第1章 数字电路基础 本章主要内容: 本章难点: 数制与编码 逻辑代数的运算规则、公式 逻辑函数的描述 逻辑函数化简 逻辑代数的运算规则 第1章 数字电路基础 本章主要内容: 数制与编码 逻辑代数的运算规则、公式 逻辑函数的描述 逻辑函数化简 本章难点: 逻辑代数的运算规则 逻辑函数的卡诺图描述方法 逻辑函数的化简
1.1 数字电子技术概述 1.1.1 数字电子技术的基本概念 数字电子技术与模拟电子技术组成电子技术学科的专业基础 区别:处理信号的不同。 1.1 数字电子技术概述 1.1.1 数字电子技术的基本概念 数字电子技术与模拟电子技术组成电子技术学科的专业基础 区别:处理信号的不同。 模拟电子技术处理的是模拟信号 数字电子技术处理的是数字信号 模拟信号:指在时间、数值上都是连续变化的信号,如温度、速度、压力等信号。传输和处理模拟信号的电路称为模拟电路。 数字信号:指在时间和数值上都是不连续的(离散的)信号,如电子表的秒信号等。对数字信号进行传输和处理的电路称为数字电路。 数字电路分类:按电路结构分立元件电路和集成电路;按完成逻辑功能组合逻辑电路和时序逻辑电路;按制造工艺双极型(TTL型)和单极型(MOS型)。
1.1 数字电子技术概述 1.1.2 数字集成电路的发展趋势 数字电路的发展过程:电子管、半导体分立元件、集成电路。 1.1 数字电子技术概述 1.1.2 数字集成电路的发展趋势 数字电路的发展过程:电子管、半导体分立元件、集成电路。 数字集成电路的发展:20世纪70年代分立元件集成时代(集成度为数千晶体管)、20世 纪80年代功能电路及模块集成时代(集成度达到数十万晶体管)、20世纪90年代进入以片上系统SOC(System-On-Chip)为代表的包括软件、硬件许多功能全部集成在一个芯片内的系统芯片时代(单片集成度达数百万晶体管以上)。 集成电路的国际发展趋势:世界上集成电路大生产的主流技术正从2.032×102mm、0.25μm向3.048×102mm、0.18μm过渡。据预测,集成电路的技术进步还将继续遵循摩尔定律:即每18个月集成度提高一倍,而成本降低一半。 硅集成电路技术及发展趋势 集成电路的国内发展趋势:在我国,集成电路发展40多年,目前已经发展到了一定的水平,但与欧美等发达国家相比,还有很大差距。另一方面,世界前三大集成电路代加工公司却都在亚洲(我国台湾的TSMC和UNC,新加坡的CSM),美国等发达国家的公司都使用这些代加工公司的产品,成本却并不高。面对今后的发展,我国内地应把主要精力集中在集成电路的设计方面,生产加工就由这些代加工的公司来完成,这样可以取长补短,快速发展我国的集成电路产业。 集成电路技术发展趋势
1.2 数制与编码 1 .2 .1记数体制 我们平时习惯上使用的是十进制数(如563),但在数字系统中特别是计算机中,多采用二进制、十六进制,有时也采用八进制的计数方式。无论何种记数体制任何一个数都是由整数和小数两部分组成的。 1.十进制数 特点:① 由10个不同的数码0、1、2、…、9和一个小数点组成。 ② 采用“逢十进一、借一当十”的运算规则。 例如:十进制数213.71,小数点左边第1位为个位,它的数值为3×100=3 ;小数点左边第二位的1代表十位,它的数值为1×101=10;小数点左边第三位的2代表百位,它的数值为2×102 =200;小数点右边的第一位7代表十分位,它的数值为7×10-1=0.7;小数点右边第二位代表百分位,它的数值为1×10-2 = 0.01。这里102、101、100、10-1、10-2称为权或位权,10为其计数基数, 即:(213.71)10=2×102+ 1×101+3×100+7×10-1+1×10-2 在实际的数字电路中采用十进制十分不便,因为十进制有十个数码,要想严格的区分开必须有十个不同的电路状态与之相对应,这在技术上实现起来比较困难。因此在实际的数字电路中一般是不直接采用十进制的。
