通 信 原 理 指导教师:杨建国 二零零八年三月

第二章 信号、信道及噪声 2.1 确知信号的分析 2.2 随机信号的分析 2.3 信道特性 2.4 恒参信道及其对所传信号的影响 第二章 信号、信道及噪声 2.1 确知信号的分析 2.2 随机信号的分析 2.3 信道特性 2.4 恒参信道及其对所传信号的影响 2.5 变参信道及其对所传信号的影响 2.6 信道内的噪声 2.7 通信中常见的几种噪声 2.8 信道容量的概念

2.1 确知信号的分析 2.1.1 信号的分类 1. 周期信号和非周期信号 　　1. 周期信号和非周期信号 　如果信号x(t)满足x(t)=x(t+T0)，则称x(t)为周期信号，T0称为周期。反之，不能满足此关系的称为非周期信号。 　　周期信号用付氏级数展开有三种表示式。

　(1) 基本表示式 　　任意一个周期为T0的周期信号x(t)，只要满足狄里赫利条件，则可以展开为付里叶级数。 n = 1，2，3，… （2-1）

其中，　　　　　为基波角频率；　　　　为基波频率； （2-2） （2-3） （2-4）

(2) 余弦函数表示式 假若 令 那么 由此得x(t)的另一种表示式为 (2-5) 其中，C0=A0。

(3) 指数函数表示式 根据尤拉公式 可得 （2-6） 其中 (2-7)

　　2. 确知信号和随机信号 　　可以用明确的数学式子表示的信号称为确知信号。有些信号没有确定的数学表示式，当给定一个时间值时，信号的数值并不确定，通常只知道它取某一数值的概率，我们称这种信号为随机信号或不规则信号。

　　3. 功率信号和能量信号 　　如果一个信号 x(t)(电流或电压)作用在1Ω电阻上，瞬时功率为|x(t)|2 ,在（-T/2，T/2）时间内消耗的能量为 而平均功率 (2-9) 当T→∞时，如果E存在，则x(t)称为能量信号，此时平均功率S＝0。反之, 如果T→∞时E不存在(无穷大)，而S存在，则x(t)称为功率信号。  周期信号一定是功率信号；而非周期信号可以是功率信号， 也可以是能量信号。

2.1.2非周期信号的频谱分析 　　对于非周期信号， 可有其傅里叶变换求其频谱函数， 即 （2-10） 其中 （2-11） 称为频谱函数，通常用X(ω)=F［x(t)］表示，x(t)与X(ω)的关系记为　　　　　　, 表示为一对傅里叶变换。

　　在傅里叶级数展开式中，|Vn|=Cn/2，| Vn|与Cn均为绝对振幅，它可以直接表示该频率成分幅度的大小。  　　由 当T0→∞时 （2-12） 所以 （2-13）

2.1.3周期信号的频谱分析 　　周期信号x(t)的频谱密度函数X(ω)， 可通过式(2-6)和(2-11)求得 (2-14)

　　由上式可以看出，周期信号的频谱密度函数是由一系列的冲激离散频谱构成的，这些冲激位于信号基频ω0的各次谐波处。  　　为了方便计算周期信号x(t)的频谱密度函数X(ω)， 也可将x(t)在一个周期内截断，得到信号xT(t)，先求出xT(t)的傅里叶变换XT(ω)，再对得到的XT(ω)周期延拓从而求得X(ω)。 　　 设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号， 即 (2-15)

那么 从而推出 （2-16） 比较式(2-14)与式(2-16)可得 （2-17）

2.1.4信号的能量谱密度和功率谱密度 　　1. 能量信号的能量谱密度函数(帕塞瓦尔定理) 　　能量信号x(t)是指在时域内有始有终， 能量有限的非周期信号。 　　对能量信号x(t)，可用其频谱密度函数X(ω)及信号的能量谱密度函数G(ω)来描述。  　　设能量信号x(t)频谱密度函数为X(ω)， 信号的能量为

（2-18）

其中 （2-19） 为能量信号的能量谱密度函数，它表示单位频带上的信号能量，表明信号的能量在频率轴上的分布情况。 能量信号x(t)的能量谱密度函数等于它的频谱密度函数的模平方。所以，式（2-18）可重写为 （2-20） 上式表明，信号x(t)的能量为能量谱在频域内的积分值。式(2-20)称为能量信号的帕斯瓦尔定理。

　　2. 功率信号的功率谱密度函数 　功率信号x(t)是指信号在时域内无始无终，信号的能量无限，但平均功率有限的信号。 　　对于非周期功率信号x(t)的平均功率可用截断信号在区间内的平均功率求极限的方法得到。定义为 （2-21） 其中，　　是x(t)在区间　　　　　内的截断信号，为能量信号。

　　而周期信号是无始无终的，它在整个时域内能量无限，而功率有限，因此周期信号是典型的功率信号。设周期信号的周期为T0。则其平均功率表示为 　 （2-22） 式(2-22)说明周期信号的平均功率可在信号的一个周期内求平均得到。 　　在实际中常用信号的功率谱来描述功率信号。

　　功率信号x(t)的截断信号的频谱密度函数为。根据能量信号帕斯瓦尔定理得： （2-23） 将式(2-23)代入式(2-21)，得功率信号x(t)的平均功率为 （2-24）

其中， （2-25） 为功率信号x(t)的功率谱密度函数，它表示单位频带上的信号功率，表明信号功率在频率轴上的分布情况。信号x(t)的功率为功率谱在频域内的积分值。 　　对于周期信号，由前面帕塞瓦尔定理得

再根据 得 （2-26） 由函数式 可得

所以 （2-27） 综上所述，得 （2-28） 　　周期信号的功率谱密度是离散的，而且都是冲击函数。对于　不为零的　　成分，具有一定的功率，这是与非周期信号不同的。

2.1.5 信号的卷积和相关 　　1. 互相关函数 　　对周期功率信号，设x1(t)和x2(t)为两个周期功率信号， 则它们之间的互相关程度用互相关函数R12(τ)表示，且被定义为 (2-29) 对于一般功率信号，设x1(t)和x2(t)为非周期功率信号,则 (2-30)

