解

（3）2x2-7x=0 解：a=2，b=-7，c=0 b²-4ac=（-7）²-4×2×0=49>0 Х= = Х1= Х2=0

=- =- （4）4x²+1=-4x 解：移项，得4x²+4x+1=0 a=4，b=4，c=1，b²-4ac=4²-4×4×1=0 X=

故对于方程ax²+bx+c=0 （a≠0）有下列关系： 猜一猜：对于一般式ax²+bx+c=0 （a≠0） 的根与b²-4ac的符号有会么关系？ (1)当b² -4ac>0时，方程有两个不相等的根 因为ax²+bx+c=0 （a≠0）的求根公式是 (2)当b²-4ac=0时，方程有两个相等的根x = x = (3)当b² - 4ac＜0时，方程没有实数根.

巩固练习 （1）x²+3x-4=0 （2） x²- x=1

四、探索发现 X1= X2= 1、从两根的代数式结构上有什么特点？ 2、根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？

五、智力挑战 X2= X1= 1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解

一元二次方程的解法

因式分解主要方法: (1)提取公因式法 (2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2

请选择： 若A·B=0则（ ） D （A）A=0； （B）B=0； （C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0

解方程 4x2=9 解：移项，得 利用平方差公式分解因式，得 可得 所以，原方程的根是

(1)若方程的右边不是零，则先移项， 使方程的右边为零； (2)将方程的左边分解因式； 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步骤是： (1)若方程的右边不是零，则先移项， 使方程的右边为零； (2)将方程的左边分解因式； (3)根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解 一元二次方程转化为解两个一元一次 方程。

练一练 填空： （1）方程x2+x=0的根是 ； X1=0, x2=-1 X1=5, x2=-5 （2）x2－25=0的根是 。

例1 解下列一元二次方程： （1）（x－5) (3x－2)=10; 解: 化简方程，得 3x2－17x=0. 将方程的左边分解因式， 得 x(3x－17)=0, ∴x=0 ,或3x－17=0 解得 x1=0, x2=

例1 解下列一元二次方程： (2) (3x－4)2=(4x－3)2. 解:移项，得 （3x-4)2-(4x-3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 [(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0, 即 (7x-7) (-x-1)=0. ∴7x-7=0,或 -x-1=0. ∴x1=1, x2=-1

小结 能用因式分解法解一元二次方程遇到类 似例2这样的，移项后能直接因式分解 就直接因式分解，否则移项后先化成一 般式再因式分解.

做一做 用因式分解法解下列方程： (1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6; (5)

例2 解方程x2=2√2x－2 解 移项，得 x2 －2√2x+2=0, 即 x2 －2 √2x+(√2)2=0. ∴(x －√2)2=0, ∴x1=x2=√2

做一做 1.解方程 x2－2√3x=-3 2.若一个数的平方等于这个数本身, 你能求出这个数吗(要求列出一 元二次方程求解)? 注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.

（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二 次方程转化为解两个一元一次方程； 因式分解法解一元二次方程的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二 次方程转化为解两个一元一次方程；