1.2 数制与编码 1 .2 .1记数体制 2.二进制数 (101.01)2 特点: ① 由两个不同的数码0、1和一个小数点组成。 1.2 数制与编码 1 .2 .1记数体制 2.二进制数 (101.01)2 特点: ① 由两个不同的数码0、1和一个小数点组成。 ② 采用“逢二进一、借一当二”的运算规则。 例如:(101.01)2=1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2 =(5.25)10 其中22、21、20、2-1、2-2为权,2为其计数基数。 尽管一个数用二进制表示要比用十进制表示位数多得多,但因二进制数只有0、1两个数码,适合数字电路状态的表示,(例如用二极管的开和关表示0和1、用三极管的截止和饱和表示0和1),电路实现起来比较容易。
1.2 数制与编码 1 .2 .1记数体制 3.八进制 (107.4)8 特点: ① 由8个不同的数码0、1、2、3、4、5、6、7和一个小数点组成。 ② 采用“逢八进一、借一当八”的运算规则。 例如:(107.4)8=1×82+0×81+7×80+4×8-1 =(71.5)10 其中82、 81、 80、 8-1为权,每位的权是8的幂次方。 8为其计 数基数。 八进制较之二进制表示简单,且容易与二进制进行转换。
1.2 数制与编码 1 .2 .1记数体制 4.十六进制 (BA3.C)16 特点: 1.2 数制与编码 1 .2 .1记数体制 4.十六进制 (BA3.C)16 特点: ① 由16个不同的数码0、1、2、…、9、A、B、C、D、E、F和一个小数点组成,其中A~F分别代表十进制数的10~15。 ② 采用“逢十六进一、借一当十六”的运算规则。 例如:(BA3.C)16 =B×162+A×161+3×160+C×16-1 =11×162+10×161+3×160+12×16-1 =(2979.75)10 其中162、 161、 160、 16-1为权,每位的权是16的幂次方。 16为其计数基数。 十六进制较之二进制表示简单,且容易与二进制进行转换。
1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 1.二进制与十进制之间的转换 (1)二进制转换为十进制 1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 十进制数符合人们的计数习惯且表示数字的位数也较少;二进制适合计算机和数字系统表示和处理信号;八进制、十六进制表示较简单且容易与二进制转换。因此在实际工作中,经常会遇到各种计数体制之间的转换问题。 1.二进制与十进制之间的转换 (1)二进制转换为十进制 二进制转换为十进制时只要写出二进制的按权展开式,然后将各项数值按十进制相加,就可得到等值的十进制数。 例1.1 将二进制数(1011.01)2转换为十进制数 解:(1011.01)2=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2 =8+2+1+0.25 =(11.25)10
1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 1.二进制与十进制之间的转换 (2)十进制转换为二进制 1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 1.二进制与十进制之间的转换 (2)十进制转换为二进制 十进制转换为二进制分为整数部分转换和小数部分转换,转换后再合并。 例如:将十进制数(47.325)10转换成二进制数。 ① 小数部分转换——乘2取整法 基本思想:将小数部分不断的乘2取整数,直到达到一定的精确度。 将十进制的小数0.325转换为二进制的小数可表示如下: 0.325×2=0.65 0.65×2=1.30 0.3×2=0.6 0.6×2=1.2 整数 1 高位 低位 可见小数部分乘2取整的过程不一定使最后的乘积为0,这时可以按一定 的精度要求求近似值。本题中精确到小数点后四位,则(0.325)10=(0.0101)2