设x1(t)和x2(t)为能量信号， 则 (2-31) 　当x1(t)=x2(t)时，互相关函数就变为自相关函数，因此仿照互相关函数的定义即得自相关函数的定义。 　　对于非周期功率信号，设信号为x(t)，自相关函数为,则 (2-32)

如果x(t)是周期功率信号, 那么 (2-33) 对于能量信号, 则 (2-34)

　　相关函数描述了两个函数在时间间隔τ的两点上取值的相关性，它与卷积过程有一定的相似性。相关函数的积分运算与卷积运算的主要区别如下：  　　(1) 卷积运算是无序的，即x1(t)*x2(t)= x2(t)* x1(t) ； 而相关函数的积分运算是有序的，即R12(τ)≠R21(τ)。  　　(2) 对于同一个时间位移值，相关函数的积分运算与卷积运算中位移函数的移动方向是相反的。 　　(3) 卷积是求解信号通过线性系统输出的方法，而相关函数的积分是信号检测和提取的方法。  　　(4) 当信号x(t)通过一个线性系统时，若系统的冲激响应h(t)=x(-t)，则系统对x(t)的输出响应为x(t)*h(t)=R(t)， 即冲激响应为输入信号x(t) 的镜像函数时， 系统的输出为x(t)的自相关函数。

　　2. 能量信号的相关定理 　　能量信号x(t)的自相关函数具有以下性质：  　　(1) 自相关函数是偶函数，即R(τ)=R(-τ)。 　　(2) 当τ=0时，R(τ)就是信号的能量， 即 　　此外，当τ=0时，自相关函数R(τ)取最大值，即R(0)≥R(τ)， 因此这时自相关性最强。

　　若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)， 则信号x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅里叶变换对，即 (2-35) 式(2-35)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频谱相乘。 　　若x1(t)=x2(t)=x(t)，则有

即 (2-36) 可见，能量信号的自相关函数和能量谱密度函数是一对傅里叶变换

　3. 功率信号的相关函数 　功率信号的相关函数仍然用信号截断后求极限的方法得到。同理, 也可以证明，功率信号的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即 (2-37) 　　综上所述， 我们既可以把确定信号x(t)分为周期信号与非周期信号，通过傅里叶变换求得信号的频谱密度函数X(ω)，从而在频域内研究该信号; 也可以把确定信号分为能量信号与功率信号，对信号的自相关函数及其傅里叶变换, 即能量谱及功率谱进行分析，从而使得确定信号的分析方法进一步得到完善。

2.2 随机信号的分析 2.2.1 随机变量与概率分布 1. 随机变量的定义 　　在概率论中，把某次试验中可能发生的和可能不发生的事件称为随机事件(简称事件)。对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果， 但试验的所有可能结果组成的集合是已知的。我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合标为E的样本空间，记为S。一般，称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件。

　　设E是随机试验，它的样本空间是S＝{e}。如果对于每一个e∈S， 有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值实值函数X=X(e)，称为随机变量。  　　当随机变量的取值个数是有限的或可数无穷个时，则称它为离散随机变量，否则就称它为连续随机变量， 即可能的取值充满某一有限或无限区间。

　　2. 概率分布函数和概率密度函数 　　设随机变量X可以取x1、x2、x3、x4四个值，且有：x1<x2<x3<x4；对应的概率为P(xi)或P(X＝xi)，则有：P(X≤x2)＝P(x1)+P(x2)，用P(X≤x)定义的x的函数称之为随机变量x的概率分布函数(以后简称分布函数)，记作F(x)，即 (2-38) 该定义中，x可以是离散的也可以是连续的， 显然有 以及，设x1≤x2，则F(x1)≤F(x2)， 即F(x)是单调不减函数。

　　对于一连续随机变量x，设其分布函数F(x)对于一个非负函数f(x)有下式成立： (2-39) 则称f(x)为x的概率密度函数(简称概率密度)，因为式(2-39)表示随机变量X在(-∞, ∞)区间上取值的概率，故f(x)具有概率密度的含义， 所以 （2-40） 因此，概率密度就是分布函数的导数。 

概率密度有如下的性质：

F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y) 3. 多维随机变量和多维概率分布 　　3. 多维随机变量和多维概率分布 　　上面讨论的只是单个随机变量及其概率分布，实际上， 许多随机试验的结果只用一个随机变量来描述是不够的，而必须同时用两个或更多个随机变量来描述，我们把这种由多个随机变量所组成的一个随机变量总体称为多维随机变量，记作二维(X1，X2)，…，n维(X1，X2 ，…，Xn)等等。 多维随机变量不是多个随机变量的简单组合， 它不但取决于组成它的每个随机变量的性质，而且还取决于这些随机变量两两之间的统计关系。  　　设有两个随机变量X和Y，我们把两个事件(X≤x)和(Y≤y)同时出现的概率定义为二维随机变量(X,Y)的二维分布函数， 记作F(x, y)。 F(x，y)＝P(X≤x，Y≤y) (2-41)

如果F(x， y)可表示成 (2-42) 则称f(x，y)为二维概率密度，即 (2-43)

f(x,y)=f(x)*f(y) 同理二维联合概率分布有性质有： (1) (2) (3) 当满足 （2-44） (3)　当满足 f(x,y)=f(x)*f(y) （2-44） 时，且也只有满足此条件时， 随机变量x和y也才是统计独立的。 　　当随机变量X、Y统计独立时，可以由一维概率分布确定二维联合分布。但在一般情况下，知道一维的概率分布， 并不一定能求出二维的联合分布，这时就需要引进条件概率分布的概念。

给定随机变量X后， 变量Y的条件概率密度定义为 (2-45) 　　当f(x)≠0时，由式（2-44）和式（2-45）不难得出，当f(y|x)=f(y)时， X和Y统计独立。

