本講義為使用｢訊號與系統，王小川編寫，全華圖書公司出版」之輔助教材 講義 三 週期性訊號的傅立葉級數表示法 本講義為使用｢訊號與系統，王小川編寫，全華圖書公司出版」之輔助教材 SAS-03

第三章 週期性訊號的傅立葉級數表示法 3.1 線性非時變系統的頻率響應 3.2 週期性離散時間訊號的表示法 3.3 基本離散時間訊號的傅立葉級數 3.4 週期性連續時間訊號的表示法 3.5 基本連續時間訊號的傅立葉級數 3.6 離散時間傅立葉級數的特性 3.7 連續時間傅立葉級數的特性 SAS-03

3.1 線性非時變系統的頻率響應 以複數弦波訊號作為離散時間LTI系統的輸入，觀察其輸出，推導出離散時間LTI系統的頻率響應。 輸出就是 令h[n]為離散時間LTI系統的脈衝響應，其輸入輸出如下， 假設輸入為複數弦波訊號 SAS-03

函數 所表示的是隨著角頻率  改變的一個值，我們稱之為離散時間LTI系統的頻率響應(frequency response)。 假設輸入為一組複數弦波訊號的線性組合， 函數 所表示的是隨著角頻率  改變的一個值，我們稱之為離散時間LTI系統的頻率響應(frequency response)。 這個函數描述離散時間LTI系統的特性，讓函數絕對值 大的頻率Ω，表示輸入訊號中這個頻率成分會被放大，反之，讓函數絕對值 小的頻率Ω，表示輸入訊號中這個頻率成分會被減弱。 輸出就是一組頻率響應乘上複數弦波訊號的線性組合。 SAS-03

計算其頻率響應 ◆例題3.1 時間延遲單元 一個離散時間系統描述如下， 其脈衝響應為 絕對值與相位 SAS-03

以複數弦波訊號作為連續時間LTI系統的輸入，觀察其輸出，推導出連續時間LTI系統的頻率響應。 輸出就是 令h(t)為連續時間LTI系統的脈衝響應，其輸入輸出如下， 假設輸入為 SAS-03

函數 所表示的是隨著角頻率ω 改變的一個值，我們稱之為連續時間LTI系統的頻率響應(frequency response)。 假設輸入為 函數 所表示的是隨著角頻率ω 改變的一個值，我們稱之為連續時間LTI系統的頻率響應(frequency response)。 這個函數描述連續時間LTI系統的特性，讓函數絕對值 大的頻率ω，表示輸入訊號中這個頻率成分會被放大，反之，讓函數絕對值 小的頻率ω，表示輸入訊號中這個頻率成分會被減弱。 輸出就是 SAS-03

◆例題3.2 RC電路的頻率響應 輸入(Input) 輸出(Output) 系統的脈衝響應 SAS-03

系統的脈衝響應 頻率響應 SAS-03

3.2 週期性離散時間訊號的表示法 函數 的特性 週期性離散時間訊號，週期長度為 (1)週期長度為 N 的週期性函數 基本角頻率 函數 的特性 週期性離散時間訊號，週期長度為 (1)週期長度為 N 的週期性函數 基本角頻率 (2)在一個週期內的加總具有正交性(orthogonality) 定義一個函數 SAS-03

以 作為基礎函數(basis function)，以其線性組合來表示週期性訊號。 k 的值遞增到k+N 時， 又回到 SAS-03

計算係數 以k 替代 m， 改寫成 SAS-03

離散時間傅立葉級數(discrete-time Fourier series, DTFS) 離散時間傅立葉級數係數 離散時間傅立葉級數(discrete-time Fourier series, DTFS) SAS-03