1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 1.二进制与十进制之间的转换 (2)十进制转换为二进制 ② 整数部分转换——除2取余法 1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 1.二进制与十进制之间的转换 (2)十进制转换为二进制 ② 整数部分转换——除2取余法 基本思想:将整数部分不断的除2取余数,直到商为0。 将十进制整数47转换为二进制整数可表示如下: 2 47 余数 低位 2 23 1 2 11 1 2 5 1 2 2 1 2 1 0 高位 0 1 则:(47)10=(101111)2 。最后结果为:(47.325)10=(101111.0101)2
1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 2.二进制与十六进制之间的转换 例1.2 将(11001.110101)2转换为十六进制数。 1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 2.二进制与十六进制之间的转换 十进制 二进制 十六进制 十进制 二进制 十六进制 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F 二进制转换成十六进制数的方法是从小数点开始,分别向左、向右将二进制数按每四位一组分组(不足四位的补0),然后写出每一组等值的十六进制数。 例1.2 将(11001.110101)2转换为十六进制数。 即:(0001,1001 . 1101 , 0100)2=(19 . D4)16
1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 3.二进制与八进制之间的转换 1.2 数制与编码 1 .2 .2 数制转换 3.二进制与八进制之间的转换 十进制 二进制 八进制 十进制 二进制 八进制 0 000 0 1 001 1 2 010 2 3 011 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7 二进制转换成八进制数的方法是从小数点开始,分别向左、向右将二进制数按每三位一组分组(不足三位的补0),然后写出每一组等值的八进制数。 例1.2 将(11001.110101)2转换为八进制数。 即:(011 , 001 . 110 , 1 01)2=(31 . 65)8 八进制与十六进制之间的转换可以通过二进制作中介。
作业 P20页:1.(2) 2.(2) 3.(1)、(3)
1.2 数制与编码 1 .2 .3 常用编码 数字系统只能识别0和1两种不同的状态,只能识别二进制数 实际传递和处理的信息很复杂 1.2 数制与编码 1 .2 .3 常用编码 数字系统只能识别0和1两种不同的状态,只能识别二进制数 实际传递和处理的信息很复杂 因此为了能使二进制数码表示更多、更复杂的信息,我们把0、1按一定的规律编制在一起表示信息,这个过程称为编码。 最常见的编码有二--十进制编码。二--十进制编码是用四位二进制数表示0~9的十个十进制数,也称BCD码。 常见的BCD码有8421码、格雷(Gray)码、余3码、5421码、2421码等编码。其中8421码、5421码和2421码为有权码,其余为无权码。 1.8421BCD码 8421BCD码是最常用的BCD码,为有权码,各位的权从左到右为8、4、2、1。在8421BCD码中利用4位二进制数的16种组合0000~1111中的前10种组合0000~1001代表十进制数的0~9,后6种组合1010~1111为无效码。 例1.3 把十进制数78表示为8421BCD码的形式。 解:(78)10=(0111 1000)8421 (78)10=(1010 1011)5421 (78)10=(1101 1110)2421
1.2 数制与编码 1 .2 .3 常用编码 2.格雷码(Gray) 格雷码最基本的特性是任何相邻的代码间仅有一位数码不同。在信息传输过程中,若计数电路按格雷码计数时,每次状态更新仅有一位发生变化,因此减少了出错的可能性。格雷码为无权码。 (书上P6页) 3.余3码 因余3码是将8421BCD码的每组加上0011(即十进制数3)即比它所代表的十进制数多3,因此称为余3码。余3码的另一特性是0与9、1和8等互为反码。 1.2 数制与编码 1 .2 .2 ...