2.2.2 随机变量的函数与数字特征 　　1. 随机变量的函数 　　一维或多维随机变量经过确定函数变换后，可得到一个新的随机变量，称其为随机变量的函数，可以表示为以下几种情况：  　　(1) Y=g(X) 式中X，Y均为一维随机变量。  　　(2) Y＝g(X1，X2，…，Xn) 式，X是n维随机变量，函数Y是一维的。 　　　

(3) 式中，X是n维随机变量， 函数(Y1，Y2，…，Ym)则是m维的。 若要完整地表述一个随机变量的统计特性，就必须求得它的分布函数或概率密度函数．然而， 在许多实际问题中，往往并不关心随机变量的概率分布，而只想知道它的某些特征。这些表述随机变量“某些特征”的数， 就称之为随机变量的数字特征。

　　2. 随机变量的数字特征 　(1) 数学期望 　 随机变量的数学期望，或简称均值，反映了随机变量取值的集中位置。 　　设P(xi)(i=1,2,…,n)是离散随机变量X的取值xi的概率，则其数学期望 (2-46) 实际上就是对随机变量的加权求和，而加权值就是各个可能值出现的概率。

　　对于连续随机变量的数学期望可用积分计算，设f(x)为连续随机变量X的概率密度函数，则X的数学期望定义为 (2-47) 　　这一定义也可推广到对X的函数Y=g(x)的集合平均， 根据式(2-46)有 (2-48) 式中，xi、yi是相互对应的取值。

　　对于连续随机变量的函数而言， 如果下面的积分存在， 则X的函数g(x)的数学期望为 （2-49）

　(2) 方差 　随机变量的方差，反映随机变量取值的集中程度。 　　设X是一个随机变量，若E{[X-E（X）]2}存在，则称E{[X-E（X）]2}为X的方差，记为D（X）或Var(X)，即 （2-50） 方差经常又用σ2来表示，方差的平方根σ又称为“标准偏差”。  　　 Xn的期望称为X的n阶(原点)矩， 此n阶矩为 (2-51)

　　除了原点矩外，还有相对于均值E(x)的n阶矩，即E{［X-E(X)］n}， 也称之为n阶中心矩 (2-52) 可见在n阶矩中，方差是最重要的, 是二阶中心矩。  　　矩的概念可以推广到两个随机变量上，称之为混合矩，随机变量X、Y的(m+n)阶混合原点矩定义为 (2-53)

其相应的混合中心矩umn则定义为 (2-54) 在混合中心矩umn中，最重要的是m=1、n=1时的混合中心矩E{［X-E(X)］［Y-E(Y)］}，记作u11，称之为相关矩或协方差。 　　X, Y的归一相关矩， 它又称为X、Y相关系数，定义为 （2-55）

　相关系数的性质： 　(1) 。|ρ|≤1。 　(2) 相关性：若X、Y的相关系数，则称X、Y是线性不相关的。 　　(3) 独立与相关：若两随机变量X、Y是统计独立的，则它们必不相关，但是若X、Y不相关，并不意味着它们一定是统计独立的。

2.2.3 随机过程的统计特性 　　1. 随机过程的定义 　　简单地说，随机过程是一种取值随机变化的时间函数， 它不能用确切的时间函数来表示。对随机过程来说，“随机”的含意是指取值不确定， 仅有取某个值的可能性；“过程”的含意是指它为时间t的函数。即在任意时刻考察随机过程的值是一个随机变量，随机过程可看成是随时间t变化的随机变量的集合。或者说，随机过程是一个由全部可能的实现(或样本函数)构成的集合， 且每个实现都是不确定的。

　　随机过程的取值虽然随机，但取各种值的可能性的分布规律通常是能够确切地获得的，也就是说， 随机过程有确切的统计规律。 因此可以用严格的统计特性来描述随机过程。  　　数学上可以用随机实验和样本空间的概念来定义随机过程。 设E是随机实验，S={e}是它的样本空间， 如果对每一个样本e∈S来说， 总可以按某一规则确定参数t的实值函数 与之对应，那么，对所有的样本e∈S，就得到一簇时间函数， 并称此簇时间函数为随机过程，其中每个时间函数称为该随机过程的样本函数, T是参数t的变化范围, 称为参数集。

　对这个定义应理解为，与某一特定的结果相对应的时间函数是一个确定的时间函数，称之为随机过程的一个样本函数或一次实现；在某一特定时刻t=t1时，函数值X(e,t1)是一个随机变量，对不同的时间t得到一簇随机变量，所以随机过程是依赖于时间参数t的一簇随机变量。 　　如果在某一个固定时刻，如t=t1时，来观察随机过程的值X(t1)，那么它是一个随机变量；在不同的t1，t2，…，tn时刻考察随机过程时，将得到不同的随机变量。

　　2. 随机过程的统计特性 　(1) 随机过程的分布函数和概率密度函数 　　设随机过程为X(t)，当t=t1时，观察随机过程的值X(t)是一个随机变量。因此随机过程X(t)在t=t1时刻的统计特性就是该时刻随机变量X(t1)的统计特性。随机变量X(t1)的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述，称 (2-56)

　　为随机过程X(t)的一维分布函数。如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即 (2-57) 则称f1(x1,t1)为随机过程X(t)的一维概率密度函数。由于t1时刻是任意选取的，因此可以把t1写为t，这样f1(x1,t1)可记为f1(x,t)。显然，一维分布函数或一维概率密度函数描述了随机过程在某一时刻上的统计特性。

　　由于随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在孤立时刻上的统计特性， 而不能反映过程内部任意两个时刻或多个时刻上的随机变量的内在联系， 因此还必须引入二维分布函数及多维分布函数才能达到充分描述随机过程的目的。  　　随机过程X(t)在t=t1及t=t2时得到的X(t1)及X(t2)分别是两个随机变量，它们相应取x1及x2值的联合概率称为X(t)的二维分布函数。 即称 (2-58)

