第二章 二階線性方程式

CONTENTS 2.1 Introduction: Second-Order Linear Equations 2.2 General Solutions of Linear Equations  2.3 Homogeneous Equations with Constant Coefficients   2.4 Mechanical Vibrations (omission) 2.5 Nonhomogeneous Equations and Undetermined 　 Coefficients  2.6 Forced Oscillations and Resonance (omission) 2.7 Electrical Circuits  (omission) 2.8 Endpoint Problems and Eigenvalues

2.1二階常微分方程式 二階微分方程式y(x) G(x,y,y’,y’’)=0 線性時，其二階微分方程可寫為

二階微方標準式(Linear second-order equation) 當F(x)=0時，稱為齊性方程式 (Homogeneous equation) 當F(x)≠0時，稱為非齊性方程式 (nonomogeneous equation)

Ex. y’’ + 25y = e− x cos x 二階非齊次線性常微分方程 xy’’ + y’ + xy = 0 或 y’’ + y’/ x + y = 0 二階齊次線性常微分方程 y’’y + y’2 = 0 二階非線性常微分方程

另y1與y2為 在區間Ｉ中的兩個解， 如果存在c1,c2兩個常數，則兩解線性組合後： 仍為　 　　在Ｉ區間中的解

(存在與唯一定理) 假設p,q,f在區間Ｉ中為連續函數，另a在Ｉ內， 給予任意兩個數b0及b1，則 在Ｉ內存在唯一解，滿足

General solution For which

通解(General Solutions) 假如 y1 和 y2 是二階齊次線性常微分方程式 y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0的解答， 則c1y1 + c2 y2 也是 y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0 的解答。 當 y1 和 y2 是線性獨立(linearly independent) 時 ， 則 y = c1y1 + c2 y2 是 y’’+ p(x) y’ + q(x) y = 0 通解（或一般解）

齊次線性常微分方程式 y’’+ p(x) y’ + q(x) y = 0 Wronskian 行列式 (determinant)

假如 y1是y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0的解答， 則 cy1 也是 y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0的解答。 證： 因為 (cy1 )’’ + p(x)(cy1 )’ + q(x)cy1 = c[y1’’+ py1’+ qy1]= c ⋅ 0 = 0

二階常係數之齊次線性常微分方程式之通式 (general form)可表示為 y’’ + ay’ + by = 0 其中 a 和 b 為常數 一階常係數線性常微分方程式 y’ + ky = 0 （k 為常數）之解為 y = ce−ky 其中 y 為指數函數(exponential function) 假設解的形式為 y = eλx，其微分為 y′ = λeλx，再 微分為 y′′ = λ2eλx 將y2、y2′ 及 y2′′ 帶入 y′′ + ay′ + by = 0

得到(λ2 + aλ + b)eλx = 0 ⇒ (λ2 + aλ + b)= 0 (λ2 + aλ + b)= 0 稱為特徵方程式 (characteristic equation)，其解為λ1及 λ2 若 兩個不同實數根λ1 與 λ2 ， 也就是a2 − 4b > 0 所以其解表示為y = e λ1x 及 y =e λ2 x 而通解可表示為y = c1y1+ c 2 y 2 =c1e λ1x+ c 2 eλ 2 x

二階常係數之齊次線性常微分方程式之通式 (general form) y’’ + ay’ + by = 0 其中 a 和 b 為常數 若特徵方程式 (characteristic equation) 之 兩個不同實數根分為r1 與 r2 ， 通解可表示為y = c1y1+ c 2 y 2 =c1e r1x+ c 2 e r2 x

By Solve the characteristic equation By factoring

By

二階常係數之齊次線性常微分方程式之通式 (general form) y’’ + ay’ + by = 0 其中 a 和 b 為常數 若特徵方程式 (characteristic equation) 之 兩實數根分別為r1 = r2 ， 通解可表示為

2.2 線性方程式的通解 n-th order linear 全部除以P0(x) (P0(x)不等於零) 將(2)寫為齊性方程式(Homogeneous Linear equation)為：