1.3 逻辑代数运算 1.3.1 逻辑代数的基本运算 逻辑代数也称为布尔代数。 逻辑变量用字母A、B、C或X、Y、Z表示。 逻辑变量的含义: 1.3 逻辑代数运算 1.3.1 逻辑代数的基本运算 逻辑代数也称为布尔代数。 逻辑变量用字母A、B、C或X、Y、Z表示。 逻辑变量的含义: 逻辑代数中的变量只有两种取值0或1。 0和1不能看作是数值,它们之间不存在数量上的大小关系,而是表示两种不同的状态,即“是”与“非”、“开”与“关”、“真”与“假”、“高”与“低”等。 逻辑代数有三种最基本的运算:“与”运算、“或”运算和“非”运算。 1.“与”运算 只有当决定某一事件的所有条件全部具备时,这一事件才会发生,这样的逻辑关系称为“与”逻辑。
1.3 逻辑代数运算 1.3.1 逻辑代数的基本运算 A B F =AB 1 “与”运算电路 真值表 图中只有开关A和B都闭合时灯F才会亮;开关A和B只要有一个不闭合灯F就不亮。所以开关A、B闭合与灯亮之间构成了“与”关系。 F=A.B或F=AB=A∩B 逻辑表达式 设开关开为0,关为1。等亮为1,灭为0。列表: 0.0=0, 0.1=0, 1.0=0, 1.1=1 运算规则
1.3 逻辑代数运算 1.3.1 逻辑代数的基本运算 2.“或”运算 1.3 逻辑代数运算 1.3.1 逻辑代数的基本运算 2.“或”运算 只有当决定某一事件的所有条件中,只有一个或一个以上条件具备时,这一事件就会发生,这样的逻辑关系称为“或”逻辑。 1 F =A+B B A 真值表 “或”运算电路 图中只要开关A或B中有一个闭合时灯F就会亮。所以开关A、B闭合与灯亮之间构成了“或”关系。 F=A+B或F=A∪B 逻辑表达式 设开关开为0,关为1。等亮为1,灭为0。列表: 运算规则 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1
1.3 逻辑代数运算 1.3.1 逻辑代数的基本运算 3.“非”运算 1.3 逻辑代数运算 1.3.1 逻辑代数的基本运算 3.“非”运算 当决定某一事件的条件具备,这一事件不发生;当决定某一事件的条件不具备,这一事件即发生,这种逻辑关系称为“非”逻辑。 A F=/A 1 真值表 “非”运算电路 图中开关A闭合时灯F就会灭,开关A打开时灯F就会亮。所以开关A闭合与灯亮之间构成了“非”逻辑关系。 F=/A 逻辑表达式 设开关开为0,关为1。等亮为1,灭为0。列表: 运算规则 /0=1, /1=0
1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则 1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则 逻辑变量的取值只有0和1。 逻辑变量之间的基本运算只有与、或、非。 证明等式成立的最直接的方法是(1)两边函数的真值表是否相等(2)利用已证明成立的公式。 1.基本公式 (1)常量运算公式 ① 与运算:0·0=0 1·1=1 0·1=0 1·0=0 ② 或运算:0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 ③ 非运算: /0 =1 /1=0 (2)基本定律 0-1律: ; 自等律: ; 重叠律: ; 互补律: ; 交换律: ; 结合律: ; 分配律: ; 反演律: ; 非非律:
1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则 1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则 以上9条定律可以通过真值表证明,例如证明反演律 反演率真值表 1 由真值表证明:无论A、B取何值时,反演律都是成立的。
1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则 1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则 (3)常用公式 ① ② ③ 2.运算规则 (1)代入规则:在任何一个逻辑等式中,将等号两边所有出现变量A的地方都用另一个函数F代替,则等式仍然成立,此规则称为代入规则。 A(B+C)=AB+AC中,将所有出现A的地方都用函数F=A+D来代替,则等式依然成立,即得:(A+D)(B+C)=(A+D)B+(A+D)C=AB+BD+AC+CD = + 则