为随机过程X(t)的二维分布函数。如果F2(x1, x2;t1,t2)对x1及x2的偏导数存在，即 (2-59) 则称f2(x1,x2;t1,t2)为随机过程X(t)的二维概率密度函数。 　　随机过程的二维分布函数或二维概率密度函数描述了随机过程在任意两个时刻上的联合统计特性。  　　同理可以得到随机过程X(t)的n维分布函数和n维概率密度函数。

　　显然，n越大，用n维分布函数或n维概率密度函数去描述随机过程就越充分。不过在实践中，用高维(n>2)分布函数或概率密度函数去描述随机过程时，往往会遇到困难， 因为高维概率密度函数在不少场合经常难以获得。在对随机变量进行描述时，如果仅对随机变量的主要特征关心的话，还可以求出随机变量的数字特征。因此相应于随机变量数字特征的定义方法， 也可以得到随机过程的数字特征。

　　2) 随机过程的数字特征 　　(1) 随机过程的数学期望(均值)。当t=t1时，随机过程X(t1)是一个随机变量，其数学期望为 (2-60) 其中，t1取任意值t时，得到随机过程的数学期望，记为E［X(t)］或a(t)。 E［X(t)］为 式中，f1(x,t)为X(t)在t时刻的一维概率密度函数。

(2) 随机过程的方差。 随机过程的方差为 (2-61) σ2(t)表示了X(t)在t时刻的随机变量的方差。一般情况下， 随机过程的方差是时间t的函数，它表示了随机过程在各个孤立时刻上的随机变量对均值的偏离程度。  　　 式(2-61)还可以写为 (2-62)

　　③ 随机过程的自相关函数。随机过程X(t)的均值a (t)和方差σ2(t) ，仅描述了随机过程在孤立时刻上的统计特性，它们不能反映出过程内部任意两个时刻之间的内在联系。这点可用图2-1来说明。图2-1(a)中的随机过程X(t)和图2-1(b)中的随机过程Y(t)具有相同的均值和方差，但X(t)和Y(t)的统计特性明显不同。X(t)变化快，Y(t)变化慢，即过程内部任意两个时刻之间的内在联系不同或者说过程的自相关函数不同。X(t)变化快，表明随机过程X(t)内部任意两个时刻t1，t2之间波及小，互相依赖性弱，即自相关性弱。而Y(t)变化慢，表明随机过程Y(t)内部任意两个时刻t1，t2之间波及大，互相依赖性强，即自相关性强。 　

(a) 随机过程X(t); (b) 随机过程Y(t) 图2-1 随机过程的自相关函数 (a) 随机过程X(t); (b) 随机过程Y(t)

　　所谓相关，实际上是指随机过程在t1时刻的取值对下一时刻t2的取值的影响。影响越大，相关性越强，反之，相关性越弱。  　　为了定量地描述随机过程的这种内在联系的特征,即随机过程在任意两个不同时刻上取值之间的相关程度,我们引入自相关函数RX(t1,t2)和协方差函数CX(t1,t2)。  　　随机过程X(t)的自相关函数RX(t1,t2)定义为 (2-63)

随机过程X(t)的协方差函数CX(t1, t2)定义为 (2-64) 显然，RX(t1, t2)和CX(t1, t2)之间有如下关系 (2-65) 　　相关函数的概念可以引入到两个随机过程中, 以描述它们之间的关联程度, 称之为互相关函数。 设有随机过程X(t)和Y(t), 那么它们的互相关函数为 (2-66)

2.2.4 平稳随机过程 　　1. 平稳随机过程的定义 　　平稳随机过程是指过程的任意n维概率密度函数fn(x1，x2，…，xn；t1，t2，…，tn)与时间的起点无关。即对任意的n值及时间间隔来说，如果随机过程X(t)的n维概率密度函数满足 (2-67) 则称随机过程X(t)为平稳随机过程。可见平稳随机过程是指统计特性不随时间的变化而改变的随机过程。如果过程产生的环境条件不随时间的变化而改变的话，则该过程就可以认为是平稳的。 通常， 在通信系统中遇到的随机信号和噪声都是平稳随机过程。

平稳随机过程的一维概率密度函数为 (2-68) 可见，平稳随机过程的一维概率密度函数与考察时刻t无关; 即平稳随机过程在各个孤立时刻服从相同的概率分布。  　　同理可得平稳随机过程的二维概率密度函数为 (2-69) 即平稳随机过程的二维概率密度函数与时间的起点t1无关， 而仅与时间间隔τ有关， 它是τ的函数。

　　根据平稳随机过程的定义, 我们可以求得平稳随机过程X(t)的数学期望、方差和自相关函数分别为 （2-70） 　　由此可见，平稳随机过程的数学期望和方差都是与时间无关的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数。

　　2. 平稳随机过程的性质 　　1) 各态历经性 　　设x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个实现，若X(t)的数字特征（统计平均）可由x(t)的时间平均来替代， 即 （2-71）

2) 平稳随机过程自相关函数的性质 平稳随机过程X(t)的自相关函数有如下主要性质： ① ② ③ ④ ⑤ (X(t)的总平均功率)； (R(τ)是偶函数) (R(τ)有上限)； (X(t)的直流功率)； (方差，X(t)的交流功率)。

　　3) 平稳随机过程的功率谱密度 　　随机过程的频谱特性可用它的功率谱密度来表述。可以证明：平稳随机过程X(t)的功率谱密度PX(ω)与其自相关函数RX(τ)是一对傅里叶变换关系， 即 （2-72） 当τ=0时， 有

2.2.5 随机过程通过线性系统 　　随机过程加到线性系统的输入端，可以理解为随机过程的某一可能的样本函数出现在线性系统的输入端。设加到线性系统输入端的是随机过程X(t)的某一样本x(t)，系统相应的输出为y(t)， 则有 (2-73) 其中，h(t)为线性系统的冲激响应函数，且有 (2-74)

