第三章 矩 阵的秩和线性方程组的相容性定理 第一讲 矩阵的秩；初等矩阵 第二讲 矩阵的秩的求法和矩阵的标准形 第三讲 线性方程组的相容性定理

第一讲 矩阵的秩；初等矩阵 一、引例 二、矩阵的秩 三、初等方阵

一.引例 对齐次线性方程组 (3.1) 由于其系数矩阵 是奇异方阵而不能直接用克莱姆法则:

把上述删去多余方程求得保留方程组的过程用矩阵表示就是： 应用高斯消元法删去多余方程，得 （3.2) (3.2)称为(3.1)的保留方程组。 把上述删去多余方程求得保留方程组的过程用矩阵表示就是：

对一般齐次线性方程组 (3.3) 得到保留方程组

问题： 如何判定方程组(3.3)是否有多余方程？ 如何求(3.3)的保留方程组？

二、矩阵的秩 定义3.1 矩阵A中最大非奇异子方阵的阶数称为矩阵A的秩，记为R(A)

例3.2求下列矩阵的秩 解 由于A的第2行是第1行的2倍，所以A的任一个三阶子方阵都是奇异的，因此有R(A)<3,但因A有一个二阶子方阵的行列式 所以R(A)=2

关于矩阵秩的结论: 定理3.1 若矩阵A有一个r阶子方阵非奇异，且所有r+1阶的子方阵都是奇异的，则R(A)=r

三、 初等方阵 回忆： 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)． 三、 初等方阵 回忆： 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)． 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.

定义3：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.

(1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。

(2) 以数 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。

(3) 以数 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。

初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。

初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 例1：计算

定理： 证明： 具体验证即可

另两种情形同理可证

一般记法：

例2： (1) 设初等矩阵

解：

解：

小结： 矩阵的秩 初等方阵 定理3.5方阵可逆的充要条件是它可以表示成有限个初等方阵的乘积。 定理3.6 维矩阵A~B的充要条件是存在 m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q，使PAQ=B

第二讲 矩阵的秩的求法和 矩阵的标准形 一、等价矩阵具有相同的秩 二、矩阵秩的求法. 三、矩阵秩的性质 四、矩阵的秩与行列式的关系

一、等价矩阵具有相同的秩 定理3.7 若A~B，则R(A)=R(B)，即初等变换不改变矩阵的秩。

二、 矩阵秩的求法. 行阶梯形矩阵： 特点： 例如： (1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零； 二、 矩阵秩的求法. 行阶梯形矩阵： 例如： 特点： (1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．

行最简形矩阵： 在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元 为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。 例如： 注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。

例1 ：对矩阵 作行初等变换,使成为行阶梯矩阵. 解:

例2：求上三角矩阵的秩 解：看行秩

看 的线性相关性： 线性无关， 维数增加后得到的 依然线性无关， 而 与 都线性无关， 所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝3＝非零行的行数

结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数 证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行 是线性无关就行了。 设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。 因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地 变换列的顺序，不妨设

求矩阵秩的方法： 其中 显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为 n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。 加上任一零行即相关，所以 矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数 求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 例3: 求A的秩。

由阶梯形矩阵有三个非零行可知

三、 矩阵秩的性质 (1) 等价的矩阵，秩相同。 (2) 任意矩阵 有 (3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 可逆， 有 (4) 三、 矩阵秩的性质 (1) 等价的矩阵，秩相同。 (2) 任意矩阵 有 (3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 可逆， 有 (4) 当AB=0时，有 （证明在习题课讲）

矩阵A中，任取k行k列，交叉处的元素保持原来 的相对位置不变而组成的一个k阶子式，称为矩 阵A的k阶子式。 四、 矩阵的秩与行列式的关系 定理: n阶方阵A， A的n个行（列）向量线性无关 即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵） A的n个行（列）向量线性相关 定义3： 矩阵A中，任取k行k列，交叉处的元素保持原来 的相对位置不变而组成的一个k阶子式，称为矩 阵A的k阶子式。

例： 问题：1) 可研究它的几阶子式? 2) 各阶子式分别有几个? 矩阵的秩的另一种定义： 定义4：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有 的r＋1阶子式（如果有的话）都为零，则r(A)=r. 注： 阶矩阵A的秩r是A中不等于零的子式的 最高阶数。零矩阵的秩为零。

例6: 解：

例7： 解：

第三讲 线性方程组的相容性定理 一、高斯消元法 二、齐次线性方程组 三、非齐次线性方程组

一. 高斯消元法 设一般线性方程组为 则称矩阵 为方程组(1)的系数矩阵。

称矩阵 为方程组(1)的增广矩阵。 当 时,齐次线性方程组 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。

可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解. 定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换， 所得到的新的线性方程组与原方程组同解. 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换. 初等行变换

化为行阶 梯形矩阵

则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。 化为行最 简形矩阵 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。

由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若 ，则方程组无解。 2) 若 则方程组有解， 当 有唯一解。 有无穷多解。 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。 当 有唯一的零解。 有无穷多解，即有非零解。

举例说明消元法具体步骤： 例1：解线性方程组 解： 最后一行有 可知方程组无解。

例2：解线性方程组 解：

对应的方程组为 即 所以一般解为 （k为任意常数）

二. 齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 有非零解 定理2：齐次线性方程组 只有零解 解的性质 基础解系 解的结构 二. 齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 有非零解 定理2：齐次线性方程组 只有零解 推论：齐次线性方程组 只有零解 即 即系数矩阵A可逆。

例3 : 求下列齐次方程组的通解。 解： 初等行变换

行最简形矩阵对应的方程组为 即 是自由 未知量。 先求通解，再求基础解系. 令 则 即 为任意常数。

初等行变换 解： 所以只有零解。

三. 非齐次性线性方程组 1. 有解的条件 定理3：非齐次线性方程组 有解 并且，当 时，有唯一解； 当 时，有无穷多解。

例4 : 求解非齐次方程组 解：

令 则 为任意常数）

k取何值时有唯一解, 无穷多解或无解， 有无穷多解时求出通解. 例5： 解：

法2：利用Cramer法则 当 时，即 且 时，方程组有唯一解。 当 时， 即 有无穷多解，

所以方程组无解。

小结: 齐次线形方程组的相容性定理. 非齐次线形方程组的相容性定理.