1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则 1.3 逻辑代数运算 1.3.2 逻辑代数的基本公式和运算规则 (2)对偶规则:如果将一个逻辑函数F中所有的“.”符号换成“+”、“+”符号换成“.”;常量“0”换成“1”、“1”换成“0”,所得函数为F′,F′为F的对偶函数。这就是对偶规则。 求 已知 则 (3)反演规则:如果将一个逻辑函数F中所有的“.”符号换成“+”、“+”符号换成“.”;常量 “0”换成“1”、“1”换成“0”;原变量变为反变量、反变量变为原变量,所得函数为。为F的反函数。这就是反演规则。 求 已知 则 =
1.3 逻辑代数运算 1.3.3 复合逻辑运算与常用逻辑门 1.复合逻辑运算 (1)与非、或非运算 (2)异或、同或运算 A B F 1 1.3 逻辑代数运算 1.3.3 复合逻辑运算与常用逻辑门 1.复合逻辑运算 (1)与非、或非运算 (2)异或、同或运算 A B F 1 异或运算符 异或真值表 A B F 1 F=A⊙B= 同或真值表 同或运算符
1.3 逻辑代数运算 1.3.3 复合逻辑运算与常用逻辑门 2.常用逻辑门 国外符号 常用符号 (1)与门 (2)或门 (3)非门 1.3 逻辑代数运算 1.3.3 复合逻辑运算与常用逻辑门 2.常用逻辑门 (1)与门 (2)或门 (3)非门 (4)与非门 国外符号 常用符号
1.3 逻辑代数运算 1.3.3 复合逻辑运算与常用逻辑门 (5)或非门 (6)异或门 (7)同或门 F=A⊙B= 国外符号 常用符号
1.3 逻辑代数运算 1.3.4 正逻辑与负逻辑 在逻辑电路中,电路的两种不同的状态(高电平和低电平)可以用0和1表示,高、低电平和0、1之间如何对应便引出了正、负逻辑的问题。 高电平用1表示、低电平用0表示 正逻辑 高电平用0表示、低电平用1表示 负逻辑 同一逻辑电路,在不同的逻辑假定下,其逻辑功能是完全不同的。同一电路,在正逻辑时它是与门功能;而在负逻辑时,它却是或门功能。一般而言,正逻辑的与门等价于负逻辑的或门;正逻辑的或非门等价于负逻辑的与非门;正逻辑的异或门等价于负逻辑的同或门等。也就是说。 对偶式 同一电路:正逻辑表达式 负逻辑表达式 一般情况下,人们都习惯于采用正逻辑。因此,如无特殊说明,本书一律采用正逻辑。
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1.4 逻辑函数的描述 1.4.1 真值表描述 同一逻辑运算可以用运算电路、真值表、逻辑表达式、逻辑门表示。 1.4 逻辑函数的描述 1.4.1 真值表描述 同一逻辑运算可以用运算电路、真值表、逻辑表达式、逻辑门表示。 同一逻辑函数可以用真值表、代数表达式和卡诺图等来描述。 逻辑函数 1 F C B A 自变量 函数或结果 在真值表中要包含变量的所以取值组合,按二进制从小到大排列。真值表是唯一的。变量增多,行数增多,表示不方便。
1.4 逻辑函数的描述 1.4.2 代数表达式描述 2.最小项 1、代数表达式 代数表达式 由与、或、非运算组成 1.4 逻辑函数的描述 1.4.2 代数表达式描述 1、代数表达式 代数表达式 由与、或、非运算组成 (1)在一个代数表达式中,与、或、非的运算优先顺序为非、与、或。 (2)代数表达式是不惟一的。 为了使表达式唯一而引入 2.最小项 最小项是指由全部变量所组成的乘积项。 在此乘积项中,每个变量以原变量或反变量的形式出现,且只出现一次。 n个变量的最小项为2n 个。