或者 (2-75) 式中，X(ω)为x(t)的傅里叶变换； H(ω)为h(t)的傅里叶变换， 是线性系统的网络函数。如果将线性系统的输入信号x(t)看作是随机过程X(t)的一次实现，那么线性系统的输出信号y(t)就可视为输出随机过程Y(t)的一次实现。因此，当线性系统的输入是随机过程X(t)时， 输出Y(t)也是随机过程，且X(t)和Y(t)的关系为 (2-76)

1) 输出随机过程Y(t)的数学期望 在式(2-76)两边取统计平均， 得 (2-77) 式中，因为mx是常数，所以可以提到积分号外面来。如果再由 则有 (2-78) 式(2-78)表明，输出随机过程Y(t)的数学期望等于输入随机过程X(t)的数学期望与H(0)的乘积， 且与时间t无关。

2) 输出随机过程Y(t)的自相关函数 由自相关函数的定义，Y(t)的自相关函数RY(t, t+τ)为 (2-79) 将式(2-77)代入，得到 (2-80) 式中，E［X(t-u)X(t+τ-v)］=RX(τ+u-v)为输入平稳随机过程X(t)的自相关函数。于是有 (2-81)

3) 输出随机过程Y(t)的功率谱密度 由维纳-辛钦定理，Y(t)的功率谱密度PY(ω)为 (2-82) 将式(2-81)代人，得 令m=τ+u-v，得 (2-83)

　　4) 输出随机过程Y(t)的概率分布 　　平稳高斯随机过程通过线性系统后，输出随机过程仍然是服从高斯分布的，有关证明请读者查阅有关资料。

2.3 信道特性 2.3.1 信道的定义 通俗地说，信道是指以传输媒介(质)为基础的信号通路 具体地说，信道是指由有线或无线电线路提供的信号通路 抽象地说，信道是指定的一段频带，它让信号通过，同时又 给信号以限制和损害 信道的作用是传输信号

2.3.2 信道的分类 狭义信道通常按具体媒介的不同类型可分为有: 有线信道：传输媒介为明线、对称电缆、同轴电缆、 光缆及 　波导等一类能够看得见的媒介 无线信道：短波电离层、对流层散射等。可以这样认为，凡不 　属有线信道的媒质均为无线信道的媒质 无线信道的传输特性没有有线信道的传输特性稳定和可靠，但 　无线信道具有方便、灵活，通信者可移动等优点

广义信道通常也可分成两种： 调制信道：是从研究调制与解调的基本问题出发而构成 的，它的范围是从调制器输出端到解调器输入端。调制信 道常常用在模拟通信中 编码通道：着眼于编码和译码问题

图2-2 调制信道与编码信道

2.3.3 信道的模型 1. 调制信道 通过对调制信道进行大量的考察之后， 可发现它有如下主要特性：  (1) 有一对(或多对)输入端， 则必然有一对(或多对)输出端 (2) 绝大部分信道是线性的， 即满足叠加原理  (3) 信号通过信道需要一定的迟延时间  (4) 信道对信号有损耗(固定损耗或时变损耗) (5) 即使没有信号输入， 在信道的输出端仍可能有一定的功率输出(噪声)

(a) 一对输入端， 一对输出端； (b) m对输入端，n对输出端 图2-3 调制信道模型 (a) 一对输入端， 一对输出端； (b) m对输入端，n对输出端

对于二对端的信道模型来说，它的输入和输出之间的关系式可表示成 : (2-84) ei(t)——输入的已调信号 eo(t)——信道输出波形 n(t)——信道噪声(或称信道干扰) f［ei(t)］——表示信道对信号影响(变换)的某种函数关系

由于f［ei(t)］形式是个高度概括的结果，为了进一步理解信 道对信号的影响，我们把f［ei(t)］设想成为形式k(t)·ei(t) (2-85) 我们期望的信道(理想信道)应是k(t)=常数，n(t)=0 (2-86)

2. 编码信道 编码信道是包括调制信道及调制器、解调器在内的信道 调制信道对信号的影响是通过k(t)和n(t)使调制信号发生“模 拟”变化， 而编码信道对信号的影响则是把一种数字序列 变成另一种数字序列 有时把编码信道看成是一种数字信道

由于编码信道包含调制信道，因而它同样要受到调制信道 的影响 从编/译码的角度看，以上这个影响已被反映在解调器的最 终结果里——使解调器输出数字序列以某种概率发生差错 如果调制信道越差， 即特性越不理想和加性噪声越严重， 则发生错误的概率将会越大 编码信道的模型可用数字信号的转移概率来描述

例如在最常见的二进制数字传输系统中，一个简单的编码 信道模型可示于图2-4 图2-4 二进制无记忆编码信道模型

在这个模型里，把P(0/0)、P(1/0)、P(0/1)、P(1/1)称为信道转 (2-88) (2-87)

为了方便理解，把信道分类归纳如下： 2.6 信道内的噪声

2.4 恒参信道及其对所传信号的影响 2.4.1 幅度—频率畸变 图2-5 典型音频电话信道的衰耗—频率特性

2.4.2 相位—频率畸变(群迟延畸变) 所谓相位—频率畸变，是指信道的相位—频率特性偏离线性关系所引起的畸变。电话信道的相位—频率畸变主要来源于信道中的各种滤波器及可能有的加感线圈，尤其在信道频带的边缘，相频畸变就更严重。  相频畸变对模拟话音通道影响并不显著，这是因为人耳对相频畸变不太灵敏；但对数字信号传输却不然，尤其当传输速率比较高时，相频畸变将会引起严重的码间串扰，给通信带来很大损害。

信道的相位—频率特性还经常采用群迟延—频率特性来衡量。所谓群迟延—频率特性，它被定义为相位—频率特性的导数，即若相位—频率特性用φ(ω)表示，则群迟延—频率特性(通常称为群迟延畸变或群迟延)T(ω)为 (2-89)