將弦波函數改寫成三角函數 假設 N 為偶數 SAS-03

SAS-03

SAS-03

假設 N 為奇數 SAS-03

這就是離散時間三角函數傅立葉級數(trigonometric Fourier series) SAS-03

三角函數傅立葉級數係數的計算 在一個週期內，計算 的平均值， SAS-03

在一個週期內，計算 的平均值， SAS-03

利用上述特性，計算三角函數傅立葉級數的係數 SAS-03

SAS-03

SAS-03

整理上述的結果，可以得到計算係數 的公式， 整理上述的結果，可以得到計算係數 的公式， 離散時間三角函數傅立葉級數 SAS-03

◆例題3.3 週期性訊號的傅立葉級數係數 計算其傅立葉級數係數 SAS-03

◆例題3.4 三角函數傅立葉級數係數 計算其三角函數傅立葉級數係數 SAS-03

SAS-03

SAS-03

得到三角函數傅立葉級數如下， SAS-03

3.3 基本離散時間訊號的傅立葉級數 (1)週期性方波訊號(Periodic square wave) SAS-03

◆例題3.5 週期性方波訊號的傅立葉級數 SAS-03

◆例題3.6 週期性方波訊號的重組 只用前 J 個傅立葉級數係數 SAS-03

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(2)弦波訊號(Sinusoidal Function) SAS-03

SAS-03

餘弦函數(Cosine function) SAS-03

SAS-03

◆例題3.7 餘弦函數 SAS-03

正弦函數(Sine function) SAS-03

SAS-03

◆例題3.8 正弦函數 SAS-03

(3)常數(Constant) SAS-03

(4)週期性脈衝訊號(Periodic Impulse Signal) SAS-03

3.4 週期性連續時間訊號的表示法 週期性連續時間訊號，週期長度為 T 函數 的特性 基本角頻率 (1)週期長度為 T 的週期性函數 函數 的特性 基本角頻率 (1)週期長度為 T 的週期性函數 定義一個函數 SAS-03

(2)在一個週期的積分具有正交性 SAS-03

(3)可以有無限多個不同的 以 為基礎函數作線性組合方式來逼近 SAS-03

必然也是一個週期為T 的週期性函數 以 k 替代 m SAS-03

連續時間傅立葉級數continuous-time Fourier series, FS) 連續時間傅立葉級數係數 連續時間傅立葉級數continuous-time Fourier series, FS) SAS-03

將弦波函數改寫成三角函數 SAS-03

這就是連續時間三角函數傅立葉級數(trigonometric Fourier series) SAS-03

三角函數傅立葉級數係數的計算 在一個週期內，計算 的平均值， 在一個週期內，計算 的平均值， SAS-03

利用上述特性，計算三角函數傅立葉級數的係數 SAS-03

SAS-03

SAS-03

整理上述的結果，可以得到計算係數 的公式， 整理上述的結果，可以得到計算係數 的公式， 連續時間三角函數傅立葉級數 SAS-03

◆例題3.9 傅立葉級數係數 SAS-03

SAS-03

◆例題3.10 三角函數傅立葉級數 SAS-03

前J 個頻率成份相加 SAS-03

前4 個頻率成份 前4 個頻率成份相加 SAS-03

3.5 基本連續時間訊號的傅立葉級數 (1)週期性方波訊號(Periodic square wave) SAS-03

sinc函數 正規化的sinc函數 SAS-03

◆例題3.11 週期性方波的傅立葉級數逼近 只用有限個級數來表示 SAS-03

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在波形上下變動的不連續點上，永遠不會逼近1，這叫做吉伯斯(Gibbs phenomenon)。 SAS-03

(2)弦波訊號(Sinusoidal Function) SAS-03

餘弦函數(Cosine function) SAS-03

SAS-03

◆例題3.12 餘弦訊號的連續時間傅立葉級數 SAS-03

正弦函數(Sine function) SAS-03

SAS-03

◆例題3.13 正弦訊號的連續時間傅立葉級數 SAS-03

(3)週期性脈衝訊號(Periodic Impulse Signal) SAS-03

3.6 離散時間傅立葉級數的特性 (1)線性特性(Linearity) SAS-03

(2)對稱特性(Symmetric property) 共軛對稱的(conjugate symmetric)函數 : imaginary : real SAS-03