原变量取1,反变量取0所组成的二进制数所对应的十进制数 一个变量A的最小项有两个: 、 A 二个变量A、B 的最小项有四个: 、 、 、 三个变量A、B、C 的最小项有八个: 、 、 、 、 、 、 、 、 用mi表示 原变量取1,反变量取0所组成的二进制数所对应的十进制数 ABC 000 001 010 011 100 101 110 111 最小项 mi m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 三变量函数的最小项 最小项的性质: ① 对于某一个最小项,只有一组变量的取值使它的值为1,其余情况均为0。如最 小项只有的值为010时其值为1,的其余取值的组合都为0。 ② 对于任何两个最小项mi 和mj ,有 mi . mj =0(i≠j)。因为mi和mj (i≠j) 对于变量的任何一组取值都不可能同时为1。 ③ n个变量的全部最小项之和为1。因为对于变量的任何一组取值全部最小项中总 有一个取值为1,所以全部最小项之和为1。
= + + + + + F (A、B、C) = m0 + m1 + m3 + m4 + m5 + m7 = 3.最小项表达式(标准与--或表达式) 逻辑函数的最小项表达式就是使函数值为1的各个最小项之和 ① 找出F=1的行。 ② 对每个F=1的行,取值为1的变量用原变量表示,取值为0的变量用反变量表示,然后相与,得到最小项。 ③ 将各个最小项进行逻辑加,便得到最小项表达式(标准与--或式)。 例 = F + + + + + A B C F 1 F (A、B、C) = m0 + m1 + m3 + m4 + m5 + m7 简写 = ∑m(0、1、3、4、5、7)
1.4 逻辑函数的描述 1.4.3 卡诺图描述 卡诺图是一种能直观地表示函数最小项的方块图,卡诺图根据变量的个数,画成正方形或矩形,由于n个变量有2n个最小项,所以可以画出2n个小方块。 1 AB或CD的取值顺序按格雷码00、01、11、10顺序排列 两变量逻辑函数F(A,B) 的卡诺图 三变量逻辑函数F(A,B,C)的卡诺图 四变量逻辑函数F(A,B,C,D)的卡诺图 m7的相邻最小项
1.4 逻辑函数的描述 1.4.3 卡诺图描述 例: 画出逻辑函数F(A,B, C)=Σm (1,2,6,7)的卡诺图。 1.4 逻辑函数的描述 1.4.3 卡诺图描述 例: 画出逻辑函数F(A,B, C)=Σm (1,2,6,7)的卡诺图。 解:即在三变量逻辑函数的卡诺图中的m1、m2、m6、m7处填入1,其余填入0(为 方便填0处可空白) m1、m2、m6、m7处填入1,其余填入0
1.5 逻辑函数的化简 1.5.1 公式法化简 逻辑函数越简单 ,电路越简单,器件越少,可靠性越好----逻辑函数化简。 例: 1.5.2 卡诺图化简法 例:用卡诺图化简法化简逻辑函数 =Σm (1,3,6,7) 解:此函数的最小项表达式为 化简结果: 卡诺圈 每一最小项的周围都是相邻项,如m1,m3 、 ,两个相邻的最小项相或可以消去一个互为反变量的变量。因此卡诺图的化简即是将相邻的最小项合并,从而消去多余变量达到化简的目的。
卡诺圈的合并规律: ① 卡诺圈中方格数必为2n个,可以消去n个变量。 ② 卡诺圈的圈应尽量大,圈越大,消去的变量越多,结果越简单。 ③ 一个最小项可以在几个卡诺圈中,但每个卡诺圈都要有新的最小项,每个最小项至少被一个卡诺圈圈中。
① 根据逻辑函数或真值表画出相应的卡诺图。 ② 根据卡诺图的化简规律,合并最小项。 例:用卡诺图化简逻辑函数 解:卡诺图 卡诺图化简逻辑函数的步骤如下: ① 根据逻辑函数或真值表画出相应的卡诺图。 ② 根据卡诺图的化简规律,合并最小项。 ③ 将合并后消去多余变量的乘积项相加即得到最简与或表达式。 1.5.3 带无关项的逻辑函数化简 在前面所讨论的逻辑函数中,最小项函数的取值都很确定,即0或1。但实际应用中只要求某些最小项取值是确定的,其余的取值可以是随意的,0或1都可以。或者,在逻辑函数中某些最小项的取值根本不可能出现,它的取值也可以是随意的。 无关项“d”或“X”
例:用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C,D) =∑m (6,7,12,14,15)+∑d (0,8,9,13)。 解:根据题意画出卡诺图 不利用无关项 利用无关项 带无关项的卡诺图化简原则如下: ① 无关项“×”只是用来使卡诺图更简化,只有在无关项对化简有利时才将其圈在卡诺圈中,否则不用圈起。 ② 无关项的卡诺图合并规律与基本的卡诺图的合并规律一致。