(a)φ(ω)—ω； (b)τ(ω)—ω 图 2-6 理想的群迟延特性 (a)φ(ω)—ω； (b)τ(ω)—ω

图2-7 典型的电话信道的群迟延—频率特性

(a) 相移失真前的波形； (b) 相移失真后的波形 图 2-8 相移失真前后的波形比较 (a) 相移失真前的波形； (b) 相移失真后的波形

2.4.3 减小畸变的措施 　　为了减小幅度—频率畸变，在设计总的电话信道传输特性时，一般都要求把幅度—频率畸变控制在一个允许的范围内。 这就要求改善电话信道中的滤波性能，或者再通过一个线性补偿网络，使衰耗特性曲线变得平坦。后面这一措施通常称之为“均衡”。在载波电话信道上传输数字信号时， 通常要采用均衡措施。  　　相位—频率畸变(群迟延畸变)如同幅频畸变一样，也是一种线性畸变。因此，采取相位均衡技术也可以补偿群迟延畸变。

　　综上所述，恒参信道通常用它的幅度—频率特性及相位—频率特性来表述。而这两个特性的不理想将是损害信号传输的重要因素。非线性畸变主要由信道中的元器件(如磁芯，电子器件等)的非线性特性引起，造成谐波失真或产生寄生频率等；频率偏移通常是由于载波电话系统中接收端解调载波与发送端调制载波之间的频率有偏差(例如，解调载波可能没有锁定在调制载波上)，而造成信道传输的信号之每一分量可能产生的频率变化；相位抖动也是由调制和解调载波发生器的不稳定性造成的，这种抖动的结果相当于发送信号附加上一个小指数的调频。以上的非线性畸变一旦产生，一般均难以排除。这就需要在进行系统设计时从技术上加以重视。

2.5 变参信道及其对所传信号的影响 2.5.1 变参信道传输媒质的特点 变参信道传输媒质通常具有以下特点：  (1) 对信号的衰耗随时间的变化而变化；  (2) 传输时延随时间也发生变化；  (3) 具有多径传播(多径效应)。

2.5.2 多径效应的分析 属于变参的传输媒质主要以电离层反射和散射、对流层散射等为代表，信号在这些媒质中传输的示意图如图2-9所示。 图2-9(a)为电离层反射传输示意图， 图2-9(b)为对流层散射传输示意图。它们的共同特点是：由发射点出发的电波可能经多条路径到达接收点，这种现象称多径传播。就每条路径信号而言， 它的衰耗和时延都不是固定不变的，而是随电离层或对流层的机理变化而变化的。因此，多径传播后的接收信号将是衰减和时延随时间变化的各路径信号的合成。若设发射信号为Acosωct，则经过n条路径传播后的接收信号R(t)可用式(2-90)表述: (2-90)

φi(t)=-ωctdi(t) 式中，ai(t)——总共n条多径信号中第i条路径到达接收端的随机幅度；  tdi(t)——第i条路径对应于它的延迟时间；  φi(t)——相应的随机相位，即 φi(t)=-ωctdi(t)

(a) 电离层反射传输示意图； (b) 对流层传输示意图 图2-9 多径传播示意图 (a) 电离层反射传输示意图； (b) 对流层传输示意图

由于ai(t)和φi(t)随时间的变化要比信号载频的周期变化慢得多，因此式(2 - 7)又可写成 (2-91) 令 (2-92) (2-93)

并代入式(2-8)后得 (2-94) 其中，a(t)是多径信号合成后的包络， 即 (2-95) 而φ(t)是多径信号合成后的相位， 即 (2-96)

由式(2-11)可以得到： (1) 从波形上看，多径传播的结果使单一载频信号Acosωct变成了包络和相位都变化(实际上受到调制)的窄带信号；  (2) 从频谱上看，多径传播引起了频率弥散(色散)，即由单个频率变成了一个窄带频谱；  (3) 多径传播会引起选择性衰落。

为分析简单，下面假定只有两条传输路径，且认为接收端的幅度与发端一 样，只是在到达时间上差一个时延τ。若发送信号为f(t)，它的频谱为F(ω)，记为  设经信道传输后第一条路径的时延为t0，在假定信道衰减为K的情况下，到达接收端的信号为Kf(t-t0)，相应于它的傅氏变换为 (2-97) (2-98)

另一条路径的时延为(t0+τ)，假定信道衰减也是K，故它到达接收端的信号为Kf(t-t0-τ)。相应于它的傅氏变换为 (2-99) 当这两条传输路径的信号合成后得 (2-100) 对应于它的傅氏变换为 (2-101)

因此， 信道的传递函数为 (2-102) H(ω)的幅频特性为 (2-103) |H(ω)|—ω特性曲线，如图2-9所示(K=1)。

图2-10 两条路径传播时选择性衰落特性

2.5.3 变参信道特性的改善 空间分集。 (2) 频率分集。 (3) 角度分集。 (4) 极化分集。

各分散的合成信号进行合并的方法通常有：  最佳选择式。 (2) 等增益相加式。 (3) 最大比值相加式。

图 2-11 三种合并方式的比较

2.6 信道内的噪声(干扰) 信道内噪声的来源很多，它们表现的形式也多种多样 根据噪声的来源不同，我们可以将它们粗略地分为以下四类: 2.6 信道内的噪声(干扰) 信道内噪声的来源很多，它们表现的形式也多种多样 根据噪声的来源不同，我们可以将它们粗略地分为以下四类: 无线电噪声：来源于各种用途的无线电发射机 (2) 工业噪声：来源于各种电气设备 (3) 天电噪声：来源于雷电、磁暴、太阳黑子、宇宙射线 (4) 内部噪声：来源于信道本身所包含的各种电子器件、转换器、天线、传输线

从噪声性质来区分可有：  单频噪声：主要指无线电干扰 (2) 脉冲干扰： 包括工业干扰中的电火花、断续电流、雷电 (3) 起伏噪声：主要指信道内部的热噪声、器件噪声、宇宙噪声 2.8 信道容量的概念