: real and even : real and odd : real : imaginary SAS-03

◆例題3.14 週期性方波訊號 SAS-03

取 的共軛複數 是共軛對稱的函數。 SAS-03

(3)時間偏移(Time Shifting) 在時域上的時間偏移，造成傅立葉級數係數的相位改變。 SAS-03

◆例題3.15 弦波訊號的傅立葉級數係數 SAS-03

SAS-03

SAS-03

絕對值沒有改變，仍是0.5，但是相位確實有所改變，在 時相位從原來的 – π/2 變成 -3 π/2 。 絕對值沒有改變，仍是0.5，但是相位確實有所改變，在 時相位從原來的 – π/2 變成 -3 π/2 。 SAS-03

(4)頻率偏移(Frequency Shifting) 在傅立葉級數係數作序號偏移，即造成時域上的波形乘上弦波函數。 SAS-03

◆例題3.16 頻率偏移的影響 SAS-03

週期性捲加演算(periodic convolution sum) SAS-03

在時域中兩個訊號作週期性捲加演算，頻域上是兩個傅立葉級數係數相乘。 SAS-03

◆例題3.17 離散時間訊號的週期性捲加演算 SAS-03

SAS-03

SAS-03

計算 SAS-03

SAS-03

SAS-03

SAS-03

SAS-03

(6)乘法特性(Multiplication) 兩個訊號在時域中相乘，對應是兩個傅立葉級數係數作週期性捲加演算。 SAS-03

◆例題3.18 兩個離散時間週期性訊號的相乘 SAS-03

SAS-03

(7)對時間的差分(Difference in time) SAS-03

◆例題3.19 對時間的差分 SAS-03

(8)時間比例調整(Time Scaling) SAS-03

◆例題3.20 週期性訊號的時間比例調整 SAS-03

(9)帕沙夫關係式(Parseval relationship) 在時域中計算的訊號平均功率等於在頻域中計算傅立葉級數係數的均方值。 SAS-03

◆例題3.21 訊號功率的計算 SAS-03

3.7 連續時間傅立葉級數的特性 (1)線性特性(Linearity) SAS-03

(2)對稱特性(Symmetric property) 共軛對稱的(conjugate symmetric)特性 : imaginary : real SAS-03

: real and odd : real and even : real : imaginary SAS-03

(3)時間偏移(Time Shifting) 在時域上的時間偏移，造成傅立葉級數係數的相位改變。 SAS-03

◆例題3.22 時間偏移 SAS-03

(4)頻率偏移(Frequency Shifting) 在傅立葉級數係數作序號偏移，即造成時域上的波形乘上弦波函數。 SAS-03

◆例題3.23 頻率偏移 SAS-03

週期性捲積演算(periodic convolution integral) SAS-03

在時域中兩個訊號作週期性捲積演算，頻域上是兩個傅立葉級數係數相乘。 SAS-03

◆例題3.24 連續時間訊號的週期性捲積演算 SAS-03

SAS-03

(6)乘法特性(Multiplication) 兩個訊號在時域中相乘，對應是兩個傅立葉級數係數作週期性捲加演算。 SAS-03

◆例題3.25 連續時間週期性訊號的相乘 SAS-03

SAS-03

(7)對時間的微分(Differentiation in Time) SAS-03

◆例題3.26 時間微分 SAS-03

SAS-03

(8)時間的比例調整(Time Scaling) SAS-03

◆例題3.27 時間的比例調整 SAS-03

(9)帕沙夫關係式(Parseval relationship ) 在時域中計算的訊號平均功率等於在頻域中計算傅立葉級數係數的均方值。 SAS-03

◆例題3.28 計算訊號的平均功率 SAS-03