若y1,y2,……,yn在區間Ｉ中，且為 的n個解，若有常數c1,c2,…,cn，則線性組合 也為此方程式在區間Ｉ中的解。

如果函數p1,p2,…,pn和 f 都在包含a點的開區間 Ｉ中連續，則若有n個任意數b0,b1,…,bn-1，則n 階線性方程式 存在唯一解(unique, one and only one) 在開區間 Ｉ 中，且符合初始條件：

（y1,y2,…,yn為Eq(3)的特解(particular solution)) 可寫為線性組合： （y1,y2,…,yn為Eq(3)的特解(particular solution)) 我們可以指出f1,f2的線性相依性質，利用找到兩 個存在且並非皆為0的係數c1,c2，能寫成下式 換句話說，如果c1,c2皆非零，則我們可以說Eq(6)中 的f1,f2為線性相依。

在開區間Ｉ內有n個函數f1,f2,…,fn，若有存在 n個非全為0的係數c1,c2,…,cn符合下列式子在 區間Ｉ中，可以被稱作線性相依： 而在區間Ｉ中的所有ｘ符合：

Recall ch2.1

Wronskian 行列式 (determinant) 當 y1 和 y2 是線性獨立時，則其 wronskian 行列 式值不等於零。

另y1,y2,…,yn為n階齊次方程式的在開區間Ｉ中 的n個解： （pi為連續），另 (a)若y1,y2,…,yn為線性相依，則在開區間Ｉ中 (b)若y1,y2,…,yn為線性獨立，則開區間Ｉ中任何點 皆 因此只有兩種可能性：

另y1,y2,…,yn為下列n階齊次方程式的在開區間Ｉ 中的n個解線性獨立解： 在開區間Ｉ中pi為連續，Ｙ為Eq(3)的解，則存在 數值c1,c2,…,cn，滿足下列式子： 對開區間Ｉ中的任意x。

另yp為 在開區間Ｉ內的特解，函數pi及f在開區間Ｉ內連 續。另y1,y2,…,yn為 的線性獨立解。若Y為Eq(2)在區間Ｉ的解，則存在 c1,c2,….,cn滿足 對任何區間Ｉ中的ｘ。

特徵方程式 由於erx永遠不等於0，當r為下列方程式的根時， 我們將y=erx視為Eq(1)的解。

相異實數根 假如r1,r2,….,rn為特徵方程式 的相異實數根，則 為Eq(1)的通解(general solution)

重根 假設特徵方程式Eq(3) 擁有重根r次數為k，則微分方程(1) 的通解部份與r的關係如下：

Ｆ

　　　　　　複數根 當特徵方程式在(3) 有一對不重複的共軛複數根(complex conjugate roots) 則Eq(1) 相對應的通解部份為

In Example 5… Polar form :

微分操作元 127 CHAPTER 2 Linear Equations of Higher Order

未定係數法 n階係數非齊次微分方程式，以常數係數表示： 使用2.2節的Theorem 5，Eq(1)的通解如下： 由於互補方程式yc(x)為相關齊次方程式的通解: 而yp(x)為Eq(1)的特解(particular solution)， 因此我們的任務即為找到yp

未定係數法 未定係數法的基本觀念是：「假設特解之形式 為yp(x)及其導函數所成之函數集合。」

未定係數法中特解假設之形式

未定係數法

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參數變動法 參數變動法在理論上更為廣泛，不限於常係數 範圍，只需以知齊性解即可應用。 下列例子即可使用此法： 理論上，我們只需要找到非齊性線性微分方程 式的特解 就能提供我們已經知道的通解： 與齊性方程式相關

將 的c1,c2,…,cn以與x相關的函數u1,u2,…,un代替， 設特解為 為Eq(22)的特解

使得 而 利用乘法原則得到 由於y1及y2都符合齊性方程式 與非齊性方程式Eq in (22)相關，因此

(31)

如果非齊性方程式 有餘函數 則特解為： 而 是兩獨立解y1及y2對於相關齊次方 程式的Wronskian行列式

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