2.7 通信中常见的几种噪声 2.7.1 白噪声 所谓白噪声是指它的功率谱密度函数在整个频率域(-∞＜ω＜+∞)内是常数，即服从均匀分布。我们称它为白噪声，因为它类似于光学中包括全部可见光频率在内的白光。凡是不符合上述条件的噪声就称为有色噪声，它只包括可见光频谱的部分频率。但是，实际上完全理想的白噪声是不存在的，通常只要噪声功率谱密度函数均匀分布的频率范围超过通信系统工作频率范围很多很多时，就可近似认为是白噪声。例如，热噪声的频率可以高到1013Hz，且功率谱密度函数在0~1013Hz内基本均匀分布，因此可以将它看作白噪声。

理想的白噪声功率谱密度通常被定义为 (2-104) 式中n0的单位是W/Hz。  通常，若采用单边频谱，即频率在0到无穷大范围内时， 白噪声的功率谱密度函数又常写成 (2-105)

在信号分析中，我们知道功率信号的功率谱密度与其自相关函数R(τ)互为傅氏变换对，即 (2-106) 因此，白噪声的自相关函数为 (2-107) 式(2-107)表明，白噪声的自相关函数是一个位于τ=0处的冲激函数，它的强度为n0/2。白噪声的Pn(ω)和Rn(τ)图形如图2-12所示。

图 2-12 理想白噪声的功率谱密度函数和自相关函数图形 (a) 功率谱密度函数； (b) 自相关函数

2.7.2 高斯噪声 在实际信道中，另一种常见噪声是高斯型噪声(即高斯噪声)。所谓高斯(Gaussian)噪声是指它的概率密度函数服从高斯分布(即正态分布)的一类噪声， 可用数学表达式表示成 (2-108) 式中，a为噪声的数学期望值，也就是均值；σ2为噪声的方差；exp(x)是以e为底的指数函数。

通常，通信信道中噪声的均值a=0，那么，我们由此可得到一个重要的结论，即在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。 这是因为 (2-109) 噪声的方差 (2-110)

所以， 有 (2-111) 式(2-108)是个非常有用的结果，在通信理论分析中，常常通过求其自相关函数或方差来计算噪声的功率。 式(2-25)可用图2-13表示。

图 2-13 高斯分布的密度函数

p(a+x)=p(a-x)  (1) p(x)对称于x=a直线，即有 (2) p(x)在(-∞, a)内单调上升，在(a, +∞)内单调下降， 且在点a处达到极大值，当x→±∞时 (2-112) (2-113)

(3) 且有 (2-114) (4) 对不同的a，表现为p(x)的图形左右平移；对不同的σ，p(x)的图形将随σ的减小而变高和变窄。 

(5) 当a=0, σ=1时，则称式(2-25)为标准化的正态分布，这时即有 (2-115) 现在再来看正态概率分布函数F(x)，分布函数F(x)常用来表示某种概率，这是因为 (2-116) (2-117)

式中，Φ(x)称为概率积分函数，简称概率积分，其定义为 (2-118) 这个积分不易计算，但可借助于一般的积分表查出不同x值的近似值。

正态概率分布函数还经常表示成与误差函数相联系的形式，所谓误差函数，它的定义式为 (2-119) 互补误差函数 (2-120)

2.7.3 高斯型白噪声 所谓高斯白噪声是指噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时它的功率谱密度函数是常数的一类噪声。这类噪声，理论分析要用到较深的随机理论知识，故不展开讨论， 它的一个例子就是维纳过程。  值得注意的是高斯型白噪声，它是对噪声的两个不同方面而言的，即对概率密度函数和功率谱密度函数而言的，不可混淆。

2.7.4 窄带高斯噪声 当高斯噪声通过以ωc为中心角频率的窄带系统时，就可形成窄带高斯噪声。所谓窄带系统是指系统的频带宽度B比起中心频率来小得很多的通信系统，即B<<fc=ωc/2π的系统。这是符合大多数信道的实际情况的，信号通过窄带系统后就形成窄带信号，它的特点是频谱局限在±ωc附近很窄的频率范围内，其包络和相位都在作缓慢随机变化。  基于此， 随机噪声通过窄带系统后， 可表示为 (2-121)

图2-14 窄带高斯噪声的频谱和波形 (a) 噪声的频谱； (b) 噪声的波形

窄带高斯噪声的表达式(2-38)可变成另一种形式， 即 (2-122) 式中，nI(t)称为噪声的同相分量， 即 (2-123) nQ(t)称为噪声的正交分量， 即 (2-124)

几种结论：  (1) 一个均值为零的窄带高斯噪声n(t)，假定它是平稳随机过程，则它的同相分量nI(t) 和正交分量nQ(t)也是平稳随机过程，且均值也都为零，方差也相同，即 (2-125) (2-126) 式(2-42b)常可表示为 (2-127 式中，σ2n、σ2I、σ2Q分别表示窄带高斯噪声、同相分量和正 交分量的方差(即功率)。

(2) 窄带高斯噪声的随机包络服从瑞利分布， 即 (2-128) (3) 窄带高斯噪声的相位服从均匀分布， 即 (2-129) 窄带高斯噪声的随机包络和相位分布的曲线如图2-15所示。

图2-15 窄带高斯噪声的随机包络和相位的曲线 (a) 随机包络； (b) 相位

2.7.5 余弦信号加窄带高斯噪声 在通信系统性能分析中，常有余弦信号加窄带高斯噪声的形式，即Acosωt+n(t)形式。如分析2ASK、2FSK、2PSK等信号抗噪声性能时，其信号均为Acosωt形式，那么信号加上信道噪声后多为以下形式 (2-130)

式中 (2-131) (2-132) 分别为信号加噪声的随机包络和随机相位，下面主要给出几个有用的结论：

(1) 余弦信号和窄带高斯噪声的随机包络服从广义瑞利分布(也称莱斯(Rice)分布)。若信号幅度A→0时，其随机包络服从瑞利分布。 广义瑞利分布表达式为  式中，I0(x)为零阶修正贝赛尔函数。I0(x)在x＞0时，是单调上升函数，且I0(0)=1。  (2) 余弦信号加窄带高斯噪声的随机相位分布与信道中的信噪比有关，当信噪比很小时， 它接近于均匀分布。 (2-133)

2.8 信道容量的概念 2.8.1 信号带宽 信号的带宽(或者是噪声的带宽)，这是由信号(或噪声)能量 谱密度G(ω)或功率谱密度P(ω)在频域的分布规律来确定的 信道的带宽，它是由传输电路的传输特性所决定的 都用B表示，单位为Hz

1) 以集中一定百分比的能量(功率)来定义 对于能量信号，可由 (2-134) 求出B。带宽B是指正频率区域，不计负频率区域的。 对于功率信号， 可由 (2-135) 求出B。 这个百分比γ可取90％、95％或99％等。

A功率比B功率大一倍，那么10lgA／B＝10lg2＝3dB 对于频率轴上具有明显的单峰形状的能量谱密度的信号， 且峰值位于f=0处, 则信号带宽为正频率轴上G(f)(或P(f))下降 到3 dB(半功率点)处的相应频率间隔, 如图2-16所示： 或 得 (2-136) A功率比B功率大一倍，那么10lgA／B＝10lg2＝3dB

图2-16 3 dB带宽

　　3) 等效矩形带宽 用一个矩形的频谱代替信号的频谱，矩形频谱具有的能量 与信号的能量相等，矩形频谱的幅度为信号频谱f=0时的幅 度, 如图2-17所示： 由 或

得 (2-137) 或 (2-138)

图2-17 等效矩形带宽

2.8.2 信道容量 　　1. 离散信道的信道容量 对于离散信道，当信道中不存在干扰时，离散信道的输入符 号X与输出符号Y之间有一一对应的确定关系 当信道中存在干扰时， 则输入符号与输出符号之间存在某 种随机性，它们之间已不存在一一对应的确定关系，而具有 一定的统计相关性 离散信道的特性一般用转移概率来描述

设离散信道模型如图2-18所示: 图2-18 离散信道模型 (a) 无噪声信道； (b) 有噪声信道

P(xi)表示发送符号xi的概率，P(yi)表示收到符号yi的概率， P(yi / xi), P(yj/xi)或P(xi /yi)是转移概率，这里i=1，2，3, …，n, j=1，2，…，m 输出与输入之间具有一定的统计关联，并且这种随机对应的 统计关系就反映在信道的条件(或转移)概率上。因此，可以用 信道的条件概率来合理地描述信道干扰和信道的统计特性

在有噪声的信道中，发送符号为xi而收到的符号为yj时所获 得的信息量： (2-139) 式中 　　　　 ——未发送符号前xi出现的概率 　　　　　　　——收到yj而发送为xi的条件概率

所有发送为xi而收到为yj取平均， 则 (2-140) 　式中: H(x)——发送的每个符号的平均信息量  　 H(x／y)——发送符号在有噪声的信道中传输平均丢失的信息量，或当输出符号已知时输入符号的平均信息量

R=Ht(x)-Ht(x/y) 信息传输速率，是指信道在单位时间内所传输的平均信息 量，并用R表示: (2-141) 息速率 Ht(x/y)单位时间内对发送x而收到了的条件平均信息量

Ht(x)=rH(x) Ht(x/y)=rH(x/y) R=r[H(x)-H(x/y)] 设单位时间内传送的符号数为r，则 （2-142） （2-143） 于是得到 R=r[H(x)-H(x/y)] (2-144)

R=rH(x) 在无噪声时，信道不存在不确定性，即H(x/y)=0。这时， 信道传输信息的速率等于信息源的信息速率， 即 如果噪声很大，H(x/y)→H(x)，则信道传输信息速率为R→0

对于一切可能的信息源概率分布来说，信道传输信息的速率 的最大值称为信道容量，记之为C: (2-145) max是表示对所有可能的输入概率分布来说的最大值

　　2. 连续信道的信道容量 设连续信道(或调制信道)的输入端加入单边功率谱密度为 n0(W/Hz)的加性高斯白噪声，信道的带宽为B(Hz)，信号功率 为S(W)，则通过这种信道无差错传输的最大信息速率C为： (2-146)

C值就称为信道容量 式(2-146)就是著名的香农信道容量公式，简称香农公式 因为n0B就是噪声的功率，令N= n0B ，故式(2-146)也可写为 (2-147)

根据香农公式可以得出以下重要结论： 　　(1) 任何一个连续信道都有信道容量 在给定B、S/N的情况下，信道的极限传输能力为C，如果信 源的信息速率R小于或等于信道容量C，那么在理论上存在一 种方法使信源的输出能以任意小的差错概率通过信道传输 如果R大于C， 则无差错传输在理论上是不可能的 因此，实际传输速率(一般地)要求不能大于信道容量， 除非 允许存在一定的差错率

　　(2) 增大信号功率S可以增加信道容量C 若信号功率S趋于无穷大时，则信道容量C也趋于无穷大: （2-148） 减小噪声功率N也可以增加信道容量C。 若噪声功率N趋于 零，则信道容量趋于无穷大: （2-149）

增大信道带宽B可以增加信道容量C，但不能使信道容量C无 限值为: (2-150)

(3) 当信道容量保持不变时，信道带宽B、信号噪声功率比 S/N及传输时间三者是可以互换的 若增加信道带宽，可以换来信号噪声功率比的降低,反之亦然 如果信号噪声功率比不变，那么增加信道带宽可以换取传输 时间的减少，反之亦然 当信道容量C给定时，B1、S1/N1和B2、S2/N2分别表示互换前 后的带宽和信号噪声比， 则有 (2-151)

当维持同样大小的信号噪声功率比S/n0时，给定的信息量 可以用不同带宽B和传输时间T来互换。若T1、B1和T2、B2分别表示互换前后的传输时间和带宽， 则有 (2-152)

通常把实现了极限信息速率传输(即达到信道容量值)且能做 到任意小差错率的通信系统称为理想通信系统 香农公式只证明了理想通信系统的“存在性”，却没有指出具 体的实现方法 因此， 理想系统常常只作为实际系统的理论界限